等效時(shí)間采樣壓縮感知高頻信號(hào)重建

景寧姚鼎一王志斌張敏娟*張瑞

等效時(shí)間采樣壓縮感知高頻信號(hào)重建

景寧1，2，姚鼎一1，王志斌2，3，張敏娟1*，張瑞1，3

（1.中北大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，山西 太原 030051；2.山西省光電信息與儀器工程技術(shù)研究中心，山西 太原 030051；3.中北大學(xué) 前沿交叉科學(xué)研究院，山西 太原 030051）

為在欠采樣率條件下實(shí)現(xiàn)高頻信號(hào)的測(cè)量與恢復(fù)，本文使用自研國(guó)產(chǎn)皮秒級(jí)等效時(shí)間采樣光取樣示波器對(duì)頻率10～100 GHz的簡(jiǎn)諧波信號(hào)進(jìn)行采集和恢復(fù)。該示波器中，分別采用粗、細(xì)兩級(jí)延遲進(jìn)位產(chǎn)生延遲分辨率5 ps、動(dòng)態(tài)范圍10 μs的觸發(fā)序列，驅(qū)動(dòng)高帶寬取樣器對(duì)信號(hào)進(jìn)行取樣，取樣信號(hào)通過(guò)50 kHz 模數(shù)轉(zhuǎn)換器輸出得到測(cè)量值，即每間隔20 μs增加5 ps延遲的方式對(duì)高頻信號(hào)進(jìn)行一次取樣，壓縮比約為106，實(shí)際采樣率遠(yuǎn)低于奈奎斯特定理限制。根據(jù)壓縮感知原理，通過(guò)傅里葉變換及等效時(shí)間采樣構(gòu)成測(cè)量矩陣，構(gòu)成該信號(hào)測(cè)量過(guò)程的稀疏化表示，并求解Ll范數(shù)最小化問(wèn)題，恢復(fù)得到被測(cè)信號(hào)波形。結(jié)果表明，最高可實(shí)現(xiàn)100 GHz的高頻信號(hào)均方根誤差小于5×10-5的欠采樣恢復(fù)，拓展了該類型示波器測(cè)量的動(dòng)態(tài)范圍。

光取樣示波器；壓縮感知；信號(hào)重建

1 引　言

高頻信號(hào)探測(cè)與恢復(fù)在高速光通信［1-3］、微波光子雷達(dá)［4-6］、超級(jí)運(yùn)算［7-8］等領(lǐng)域存在廣泛的應(yīng)用。根據(jù)奈奎斯特采樣定律，如需確定高頻信號(hào)的頻率、相位等信息，就要在信號(hào)的一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行至少兩次采樣。對(duì)于高頻信號(hào)的恢復(fù)，則需要高速模數(shù)轉(zhuǎn)換器（Analog-to-Digital Converter，ADC），現(xiàn)有高速ADC的采樣率最高可達(dá)到200 GSa/s（泰克DPO7000系列示波器），根據(jù)奈奎斯特采樣定律，其最高可恢復(fù)出100 GHz的波形（泰克DPO7000系列示波器實(shí)際帶寬最高70 GHz）。對(duì)于更高頻信號(hào)，通過(guò)這種ADC采樣的方式無(wú)法進(jìn)行探測(cè)，且高速ADC的成本非常高，因此，對(duì)于高速、高頻信號(hào)的探測(cè)，探索一種低成本、高探測(cè)極限的方法尤為重要。

對(duì)于周期性、數(shù)字、簡(jiǎn)諧等信號(hào)，基于等效時(shí)間取樣是一種低成本、高帶寬的信號(hào)測(cè)試方法，早在20世紀(jì)60年代HP公司就開(kāi)始了模擬取樣示波器的研制工作。目前，Keysight、Tek公司掌握最先進(jìn)的取樣示波器技術(shù)，如86100系列、N1000系列、TSO820，可以通過(guò)幾百k的采樣率對(duì)50 GHz信號(hào)進(jìn)行等效采樣。此類型示波器常用于光/數(shù)字通信領(lǐng)域，也被稱之為“光取樣示波器”、“數(shù)字通信分析儀”等。2016年以來(lái)，國(guó)內(nèi)中北大學(xué)聯(lián)合中電41所開(kāi)展了這方面的研究，取得了一定的進(jìn)展，目前可達(dá)到與國(guó)際相當(dāng)?shù)乃?。取樣示波器?duì)信號(hào)進(jìn)行直接采集并顯示，能達(dá)到其帶寬所限的最高頻率，如進(jìn)行更高頻信號(hào)的恢復(fù)，則需要一定的欠采樣恢復(fù)算法，目前，國(guó)內(nèi)外的各式取樣示波器尚未有該功能報(bào)道。

華裔澳大利亞數(shù)學(xué)家T. Tao等提出的“壓縮感知”理論［9-11］，給出了在欠采樣（低于奈奎斯特采樣率）的情況下，恢復(fù)信號(hào)的方法。該方法的前提是被測(cè)信號(hào)是稀疏的，或者經(jīng)某種變換（如傅里葉變換）可進(jìn)行稀疏表示。如最近［12］，我們研究了彈光調(diào)制信號(hào)的稀疏表示，僅需進(jìn)行5次諧波（貝塞爾展開(kāi)項(xiàng)）的測(cè)量，即可恢復(fù)出某氣體的單一吸收光譜。對(duì)于高頻時(shí)域信號(hào)，一般來(lái)說(shuō)其頻率較為單一，經(jīng)傅里葉變換，可轉(zhuǎn)換為在頻域分布的稀疏信號(hào)。但對(duì)于一般的ADC，其采樣時(shí)間間隔均等，即便利用壓縮感知理論對(duì)采集信號(hào)進(jìn)行更高頻的恢復(fù)，也無(wú)法完全確定其頻率。如對(duì)于頻率為和2的信號(hào)，其通過(guò)ADC欠采樣可能得到相同的測(cè)量值，因此，該方法難以對(duì)頻率成倍數(shù)關(guān)系的信號(hào)進(jìn)行區(qū)分。

改變等間隔的采樣方式可為高頻信號(hào)在欠采樣條件下恢復(fù)提供可行手段。本研究利用自行研制的光取樣示波器對(duì)高頻信號(hào)進(jìn)行采集，其等效時(shí)間采樣的工作原理使得所采集點(diǎn)之間的時(shí)間間隔不等，且采集速率遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率，結(jié)合壓縮感知理論建立等效取樣過(guò)程的稀疏化表示，并進(jìn)行方程的求解以恢復(fù)高頻信號(hào)波形。

2 工作原理

本研究中，主要涉及壓縮感知及等效時(shí)間采樣兩部分工作。

2.1　壓縮感知

其中，?｛·｝為傅里葉變換算子，式（1）的矩陣形式表示為：

其中，代表維傅里葉變換矩陣，稀疏變換過(guò)程如圖1所示。這里，矩陣的柱體的高度代表矩陣元素的實(shí)部、顏色代表其虛部。可見(jiàn)，對(duì)于高頻信號(hào)，可通過(guò)傅里葉變換矩陣與其相乘，得到頻率域上的稀疏矩陣表示，滿足條件（1）。

2.2　等效時(shí)間采樣（光取樣示波器）

光取樣示波器常用于通信、特別是光通信領(lǐng)域，以對(duì)周期性、序列、數(shù)字信號(hào)進(jìn)行測(cè)量。與通常使用的實(shí)時(shí)示波器不同，光取樣示波器的工作原理為“等效時(shí)間采樣”［14-15］，對(duì)于數(shù)字信號(hào)或者周期性信號(hào)，如果采樣周期與信號(hào)周期一致，取樣點(diǎn)將等效遍歷被測(cè)信號(hào)，其原理如圖2所示。每產(chǎn)生一次觸發(fā)進(jìn)行一次信號(hào)的取樣，觸發(fā)序列相對(duì)于固定的采樣周期的起點(diǎn)，依次增加的精密時(shí)延，取樣值通過(guò)采樣頻率1/的ADC輸出。矩陣表示為：

圖2　等效時(shí)間采樣原理

對(duì)于一般光取樣示波器的ADC實(shí)際采樣率約為200 kHz，即，～5 μs，延遲約為5 ps。壓縮比約為/～106，即<<，通過(guò)測(cè)量矩陣得到的取樣值長(zhǎng)度為，實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率的取樣。如圖3所示，測(cè)量矩陣的行數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于列數(shù)，為以多個(gè)值為1的時(shí)間間隔逐漸增加的矩陣，及其自/互相關(guān)系數(shù)（部分）［16］，滿足條件（2）。

圖3　測(cè)量矩陣特性

3 信號(hào)采集及恢復(fù)

等效時(shí)間取樣的關(guān)鍵是延遲觸發(fā)序列、被測(cè)信號(hào)、取樣及采集之間的同步，該過(guò)程時(shí)序如圖4所示，通過(guò)時(shí)鐘恢復(fù)及分頻得到以頻率范圍為5 MHz到10 GHz的輸入時(shí)鐘（Input Clock），輸入時(shí)鐘驅(qū)動(dòng)PLL（Phase Lock Loop）以125 MHz（8 ns）時(shí)鐘工作，并通過(guò)FPGA進(jìn)行周期計(jì)數(shù)（counter1、counter2）。由于ADC的采樣率為50 kHz，計(jì)數(shù)器每累積達(dá)到其采樣周期（20 μs），驅(qū)動(dòng)兩個(gè)級(jí)聯(lián)10 bit、5 ps分辨率的精密延遲芯片（SY89297U）產(chǎn)生5 ps～8 ns精細(xì)延遲。當(dāng)精細(xì)延遲達(dá)到8 ns后歸零，同時(shí)計(jì)數(shù)器進(jìn)行+1進(jìn)位，產(chǎn)生8 ns的粗延遲，精密延遲芯片再進(jìn)行工作。

圖4　粗，細(xì)兩級(jí)延遲觸發(fā)序列產(chǎn)生

通過(guò)粗，細(xì)兩級(jí)延遲組合形成分辨率5 ps、動(dòng)態(tài)范圍10 μs的延遲序列。利用此延遲序列作為觸發(fā)，驅(qū)動(dòng)取樣器對(duì)高頻信號(hào)進(jìn)行取樣，取樣值由ADC轉(zhuǎn)換輸出，達(dá)到了被測(cè)信號(hào)、延遲觸發(fā)序列、取樣及采集之間的同步。

3.1　信號(hào)的恢復(fù)

利用延遲觸發(fā)序列驅(qū)動(dòng)取樣系統(tǒng)進(jìn)行等效時(shí)間采樣，即每20 μs進(jìn)行一次采樣，每次采樣間隔增加5 ps。結(jié)合傅里葉變換公式（3）及等效取樣過(guò)程公式（4）可以得到測(cè)量方程：

3.2　結(jié)果與分析

通過(guò)上述等效時(shí)間欠采樣恢復(fù)方案，對(duì)10～100 GHz波形進(jìn)行了測(cè)量和恢復(fù)，其中，50 GHz、100 GHz恢復(fù)結(jié)果如圖5所示，可見(jiàn)，該方法可以非常低的采樣率進(jìn)行工作而恢復(fù)出高頻信號(hào)?？尚蜗蟮睦斫鉃橐钥臻g（增加采樣點(diǎn)）換時(shí)間（降低采樣率）。

圖5　50 GHz和100 GHz信號(hào)恢復(fù)數(shù)據(jù)點(diǎn)及波形

利用均方誤差（Mean Square Error，MSE）對(duì)10～100 GHz信號(hào)恢復(fù)誤差進(jìn)行了表征，如圖6所示，恢復(fù)精度隨著信號(hào)頻率提高而變差。當(dāng)頻率大于50 GHz時(shí)誤差超過(guò)10-5，頻率達(dá)到100 GHz，誤差接近5×105。

圖6　MSE與信號(hào)頻率關(guān)系

4 結(jié)　論

通過(guò)光取樣示波器等效時(shí)間采樣及傅里葉變換矩陣，構(gòu)建滿足壓縮感知理論的高頻信號(hào)采集方程，通過(guò)L1-Magic算法對(duì)該方程進(jìn)行求解，結(jié)果表明，光取樣示波器可以106壓縮率對(duì)10～100 GHz信號(hào)進(jìn)行采集并有效恢復(fù)，由于實(shí)際采樣率為50 kHz，即實(shí)現(xiàn)了在遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率的情況下，均方根誤差小于5×105的100 GHz信號(hào)的恢復(fù)。

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High frequency signal reconstruction based on compressive sensing and equivalent-time sampling

JING Ning1，2，YAO Dingyi1，WANG Zhibin2，3，ZHANG Minjuan1*，ZHANG Rui1，3

（1，，030051，；2，030051，；3，，030051，），：7745163

A simple harmonic wave with frequency 10–100 GHz is collected by a domestic equivalence time optical sampling oscilloscope to measure and recover high-frequency signals in undersampling situations. There is a trigger sequence with a 5 ps delay resolution and 10 μs dynamic range in the oscilloscope. The trigger sequence， generated by two steps of coarse and fine delayers， is used to drive the high band-wide sampler， and the sampling value is output by an ADC with a frequency of 50 kHz. In this advancement， the high-frequency signal is sampled with an increasing 5 ps delay every 20 μs. The compress ratio is approximately 106， and the sampling rate is far below the Nyquist law. With compressive sensing theory， the measurement matrix is constructed by Fourier translation and equivalence time sampling sequence and sparsify the signal measurement process. The measurement signal is reconstructed by solving an Ll-norm minimum problem. The results demonstrate that the signal with a frequency of 100 GHz can be undersampled and reconstructed with a mean square error below 5×105， implying that the dynastic range of the sampling oscilloscope should be expanded.

optical sampling oscilloscope； compressive sensing； signal reconstruction

TH73

A

10.37188/OPE.20223010.1240

1004-924X（2022）10-1240-06

2021-12-29；

2022-01-26.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（No.62105302，No.62105305）；山西省基礎(chǔ)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目（No.20210302123068，No.20210302124269）

景寧（1985），男，遼寧遼陽(yáng)人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，2015年畢業(yè)于吉林大學(xué)，主要從事光通信技術(shù)研究。E-mail： jingning@nuc.edu.cn

張敏娟（1977），女，山西運(yùn)城人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，2000年于太原理工大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，2005年于河海大學(xué)獲得碩士學(xué)位，2012年于中北大學(xué)獲得博士學(xué)位，主要研究方向?yàn)楣庑畔@取與數(shù)據(jù)處理、電路與系統(tǒng)設(shè)計(jì)的研究。E-mail： zmj7745@163.com