劉朋博，張華振，徐 斌，侯仰青，蘭 瀾

(1.中國空間技術(shù)研究院西安分院，西安 710000；2.航天躍盛(杭州)信息技術(shù)有限公司 上海分公司，上海 201107)

0 引言

以薄膜結(jié)構(gòu)為主體的天線[1-3]、太陽帆[4-5]、太陽能電池陣列[6]等受到越來越多研究人員的關(guān)注。聚酰亞胺(polyimide，PI)薄膜因其具有面密度低[7]，輕質(zhì)和柔韌等特點，成為以上空間結(jié)構(gòu)中首選的薄膜材料。在實際應(yīng)用中，薄膜必須在張拉以后才能產(chǎn)生名為“應(yīng)變剛度”的面外結(jié)構(gòu)剛度。然而由于PI薄膜的泊松比較大(一般為0.35～0.4)，外力張拉薄膜會在膜面上的部分區(qū)域產(chǎn)生褶皺，影響膜面精度及穩(wěn)定性，對結(jié)構(gòu)的靜態(tài)及動態(tài)特性產(chǎn)生耦合影響[8]。

為此，需要對薄膜的泊松比進行設(shè)計，從而削弱甚至消除薄膜的泊松比效應(yīng)對膜面精度的影響。對于材料的泊松比設(shè)計，一般都集中在實現(xiàn)材料的負泊松比上，因為負泊松比可以讓材料產(chǎn)生拉脹行為[9-10]。從20世紀80年代末開始，負泊松比材料成為材料領(lǐng)域的研究熱點，而旋轉(zhuǎn)剛性單元機制是這一領(lǐng)域被深入研究的主題之一[11-15]。該機制的本質(zhì)是在材料上周期性地切割出某些形狀的孔，以獲得與孔間邊界區(qū)域連接的剛性胞元，孔間邊界區(qū)域模擬鉸鏈，允許剛性胞元繞孔間邊界區(qū)域“鉸鏈”旋轉(zhuǎn)，從而表現(xiàn)出效泊松比的現(xiàn)象。 Hou等[16]討論了使用 Kevlar 機織織物/914 環(huán)氧預(yù)浸料和 Kirigami 技術(shù)制造的分級蜂窩結(jié)構(gòu)的拉脹性。Bertoldi等[17]對由“Feguramed GmbH”制造而成的加成固化硅橡膠(sil AD spezial,SADS)進行圓形陣列研究時發(fā)現(xiàn),單軸壓縮的屈曲結(jié)果會產(chǎn)生橢圓孔陣列。他們進一步分析了孔隙率對等效泊松比的影響。Taylor等[18]對6061鋁合金結(jié)構(gòu)使用正交橢圓孔陣列，從實驗和仿真兩個方面分析了孔隙率對結(jié)構(gòu)等效泊松比的影響。Pozniak等[19]研究了當在正交的橢圓孔中填充帶有取向的夾雜物時，材料的等效泊松比和楊氏模量變化規(guī)律。Bonfanti等[20]對正交橢圓孔陣列的薄膜在張拉中產(chǎn)生褶皺的半波長和幅值等參數(shù)隨等效泊松比的變化規(guī)律進行了研究。

Xu等[21]則將具有正交橢圓孔陣列的材料應(yīng)用到碳纖維增強硅膠制造的空間可重構(gòu)反射面上，通過優(yōu)化設(shè)計橢圓孔的幾何參數(shù)實現(xiàn)反射面的變泊松比，保證了型面精度。

本文針對一種應(yīng)用于空間天線結(jié)構(gòu)的正交各向異性的同質(zhì)纖維增強聚酰亞胺復合膜，采用正交橢圓孔陣列的泊松比設(shè)計方式，通過基于COMSOL Multiphysics的有限元分析，探究4種不同纖維分布密度的復合膜在不同的胞元孔間邊界距離下經(jīng)緯雙向的泊松比隨橢圓縱橫比的變化規(guī)律。

1 研究方法

1.1 材料及其力學性能參數(shù)

復合膜的基質(zhì)薄膜的楊氏模量為3.245 45 GPa，泊松比為0.373 72。增強所用聚酰亞胺纖維的單絲直徑為11 μm，斷裂強度3.70 GPa，初始模量121 GPa，斷裂伸長率3.24%，50根絲構(gòu)成一束。復合膜的示意圖如圖1所示。

圖1 復合膜的示意圖Fig.1 Schematic diagram of a piece of composite film

本課題選用了3種不同經(jīng)向纖維密度n的復合膜，它們分別是5束/cm，10束/cm， 20束/cm。本課題對純薄膜進行了同樣的仿真分析作為對照。在進行泊松比設(shè)計前，根據(jù)有限元分析和實驗測量的結(jié)果(采用ANSYS Workbench 19.0軟件進行有限元方法的模擬。得到其楊氏模量和泊松比。并采用INSTRON 68TM-30拉伸機配合雙向測試的2663-901 AVE2非接觸式雙向引伸計進行測定對有限元方法加以驗證。)，4種薄膜未打孔時的力學性能參數(shù)如表1所列。

表1 未打孔時薄膜的力學性能參數(shù)

1.2 正交橢圓孔的幾何參數(shù)

針對上述的4種薄膜，截取30 mm×30 mm的區(qū)域作為胞元，進行正交橢圓孔的打孔設(shè)計。打孔后的胞元如圖2所示。胞元的邊長d=30 mm，打孔橢圓的橫半軸長為a，縱半軸長為b，孔間邊界距離為g。

圖2 復合膜的打孔方案Fig.2 Perforation scheme of a piece of composite film

正交橢圓孔陣列的打孔設(shè)計方案實現(xiàn)泊松比調(diào)整的原理如圖3所示，當在一個方向?qū)Π┘游灰茣r，胞元將發(fā)生旋轉(zhuǎn)，導致在與其垂直的方向上產(chǎn)生正向位移，引起胞元的等效泊松比發(fā)生變化。等效泊松比的計算方法如式(1)所示：

(1)

式(1)中μeff為等效泊松比，εy為y方向應(yīng)變，εx為x方向應(yīng)變，其余符號的含義如圖3所示。

圖3 泊松比變化的原理Fig.3 The schematic of Poisson’s ratio change

如圖3所示，對于正交橢圓孔陣列的研究，在幾何數(shù)據(jù)上，既有將對泊松比影響因素分為胞元的孔間邊界距離g和橢圓縱橫比2a/2b的，也有將對泊松比的影響因素分為孔隙率和橢圓縱橫比2a/2b的。首先對于胞元的孔間邊界距離g和橢圓縱橫比2a/2b，兩者是獨立的，而孔隙率是一個既和胞元的孔間邊界距離g有關(guān)，又和橢圓的縱橫比a/b有關(guān)的參數(shù)?？紫堵逝c孔間邊界距離g和橢圓縱橫比2a/2b的關(guān)系可以由式(2)所示：

(2)

由式(2)可以看出，孔隙率φ不是一個獨立的參數(shù)。

另外，雖然胞元的孔間邊界距離g和橢圓縱橫比2a/2b是獨立的，但橢圓縱橫比是一個沒有上限的參數(shù)，甚至可以達到無窮大。固定g值，當橢圓很扁的時候，長短軸的長度稍微變化，橢圓的縱橫比就會有非常大的變化，很難從胞元的等效泊松比和橢圓縱橫比2a/2b的關(guān)系中總結(jié)出規(guī)律。而此時(a+b)是一個固定值。

本文考慮的泊松比影響因素分為胞元的孔間邊界距離g和橢圓長半軸長度a與橢圓長短半軸之和(a+b)的比率，即r=a/(a+b)。這樣不但保證了兩個參數(shù)之間的獨立，同時又保證了兩個參數(shù)的值都在一個被限定的范圍內(nèi)，當g=3.0 mm時，r=a/(a+b)與橢圓縱橫比2a/2b的關(guān)系如圖4所示。

圖4 橢圓縱橫比與r之間的關(guān)系Fig.4 Relationship between ellipse aspect ratio and r

1.3 有限元分析

對于選中的4種薄膜，選取不同的薄膜孔間邊界距離進行設(shè)計，即g=1.5 mm，g=3 mm，g=4.5 mm，g=6 mm，g=7.5 mm和g=9 mm，6種g值，此時g分別占胞元邊長d的5%、10%、15%、20%、25%、30%。在此基礎(chǔ)上，通過改變橢圓的縱橫比，分析橢圓從r=a/(a+b)=0.5(a/b=1，圓形)演化到r=a/(a+b)=0.98(a/b=49，縱橫比極大的橢圓)的過程中，薄膜胞元的泊松比的變化規(guī)律。

采用COMSOL Multiphysics 5.4有限元分析軟件對上述薄膜進行建模和有限元分析，采用殼單元對復合膜進行建模，因為纖維對復合膜的泊松比影響主要體現(xiàn)在正交各向異性的緯向泊松比上，所以等效方法對泊松比設(shè)計是可行的。將厚度設(shè)置為110 μm，為符合殼單元的基本假設(shè)，網(wǎng)格大小應(yīng)該大于厚度值。如圖5所示，設(shè)置最大的單元長度為1.65 mm，最小的單元長度為1 mm，符合應(yīng)用殼單元的假設(shè)。根據(jù)圖3所示加載和約束方法對胞元進行約束。

圖5 薄膜的網(wǎng)格劃分Fig.5 Meshing of a unit

2 結(jié)果與討論

2.1 薄膜的經(jīng)向泊松比變化規(guī)律

4種薄膜的經(jīng)向泊松比μ12變化規(guī)律如圖6所示?？梢钥闯觯?種膜的經(jīng)向泊松比在所有g(shù)值下隨著r值的增大而減小，且均服從①緩慢減?。虎跍p小趨勢加?。虎壑饾u趨于穩(wěn)定。當g值較小(g=1.5 mm，g=3.0 mm)時，①過程不明顯，泊松比的變化主要體現(xiàn)為②+③過程。隨著g值的增大(g=4.5 mm，g=6.0 mm)，可以清晰地看出，隨著r值的變大，①、②、③過程順序出現(xiàn)。當g值超過胞元邊長d的25%時(g=7.5 mm，g=9.0 mm)，③過程不再明顯，經(jīng)向泊松比的變化主要由①+②過程組成。

4種薄膜在r=0.5時經(jīng)向等效泊松比μ12均為正值，此時的薄膜胞元不發(fā)生旋轉(zhuǎn)，等效泊松比大小主要與g值有關(guān)，g值越大，殘余的泊松壓縮效果越大，經(jīng)向等效泊松比μ12越大。以純薄膜為例，g=1.5 mm，g=3 mm，g=4.5 mm，g=6 mm，g=7.5 mm和g=9 mm對應(yīng)的經(jīng)向等效泊松比μ12分別為0.11，0.17，0.23，0.26，0.29，0.31?？梢钥闯觯敱∧ぐ话l(fā)生旋轉(zhuǎn)時，g值的增大對經(jīng)向等效泊松比μ12的增大效果隨著g值增大逐漸減弱。而隨著橢圓的縱橫比逐漸變大，可以看出，g=1.5 mm寬度的薄膜經(jīng)向等效泊松比μ12很快達到-1，然后穩(wěn)定在-1左右。而隨著g值的變大，r值變大得到的泊松比逐漸變大，也即薄膜胞元的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)逐漸變得不明顯。以純薄膜為例，當g=3 mm，g=4.5 mm，g=6 mm，g=7.5 mm和g=9 mm，5種g值時，經(jīng)向等效泊松比μ12最小(r=0.98)分別只能來到-0.95，-0.83，-0.64，-0.39，-0.15左右。g值的增加帶來旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的減弱，而且減弱的程度隨g值的增加有所提高。綜合二者可以看出，g值對r=0.5和r=0.98下的影響雖然都是使得等效泊松比隨g值變大，但g值的影響程度相反，前者小g值下g的變化影響大，后者則是大g值下的g值變化影響大。

圖6 經(jīng)向泊松比μ12變化規(guī)律Fig.6 Variations of warp direction Poisson’s ratios μ12

2.2 薄膜的緯向泊松比變化規(guī)律

4種薄膜的緯向泊松比μ21變化規(guī)律如圖7所示?？梢钥闯?，緯向泊松比μ21隨r值的演化過程與經(jīng)向泊松比μ12類似，均可以分解為①緩慢減??；②減小趨勢加劇；③逐漸趨于穩(wěn)定，3個過程。值得注意的是，純薄膜的經(jīng)緯雙向泊松比數(shù)值一致，這是因為純薄膜是各向同性的。與同種有纖維薄膜的經(jīng)向泊松比μ12相比，緯向泊松比的下降趨勢更緩慢，而且這種緩慢趨勢隨著薄膜的經(jīng)向纖維密度增大更加明顯。純薄膜、5束/cm的復合膜、10束/cm的復合膜、20束/cm的復合膜在g=1.5 mm時緯向泊松比μ21下降到-0.9左右時對應(yīng)的r值分別是0.66，0.68，0.7和0.74。而當r=0.5，g=1.5 mm時，純薄膜、5束/cm的復合膜、10束/cm的復合膜、20束/cm的復合膜的緯向泊松比μ21分別為0.109，0.078，0.064和0.048。緯向泊松比μ21下降的量變小，而要求的橢圓縱橫比卻增加。在其他g值下也有類似的規(guī)律。這一規(guī)律可以總結(jié)為：隨著經(jīng)向纖維密度的增加，在同一個g值下的薄膜緯向泊松比μ21下降變得困難。

圖7 緯向泊松比μ21變化規(guī)律Fig.7 Variations of weft direction Poisson’s ratio μ21

2.3 等效泊松比的影響因素

通過上述內(nèi)容可以看出，打孔后的泊松比隨g值變大而變大，隨r值增大而減小。實際上，對同一材料而言，打孔后等效泊松比主要由兩個因素支配，即打孔后孔間邊界距離g，橢圓長半軸a與長短半軸長度之和(a+b)的比例r。g值決定了材料參數(shù)對打孔后胞元的泊松比影響程度，同時影響胞元的旋轉(zhuǎn)能力，固定r，g值越大，旋轉(zhuǎn)能力越弱，同時材料本身性能參數(shù)的影響越大，等效泊松比也越大。r值則影響了胞元的旋轉(zhuǎn)能力，固定g，r值越大，旋轉(zhuǎn)能力越強，打孔后的胞元等效泊松比越小。

如圖8所示，當這兩種薄膜胞元的材料參數(shù)相同，r=0.98時，兩種薄膜等效泊松比只和g值有關(guān)。當g值分別等于1.5 mm和9.0 mm時(圖8(a)和圖8(b))，首先泊松壓縮的殘留效果不同，前者弱于后者；其次，胞元在旋轉(zhuǎn)時，繞著孔間邊界區(qū)域旋轉(zhuǎn)，寬度越寬，相當于對胞元的約束程度越大，越不利于胞元的旋轉(zhuǎn)。所以圖8 (a)中的等效泊松比μa,eff小于圖8 (b)中的等效泊松比μb,eff。

圖8 參數(shù)對薄膜胞元泊松比的影響Fig.8 Influences of parameters on Poisson’s ratio of a membrane unit

如圖8 (c)和圖8 (d)所示，如果兩種薄膜胞元的材料參數(shù)相同，g=3.0 mm，當r=0.7和0.92時，薄膜胞元的旋轉(zhuǎn)能力明顯不同。當胞元受到一個方向的拉伸載荷時，胞元中心的橢圓孔趨向于變成一個圓形，即被“拉開”，當橢圓的縱橫比較小時，橢圓很容易達到“拉開”的上限，如圖9(a)所示。而當橢圓的縱橫比較大時，橢圓被“拉開”后的形狀較之未“拉開”時變化較大，所以帶來的胞元旋轉(zhuǎn)能力也較大，如圖9(b)所示。圖8(c)中的等效泊松比μc,eff大于圖8(d)中的等效泊松比μd,eff。

圖9 不同r下薄膜胞元的變形前后對比Fig.9 Comparison of film unit deformations with different r

值得一提的是，泊松比的調(diào)整效果與外載荷的大小無關(guān)。在實際工程應(yīng)用中，任意外載均可實現(xiàn)文中所提到的泊松比調(diào)整效果。從圖9中可以看出，最大應(yīng)力的位置出現(xiàn)在縱向橢圓的長軸端點處。根據(jù)前期的測試，以20束/cm的復合膜為例，材料的經(jīng)向拉伸強度約為254.52 Mpa。能滿足絕大多數(shù)工程應(yīng)用的強度要求。

3 結(jié)論

1)通過正交橢圓孔陣列設(shè)計的幾何參數(shù)變化，分析了4種薄膜經(jīng)緯雙向等效泊松比的變化規(guī)律。4種薄膜胞元的經(jīng)緯雙向等效泊松比，在同一g值下隨r值的變化均遵循①緩慢減??；②減小趨勢加??；③逐漸趨于穩(wěn)定。在g值等于胞元邊長的15%～20%時，3個過程均清晰可見。當g值偏小時，①過程不明顯；當g值偏大時，③過程不明顯。

2)對同一種薄膜而言，打孔后的泊松比主要由兩個因素支配：孔間邊界距離g，橢圓長半軸a與長短半軸長度之和(a+b)的比例r。

3)g值對薄膜胞元的泊松比的影響體現(xiàn)在兩個方面：第一，g值決定了材料參數(shù)對打孔后的等效泊松比的影響程度；第二，胞元在旋轉(zhuǎn)時，繞著孔間邊界區(qū)域旋轉(zhuǎn)，寬度越寬，相當于對胞元的約束程度越大，越不利于胞元的旋轉(zhuǎn)；固定r，g值越大，等效泊松比也越大。

4)r值影響胞元旋轉(zhuǎn)能力體現(xiàn)在當橢圓縱橫比變大時，橢圓受拉后形狀的變化程度上。當胞元受到一個方向的拉伸載荷時，胞元中心的橢圓孔趨向于變成一個圓形，即被“拉開”，當橢圓的縱橫比較小時，橢圓很容易達到“拉開”的上限；而當橢圓的縱橫比較大時，橢圓被“拉開”后的形狀較之未“拉開”時變化較大，所以帶來的胞元旋轉(zhuǎn)能力也較大。固定g，r值越大，等效泊松比越小。