鐘 瑞,韓建衛(wèi),王 拴,紀(jì) 緯,張立彬

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳) 實驗與創(chuàng)新實踐教育中心，廣東 深圳 518055)

望遠鏡是一種非常基本、常用的目視光學(xué)儀器，了解其工作原理、掌握其組裝方法及其放大率的測定方法對進一步掌握更復(fù)雜的光學(xué)儀器的使用都是非常必要的。當(dāng)前的物理實驗教材中，自組望遠鏡放大率的測定大多采用視角直接比較法[1]。這種方法簡單直接，無須額外增加實驗器材，但是存在以下問題：由于人眼的直接觀察距離有限，通常在1～1.5 m范圍以內(nèi)，超過2 m之后，用兩只眼睛同時觀察目標(biāo)尺實物及其經(jīng)望遠鏡放大后的像較為困難，因此測量其放大率時，目標(biāo)尺與物鏡的距離(即物距)不能過大，通常限制在2 m以內(nèi)；而另一方面，若物距太小，測得的望遠鏡放大率結(jié)果與其理論值相對誤差會比較大。為克服以上矛盾，有文獻提出了游碼法[2]、分劃板法[3]、比較板法[4]、成像公式法[4]等諸多改進方法。筆者在實驗教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，針對物距較小的情況，對望遠鏡放大率的計算公式進行適當(dāng)?shù)匦拚?，即可在不額外增加實驗器材、采用較短物距的前提下，精確地測得自組望遠鏡的放大率，使學(xué)生更加深刻理解望遠鏡成像原理。

1 開普勒望遠鏡放大率的理論值

開普勒望遠鏡的工作原理如圖1所示，其物鏡和目鏡均為凸透鏡，焦距分別為f1和f2(f1>f2)，物鏡的后焦面和目鏡的前焦面非?？拷?，幾乎重合。位于無窮遠的物，先經(jīng)物鏡成一實像，像高為y′，位于物鏡的后焦面上。該實像位于目鏡的一倍焦距以內(nèi)，且非?？拷跨R的前焦面，然后經(jīng)目鏡成一放大的虛像。人眼從望遠鏡的目鏡中觀察到的即為該放大的虛像，其像高為y″。放大后的虛像相較于被觀察的實物，其對人眼的張角增大了，即人眼觀察該物體的視角放大了。

圖1 開普勒望遠鏡的工作原理

望遠鏡的視角放大率定義為：用望遠鏡觀察物體時該物體的像對人眼的視角與人眼直接觀察該物體時的視角的比值，由于視角很小，可以用其正切值代替。如圖1所示，經(jīng)過簡單的幾何推導(dǎo)，結(jié)合物鏡的后焦面和目鏡的前焦面幾乎重合這一近似條件，可得到望遠鏡的無窮遠視角放大率理論值Γ0為

(1)

即開普勒望遠鏡的無窮遠視角放大率理論值為其物鏡與目鏡的焦距之比。

2 視角直接比較法測望遠鏡的放大率

具體操作如圖2所示。將目標(biāo)尺上的上、下指標(biāo)間距設(shè)置為d1，然后將目標(biāo)尺放置于距離望遠鏡物鏡一定位置處，仔細(xì)調(diào)節(jié)物鏡和目鏡位置，直至能從目鏡中看到清晰的上、下指標(biāo)的放大像。

圖2 視角直接比較法測望遠鏡的放大率實驗裝置

測量時，用一只眼睛從望遠鏡目鏡中觀察經(jīng)望遠鏡放大后的上、下指標(biāo)的像(間距為d2)，另一只眼睛直接觀察目標(biāo)尺實物。經(jīng)過眼睛的適應(yīng)性練習(xí)，并仔細(xì)調(diào)節(jié)物鏡和目鏡，消除視差，使得目標(biāo)尺與指標(biāo)像位于同一平面內(nèi)且目標(biāo)尺處于指標(biāo)像的中間，如圖3所示。然后利用目標(biāo)尺直接測量指標(biāo)像的間距d2，則該自組望遠鏡的放大率測量值Γ1為

(2)

該實驗滿足薄透鏡對近軸光線的成像條件，物距u、像距v、薄透鏡焦距f的關(guān)系滿足高斯公式。

(3)

圖3 放大像的尺寸測量

受實驗室空間所限，實際的測量實驗中，物距不可能無限遠，加之人眼觀察距離的限制，采用視角直接比較法測望遠鏡的放大率時，物距通常在2 m以內(nèi)。在這種條件下，由式(3)可知，物鏡對目標(biāo)尺的上、下指標(biāo)成的實像位于物鏡的一倍和二倍焦距之間，且物距越小，像距越大，即該實像離物鏡的后焦面越遠。因此，物距越小，實際的放大率與式(1)計算得到的理論值差別越大，需要對計算公式(1)做修正。

3 開普勒望遠鏡放大率計算公式的修正

如圖4所示，設(shè)被觀察物的高度為y，其與望遠鏡物鏡的間距為u1，經(jīng)物鏡成的實像高度為y′，該實像與物鏡的間距為v1，與目鏡的間距為u2，物鏡與目鏡的間距為L。

圖4 開普勒望遠鏡觀察有限遠物體時的光路

望遠鏡的視角放大率計算值Γ2為

(4)

其中

(5)

(6)

根據(jù)高斯公式

(7)

由式(4)-(7)得到修正后的望遠鏡的視角放大率計算值Γ2為

(8)

可以看到，修正后的計算公式中不含目鏡的焦距f2，看似與目鏡的焦距無關(guān)。實際上，為了達到最佳的效果，該表達式中的物鏡與目鏡的間距L必須調(diào)節(jié)到一個合適的值。因此，修正后的放大率計算公式其實是與目鏡的焦距相關(guān)的。

4 實驗結(jié)果

實驗裝置如圖2所示，物鏡和目鏡用相同型號的光學(xué)底座置于滑軌上，物鏡焦距f1=225 mm，目鏡焦距f2=45 mm，改變目標(biāo)尺與物鏡的間距(即物距u1)，測得不同物距對應(yīng)的放大率數(shù)據(jù)如表1所示，由此得到自組望遠鏡放大率的測量值Γ1、修正后的計算值Γ2與物距u1的關(guān)系曲線如圖5所示。

表1 視角直接比較法測望遠鏡的放大率數(shù)據(jù)

圖5 自組望遠鏡的放大率與物距的關(guān)系曲線

為了使測量結(jié)果更精確，需要注意兩個細(xì)節(jié)：仔細(xì)調(diào)節(jié)，消除視差，使得目標(biāo)尺與指標(biāo)像位于同一平面內(nèi)且目標(biāo)尺處于指標(biāo)像的中間；當(dāng)物距較遠時，觀察者用目標(biāo)尺測量指標(biāo)像的尺寸時，可能看不清目標(biāo)尺上的刻度(因人而異，一般情況下，超過1.5 m就看不清)，可以兩個人配合測量，觀察者從目鏡位置觀察，配合者將一把直尺沿水平方向緊靠目標(biāo)尺并沿豎直方向移動，當(dāng)觀察者觀察到直尺的某條邊分別與上、下指標(biāo)像的邊對齊時，讓配合者讀出目標(biāo)尺上與直尺的這條邊對齊的刻度，兩次讀數(shù)之差即為指標(biāo)像的間距d2。

5 結(jié) 語

由表1及圖5所示實驗結(jié)果可以得到以下結(jié)論：

(1)隨著物距的增大，視角直接比較法測得的望遠鏡放大率Γ1與無窮遠視角放大率理論值Γ0的相對誤差呈下降趨勢；

(2)當(dāng)物距小于2.5 m時，視角直接比較法測得的望遠鏡放大率Γ1與無窮遠視角放大率理論值Γ0的相對誤差較大，超過5%；

(3)視角直接比較法測得的望遠鏡放大率Γ1與修正后的計算值Γ2非常接近，即使在物距小于1.5 m時，二者的相對誤差也非常小。

通過對開普勒望遠鏡的放大率計算公式進行修正，并結(jié)合實驗驗證，成功地對視角直接比較法進行了改進。該改進方法可以讓實驗者在物距較短的情況下精確測量自組望遠鏡的放大率，解決了學(xué)生在實驗時遇到的實驗空間受限、人眼觀察距離受限的問題。