黃 申，翟恩地,2，許成順，孫毅龍

(1. 北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)教育部安全實(shí)驗(yàn)室，北京100124；2. 新疆金風(fēng)科技股份有限公司，北京100176)

近年來，單樁基礎(chǔ)已廣泛應(yīng)用于橋梁、高層建筑和海上風(fēng)電等工程中。在單樁基礎(chǔ)的眾多水平承載特性分析模型中，傳統(tǒng)的Winkler 地基梁模型由于其原理簡單，結(jié)合現(xiàn)有的p-y曲線和t-z曲線研究成果，在工程設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。隨著樁徑的逐漸增大，樁側(cè)摩阻力和樁端阻力對單樁水平承載特性的影響越來越顯著，國內(nèi)外眾多學(xué)者對此展開研究。

Alikhanlou[1]針對剛性單樁基礎(chǔ)提出五彈簧模型，該模型通過使用水平、垂直和旋轉(zhuǎn)彈簧來考慮水平土抗力、樁側(cè)摩阻力和端阻力對剛性樁的水平承載特性的影響。Allotey[2]開發(fā)了一種考慮摩阻力效應(yīng)的有限元模型，研究了在水平循環(huán)荷載作用下側(cè)摩阻力對樁的動(dòng)力響應(yīng)的影響。張小玲等[3]基于圓孔擴(kuò)孔理論建立了考慮樁側(cè)摩阻力影響的樁身撓曲微分方程。Niraula[4]根據(jù)樁單元的力矩平衡條件，將樁側(cè)摩阻力形成的附加彎矩耦合進(jìn)土抗力的求解微分方程，并開展嵌巖樁的模型試驗(yàn)來驗(yàn)證方程的正確性。上述研究均假定豎向摩阻力沿著半圓周均勻分布，而實(shí)際情況中摩阻力在水平加載方向的兩側(cè)達(dá)到最小值，上述研究高估了樁身豎向摩阻力對單樁水平響應(yīng)的影響。

有學(xué)者從土應(yīng)力-應(yīng)變曲線與t-z曲線之間存在比例關(guān)系的角度出發(fā)，建立樁身附加抗力矩-樁截面轉(zhuǎn)角(Ms-θ)曲線與土剪應(yīng)力-剪應(yīng)變曲線之間的聯(lián)系。例如Ashour 等[5]根據(jù)現(xiàn)有黏性土中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系推導(dǎo)出附加彎矩的理論公式，結(jié)合應(yīng)變楔模型對彈性地基梁進(jìn)行水平受力分析，結(jié)果表明：樁身摩阻力能夠顯著增加樁頂剛度。Fu 等[6]則使用NGI-ADP 模型得到土單元的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，根據(jù)比例因子換算出p-y曲線和Ms-θ 曲線，采用一維模型與有限元模擬結(jié)果進(jìn)行對比分析。上述研究均適用于黏性土，且作為輸入條件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線基于特定本構(gòu)模型的計(jì)算結(jié)果，不利于工程應(yīng)用。

Zhang 等[7]同樣提出了將土的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)與樁端剪力-位移響應(yīng)聯(lián)系起來的模型，研究并分析了樁端抗力矩對于荷載響應(yīng)的影響，認(rèn)為在大多數(shù)情況下樁端剪力和抗力矩對水平位移的影響較小。翟恩地等[8]基于荷載-位移曲線建立了針對鋼管樁的樁端水平剪力和樁端抗力矩的有限元公式，但未考慮靜止?fàn)顟B(tài)下的樁端豎向應(yīng)力對樁端樁-土界面接觸狀態(tài)的影響。竺明星等[9]對水平力作用下的樁端豎向應(yīng)力作用機(jī)理進(jìn)行了研究，竺明星等[9]認(rèn)為樁端豎向壓力由靜止時(shí)的豎向應(yīng)力和樁端截面轉(zhuǎn)動(dòng)引起的附加應(yīng)力兩部分組成，當(dāng)樁端抬起一側(cè)的卸載應(yīng)力大于靜止豎向應(yīng)力時(shí)會發(fā)生樁-土界面脫開現(xiàn)象。

本文以剛性單樁基礎(chǔ)為研究對象，采用現(xiàn)有的τ-s曲線模型，極限摩阻力考慮了樁側(cè)土壓力引起的增強(qiáng)效應(yīng)，推導(dǎo)出適用于砂土和黏性土的樁身抗力矩的理論計(jì)算公式；樁端附加應(yīng)力采用雙曲線模型計(jì)算，結(jié)合樁端截面轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的樁-土界面脫開效應(yīng)，建立了樁端水平剪力和樁端抗力矩的離散數(shù)值計(jì)算模型?；谒膹椈傻鼗耗Ｐ停ㄟ^有限元方法分析了剛性樁在水平荷載作用下的響應(yīng)，并與實(shí)測結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 基本設(shè)定與分析模型

如圖1 所示，樁基礎(chǔ)在水平荷載作用下，樁截面的轉(zhuǎn)動(dòng)會在樁身表面產(chǎn)生豎向摩阻力τs，由此形成對樁中性軸的附加抗力矩。同時(shí)在樁端處，樁端豎向土壓力qb會形成抗力矩，樁端水平位移也會產(chǎn)生水平阻力τb。許多研究結(jié)果[6-12]表明：對于短粗剛性樁，樁身抗力矩和樁端阻力對樁水平位移和水平承載力的影響不容忽視，因此本文的研究對象為大直徑剛性樁基礎(chǔ)。當(dāng)L/T＜2.5 時(shí)，單樁可被判定為剛性樁[13]，其中L為樁埋深長度，T按如下公式計(jì)算：

圖1 附加抗力示意圖Fig. 1 Schematic diagram of additional resistance

圖2 剛性樁水平位移模式圖(引自Ashour 等[5])Fig. 2 Horizontal displacement model diagram of rigid pile(Cited from Ashour et al[5])

本文采用的模型為四彈簧Winkler 彈性地基梁，如圖3 所示。此模型將樁側(cè)土離散為一系列水平和旋轉(zhuǎn)彈簧。在樁身節(jié)點(diǎn)處，水平彈簧定義橫向土抗力p與水平位移y之間的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)彈簧定義了樁身抗力矩Ms與樁截面轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系；在樁端節(jié)點(diǎn)處，水平彈簧代表了樁端剪力Fb與樁端水平位移yb之間的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)彈簧代表了樁端抗力矩Mb與樁端截面轉(zhuǎn)角θb之間的關(guān)系。

圖3 四彈簧Winkler 地基梁模型Fig. 3 Model of four-spring Winkler foundation beam

2 樁身抗力矩推導(dǎo)

樁側(cè)摩阻力發(fā)揮與樁土相對位移s有關(guān)。樁截面的水平位移和樁截面轉(zhuǎn)動(dòng)變形共同引起了樁土相對位移，如圖4 所示，沿樁截面圓周各點(diǎn)的豎向相對位移s為：

圖4 樁截面豎向位移示意圖Fig. 4 Schematic diagram of pile section vertical displacement

式中：ub為樁軸心處的豎向位移，約為0.5yθ；θ 為樁截面轉(zhuǎn)角，式(2)第二項(xiàng)是指樁截面轉(zhuǎn)動(dòng)的豎向位移，其中β 為計(jì)算節(jié)點(diǎn)與加載方向的夾角。兩項(xiàng)的比值為0.5y/(Rcosβ)，當(dāng)β=0 時(shí)，比值達(dá)到最大值。在y/R的值小于10%的情況下，ub與式(2)第二項(xiàng)的比值不超過5%。因此，本文在計(jì)算樁截面各點(diǎn)豎向位移時(shí)忽略軸心處的豎向位移ub。式(2)因此變?yōu)椋?/p>

已知樁截面各點(diǎn)豎向位移s，則需要根據(jù)摩阻力-位移(τ-s)曲線確定摩阻力τ。鑒于τ-s曲線類型眾多，所以本文依據(jù)API 規(guī)范[14]提供的τ-s曲線模型，分別對砂土和黏性土中樁身的抗力矩公式進(jìn)行了推導(dǎo)。

2.1 基于API 砂土摩阻力模型的單位長度樁身抗力矩

API 規(guī)范提供的砂土τ-s模型如圖5 虛線所示。

圖5 API 規(guī)范[14]摩阻力-位移模型Fig. 5 Model for shaft resistance-displacement of API code[14]

砂土中臨界相對位移su采用API 規(guī)范推薦值2.54 mm。極限摩阻力τu則采用庫侖-摩擦定律計(jì)算：

式中：σn/kPa 為徑向土壓力；δ 為樁-土界面摩擦角。

眾多試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：徑向土壓力沿樁周近似呈橢圓形分布規(guī)律，如圖6 所示。Prasad 等[15]利用土壓力傳感器測量了在水平荷載作用下的徑向土壓力分布。Lin 等[16]利用觸覺壓力傳感器測量了荷載變化過程中鋼管樁徑向土壓力的變化趨勢。Liu等[17]同樣利用觸覺壓力傳感器測量了水平位移過程中PVC 管樁的徑向土壓力分布數(shù)據(jù)。江杰等[18]根據(jù)樁周被動(dòng)測徑向土壓力與徑向位移的關(guān)系推導(dǎo)了實(shí)際分布形式的樁周土壓力分布計(jì)算公式。本文根據(jù)文獻(xiàn)[15 - 18]的樁周土壓力測試數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出以下擬合函數(shù)：

圖6 樁周應(yīng)力分布示意圖Fig. 6 Diagram of stress distribution around pile

式中： σmax/kPa 為某深度處加載方向最大土壓力；σn/kPa 為夾角β 處的徑向土壓力。

圖7 展示了不同樁頂水平力作用下徑向土壓力的實(shí)測值與擬合函數(shù)的對比情況，實(shí)測數(shù)據(jù)來自于Lin 等[16]的模型樁試驗(yàn)。如圖7 所示擬合函數(shù)值與實(shí)測值較為貼合，證明了擬合函數(shù)能較好地預(yù)測徑向土壓力沿樁截面的分布規(guī)律，可用于樁身極限摩阻力τu的計(jì)算。

圖7 徑向土壓力對比圖Fig. 7 Comparison diagram of radial soil pressure

由式(3)可知，樁截面最大相對位移smax=Rθ，發(fā)生在最大徑向土壓力σmax處。根據(jù)砂土τ-s曲線模型，豎向位移達(dá)到臨界位移后，摩阻力等于極限摩阻力τu并且保持不變。本文根據(jù)最大相對位移smax與臨界位移su之比分成兩種情況計(jì)算樁身單位長度抗力矩，并考慮徑向土壓力的非均勻分布，建立了如圖8 所示樁截面離散示意圖，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了樁身抗力矩的理論積分公式，采用復(fù)化Simpson 積分方法求得樁身抗力矩的數(shù)值解。

圖8 樁身截面離散示意圖Fig. 8 Discrete diagram of pile section

當(dāng)smax/su≤1 時(shí)，樁側(cè)摩阻力為τr，隨著相對位移增長而線性增長，全截面均未達(dá)到極限摩阻力τu。將單位長度圓弧內(nèi)的摩阻力對軸線的力矩沿圓周進(jìn)行積分，得到單位長度樁身抗力矩Ms/(N·m/m)：

Smith[19]提出水平土抗力p由法向土抗力Fn和沿著樁截面分布的水平摩阻力Fs兩部分組成，基于式(5)所示的徑向土壓力分布形式，分別得到法向土抗力Fn和水平摩阻力Fs的計(jì)算公式：

當(dāng)smax/su＞1 時(shí)，如圖8 所示，樁截面圓周上某一點(diǎn)的豎向位移Rθcosβ=su時(shí)，樁側(cè)摩阻力達(dá)到極限摩阻力，此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與OA軸線的夾角為βc，當(dāng)夾角小于βc時(shí)，豎向位移超過su，樁側(cè)摩阻力為極限摩阻力；當(dāng)夾角大于βc時(shí)，樁側(cè)摩阻力隨著豎向位移線性增加。因此樁身抗力矩Ms分為兩部分計(jì)算：

σmax同樣用式(10)進(jìn)行替代，式(13)轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

2.2 基于API 黏性土摩阻力模型的單位長度樁身抗力矩

API 規(guī)范[14]提供的黏性土τ-s模型如圖5 實(shí)線所示。此模型為分段軟化模型，當(dāng)豎向相對位移超過su后，樁側(cè)摩阻力隨著相對位移增加而減少，在2su處達(dá)到殘余摩阻力值τres。τres與τu的比值在0.7～0.9。類似于砂土τ-s模型的計(jì)算方法，本文根據(jù)smax/su分為三段計(jì)算單位長度樁身抗力矩Ms。

當(dāng)smax/su≤1 時(shí)，API 砂 土τ-s模 型 中s/su與τ/τu之間是線性關(guān)系，而對于黏性土則是非線性，對其進(jìn)行擬合得到如下公式：

對于臨界位移su，API 規(guī)范建議取0.01D，Reese[20]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明黏土的su在0.005D～0.02D。對于極限摩阻力τu，Ashour 等[21]建議采用不排水抗剪強(qiáng)度值。

3 樁端抗力矩推導(dǎo)

3.1 樁端抗力矩離散數(shù)值解

Allotey 等[22]在計(jì)算剛性基礎(chǔ)基底抗力矩時(shí)假定基底截面圍繞形心軸旋轉(zhuǎn)。如圖9 所示，在小角度樁端截面轉(zhuǎn)角的情況下，樁端附加豎向應(yīng)力未超過靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的樁端豎向有效應(yīng)力。隨著轉(zhuǎn)角逐漸增大，附加豎向應(yīng)力超過靜止樁端豎向應(yīng)力，被動(dòng)土壓力一側(cè)的樁端截面與土脫開，另一側(cè)樁端附加應(yīng)力接近屈服應(yīng)力狀態(tài)。本文基于上述計(jì)算原理建立了如圖10 所示的樁端抗力矩的離散數(shù)值計(jì)算示意圖。

如圖10 所示，將圓弧AC和圓弧BC等分nb份，第i段圓弧中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與軸線AB的夾角βi=(i-1)π/(4nb)。

圖10 樁端截面離散示意圖Fig. 10 Discrete diagram of pile tip section

式中：zi為第i段條形豎向位移，zi=xisinθb，xi=Rcosβi，θb為樁端截面轉(zhuǎn)角；kb/(kN/m3)為曲線初始剛度，Randolph 等[24]建議取kb=4G/(πR(1-ν))，G/MPa 為樁端土剪切模量，ν為土泊松比；qu/kPa為極限端阻力，可選取樁-土界面摩擦角和不排水抗剪強(qiáng)度等參數(shù)，根據(jù)規(guī)范推薦方法進(jìn)行計(jì)算，也可以采用Almeida 等[25]推薦的根據(jù)CPTU 測量數(shù)據(jù)計(jì)算極限端阻力的方法，如下列公式所示：

式中：qc/MPa 為錐尖阻力；u2/kPa 為錐尖處測得的孔隙水壓力；σν/kPa 為上覆土有效壓力；Nk為錐尖系數(shù)，一般為10～30；a為錐尖面積比，a=0.8。

3.2 樁端抗力矩簡化公式解

王伯惠等[26]基于樁端阻力q與樁端位移z之間呈線性關(guān)系的假設(shè)，得出樁端抗力矩Mb的理論公式解：

式中：αb為基底土體有效應(yīng)力與極限端阻力之比，αb=qo/qu，kb和qu所代表意義同式(36)。

4 樁端水平剪力推導(dǎo)

現(xiàn)有的樁端水平剪力計(jì)算方法主要基于黏性土層中樁端水平剪力-水平位移(Fb-yb)曲線與樁端土應(yīng)力-應(yīng)變(τb-γb)曲線兩者之間的聯(lián)系，但缺少砂土層中計(jì)算樁端水平剪力的方法。竺明星等[27]提出了線彈性-塑性Fb-yb計(jì)算模型，計(jì)算參數(shù)均取自常見的巖土物理參數(shù)，方便于實(shí)際應(yīng)用。由于樁端處樁與土之間的相互作用類似于直剪試驗(yàn)，故本文采用API 規(guī)范摩阻力位移(τ-s)模型(如圖5 所示)計(jì)算樁端水平剪力。

砂土中樁端水平剪應(yīng)力-水平位移(τb-yb)模型為：

式中：η=yb/ybu；ξ=τres/τu，在0.7～0.9；ybu取0.01D；cu為不排水抗剪強(qiáng)度。

為了證明API 黏性土τb-yb曲線模型的有效性，本文與Ashour 等[5]和Fu 等[6]的τb-yb曲線模型進(jìn)行對比，計(jì)算所需參數(shù)為：樁直徑D=2 m，不排水抗剪強(qiáng)度cu=150 kPa，ε50=0.52%，破壞時(shí)的塑性應(yīng)變?yōu)?%，土剪切模量Gmax與cu的比值為200，臨界位移su=0.01D，對比結(jié)果如圖11 所示。

由圖11 可知，當(dāng)樁端水平位移小于su時(shí)，API規(guī)范[14]的τb-yb曲線與Fu 等[6]方法計(jì)算的τb-yb曲線比較貼近，由于考慮了摩阻力的軟化現(xiàn)象，因此當(dāng)達(dá)到臨界位移后，API 的樁端剪應(yīng)力會有所折減；在剛開始時(shí)，Ashour 等[5]與API[14]和Fu 等[6]的結(jié)果相差較多，但隨著水平位移逐漸增大，樁端剪應(yīng)力逐漸接近于不排水抗剪強(qiáng)度。

圖11 樁端剪應(yīng)力-水平位移曲線對比圖Fig. 11 Comparison diagram of curves of pile tip shear stress-horizontal displacement

黏性土中樁端水平剪力Fb為：

式中，Ab為樁端樁-土界面接觸面積，考慮了樁-土界面脫開效應(yīng)。

5 有限元計(jì)算方法

本文采用一維Winkler 彈性地基梁模型，將樁等分成n段，并在各分段節(jié)點(diǎn)上施加一個(gè)水平彈簧和一個(gè)旋轉(zhuǎn)彈簧，以反映土對樁的水平土抗力和附加抗力矩作用。由于忽略了樁軸線處的豎向位移，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)自由度：水平位移u和轉(zhuǎn)角θ?？傮w平衡方程為：

式中：R2i-1/kN 為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)上的水平反力；pi/(kN/m)為單位長度水平土抗力；kl,i/(kN/m2)為p-y曲線割線剛度；yi為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的水平位移；R2i/(kN·m)為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)上的反力彎矩；Ms/(kN·m/m)為單位長度樁身抗力矩；kr,i/(kN·m/m)為Ms-θ 曲線割線剛度；θi為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。當(dāng)i=1 或n+1 時(shí)，dL=L/(2n)，其他節(jié)點(diǎn)dL=L/n。

根據(jù)式(49)，R可改寫為如下形式：

本文利用MATLAB 編制基于上述有限元公式的單樁水平受力分析程序，計(jì)算步驟說明如下：

1) 輸入計(jì)算所需的參數(shù)，劃分節(jié)點(diǎn)和單元，計(jì)算樁總剛度矩陣Kp，計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的p-y曲線和Ms-θ 曲線，以及樁端節(jié)點(diǎn)的Mb-θb曲線和Fb-yb曲線。

2) 計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的p-y曲線的初始剛度kl,ini，生成對角矩陣Ks，其中奇數(shù)行的對角元素為kl,inidL，偶數(shù)行對角元素為0。

3) 根據(jù)式(51)求得節(jié)點(diǎn)位移向量a。

4) 根據(jù)節(jié)點(diǎn)水平位移和轉(zhuǎn)角，求得每個(gè)節(jié)點(diǎn)的p-y曲線割線剛度kl,i和Ms-θ 曲線割線剛度kr,i，重新生成矩陣Ks。如果考慮樁端阻力，則需在矩陣Ks相應(yīng)對角元素處加上Mb-θb曲線割線剛度kl,b和Fb-yb曲線割線剛度kr,b。

da=K-1(F-Kam)

5) ，上標(biāo)m表示第m次迭代，若||da||/||am|| ＜ε=1×10-4，則滿足收斂條件進(jìn)行下一步。若不收斂，am+1=am+ da，返回步驟4)。

6) 根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求解樁身內(nèi)力。

6 算例驗(yàn)證

6.1 算例1

Bhushan 等[28]在開展了砂土場地鉆孔灌注樁的多組水平加載試驗(yàn)，其中在場地C 中安裝了7#試樁，樁直樁為1.22 m，樁長5.5 m，樁的埋置深度為5.5 m，樁的彈性模量為32.4 GPa，L/T=2.4＜2.5，屬于剛性樁。試驗(yàn)加載點(diǎn)位于泥面處，每級水平荷載增量為127 kN，直到最大荷載890 kN 終止加載。場地C 一共包含兩層土，第一層土厚度為1.8 m，內(nèi)摩擦角為36°；第二層土厚度為3.7 m，內(nèi)摩擦角為42°，兩層土的重度都為16.5 kN/m3。樁-土界面摩擦角為內(nèi)摩擦角的0.6 倍，樁端土的剪切模量為25.4 MPa，極限端阻力為9 MPa。砂土的p-y曲線根據(jù)API 規(guī)范計(jì)算?；诒疚奶岢龅挠?jì)算方法編制程序計(jì)算樁身位移，并與實(shí)測值進(jìn)行對比。圖12 為7#試樁泥面水平位移的結(jié)果對比圖。

圖12 7#試樁泥面水平位移對比圖Fig. 12 Comparison diagram of horizontal displacement of test pile 7 on mudline

由圖12 可知，只考慮p-y曲線時(shí)的泥面水平位移計(jì)算值小于實(shí)測值，采用四彈簧模型的計(jì)算結(jié)果小于p-y曲線法，與實(shí)測值更為吻合。在水平荷載較小的情況下，只考慮p-y曲線時(shí)與四種彈簧曲線都考慮時(shí)的泥面水平位移較為接近；隨著荷載的逐漸增大，兩種情況下的泥面位移差值逐漸增大，采用四彈簧模型的計(jì)算結(jié)果更接近于實(shí)測值。從圖12 可以看出，樁端水平剪力和抗力矩對水平位移的影響較小，這是由于此時(shí)樁端位移較小，樁端水平剪力并未充分發(fā)揮作用。

6.2 算例2

Klinkvort 等[29]利用離心機(jī)試驗(yàn)?zāi)M了砂土中實(shí)心鋼樁在水平荷載作用下的響應(yīng)。其中模型樁T5 的樁直徑為40 mm，長徑比為6，L/T=1.16＜2.5，屬于剛性樁，離心加速度為77.7g，原型樁的直徑為5 m，樁埋深長度為30 m，泥面以上樁長75 m，水平荷載加載點(diǎn)位于樁頂，當(dāng)水平位移明顯增大時(shí)終止加載。砂土相對密度為90 %，有效重度為16.8 kN/m3，內(nèi)摩擦角φ為40°，樁-土界面摩擦角δ = 0.7φ，樁端土剪切模量為50.4 MPa，樁端極限端阻力為7.7 MPa。

由圖13 可知，只考慮p-y曲線時(shí)的樁頂水平位移明顯小于實(shí)測值。當(dāng)樁頂荷載小于30 000 kN時(shí)，考慮四彈簧曲線的計(jì)算結(jié)果與p-y曲線法較為接近；樁頂荷載超過30 000 kN 時(shí), 采用四彈簧模型計(jì)算的結(jié)果更接近于實(shí)測值，而p-y曲線法計(jì)算的樁頂水平位移明顯偏大，荷載位移曲線也較早進(jìn)入塑性階段。采用四彈簧模型計(jì)算的極限水平承載力為54 000 kN，而采用p-y曲線法計(jì)算的極限水平承載力為46 000 kN，說明四彈簧模型能較大提高樁基的水平承載力。水平荷載較小時(shí)樁端水平阻力和抗力矩對于樁基水平承載力的影響并不明顯，荷載位移曲線進(jìn)入塑性階段后，此時(shí)樁端剪力與樁端抗力矩開始發(fā)揮作用，使得樁基礎(chǔ)的水平承載能力有所提高。

圖13 樁頂水平力-位移曲線對比圖Fig. 13 Comparison diagram of pile head forcedisplacement curves

6.3 算例3

聯(lián)合行業(yè)項(xiàng)目PISA[30]中在Cowden 的硬黏土場地上對鋼管樁基礎(chǔ)進(jìn)行了水平加載試驗(yàn)。其中試樁CL2 的直徑D=2 m，壁厚t=25 mm，樁長20.5 m，其中泥面以上長度為10 m，埋置深度L=10.5 m，長徑比為5.25，加載位置位于樁頂，當(dāng)樁頂水平位移急劇增加，位移速率明顯增大時(shí)終止水平加載。場地土體參數(shù)如表1 所示，土層有效重度為11.2 kN/m3。樁端土剪切模量為28.2 MPa，樁端處的錐尖阻力qc=2.6 MPa，孔隙水壓力u2=250 kPa，根據(jù)式(37)～式(38)計(jì)算的極限端阻力qu=1.42 MPa。黏土的p-y曲線根據(jù)API 規(guī)范計(jì)算。

試樁CL2 泥面水平位移的對比結(jié)果如圖14 所示。采用四彈簧模型計(jì)算的泥面位移更接近實(shí)測值，驗(yàn)證了本文提出的黏性土中樁身抗力矩和樁端剪力和彎矩模型的正確性。而p-y曲線法的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值相比差距較大，三維有限元軟件計(jì)算結(jié)果顯示API 的p-y曲線模型嚴(yán)重低估了初始剛度和極限土抗力，因此在分析樁的水平受力響應(yīng)時(shí)，p-y曲線模型仍是主要因素。

圖14 試樁CL2 荷載位移曲線Fig. 14 Curves of load-displacement of test pile CL2

圖15 展示了泥面位移為20.8 mm 時(shí)采用p-y曲線法和四彈簧模型法計(jì)算的樁身彎矩與實(shí)測值的對比情況。由于泥面位移相同時(shí)，三種彈簧施加模式下的樁頂荷載不同，因此計(jì)算得到的樁身彎矩會有顯著區(qū)別。深度小于7.5 m 時(shí)，p-y曲線法和四彈簧模型法計(jì)算的樁身彎矩明顯小于實(shí)測值，p-y曲線法計(jì)算的樁身彎矩最小，分別施加Ms-θ、Mb-θb和Fb-yb彈 簧 后，樁 身 彎 矩 逐 漸 增加，四彈簧模型法的計(jì)算結(jié)果更接近于實(shí)測值。

由圖14 和圖15 可以看出，在考慮Ms、Fb和Mb等附加抗力影響后，樁身響應(yīng)計(jì)算值與實(shí)測值仍有一定差距，這是由于API 規(guī)范采用的Matlock黏土p-y曲線的極限土抗力較低導(dǎo)致的。 Zhang等[31]對比了Matlock[32]、Reese 等[20]、Broms[33]和Randolph 等[24]學(xué)者關(guān)于黏性土極限土抗力的計(jì)算結(jié)果以及Hamilton 等[34]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)基于Matlock 方法計(jì)算的極限土抗力在眾多方法中處于最小值，且與實(shí)測數(shù)據(jù)相比也相差較多。李洪江等[35]基于Vesic 圓孔擴(kuò)張理論推導(dǎo)了黏性土的p-y曲線模型，通過將計(jì)算的p-y曲線與Matlock 方法和實(shí)測值三者進(jìn)行對比，同樣發(fā)現(xiàn)基于Matlock方法計(jì)算的極限土抗力較低。因此在進(jìn)行單樁水平受力分析時(shí)應(yīng)選取更先進(jìn)合理的p-y曲線模型。

圖15 試樁CL2 樁身彎矩分布曲線Fig. 15 Bending moment distribution curve of test pile CL2

7 水平承載力分析

大直徑單樁在水平荷載作用下，當(dāng)泥面處水平位移達(dá)到0.1D時(shí)，此時(shí)的樁頂荷載定義為樁的水平承載力。為探究四種土反力(水平土抗力p、樁身抗力矩Ms、樁端剪力Fb和樁端抗力矩Mb)對于樁基水平承載力的影響，通過將p-y、Ms-θ、Fb-yb和Mb-θb彈簧依次加入到模型中，每加入一種土反力彈簧計(jì)算一次水平承載力Fu,i，當(dāng)所有土反力彈簧施加完畢時(shí)得到總水平承載力Fu,sum，則每種土反力彈簧在總水平承載力中的占比為ΔFu(%)=(Fu,i-Fu,i-1) /Fu,sum×100%。本文分別在砂土地基和黏性土地基中開展水平承載力計(jì)算，探究四種土反力分別在不同樁直徑和不同長徑比情況下在總水平承載力中的占比的變化趨勢。

7.1 砂土地基參數(shù)分析

Bhushan 等[28]在砂土地基場地B 中進(jìn)行了多組鉆孔灌注樁加載試驗(yàn)，試驗(yàn)樁彈性模量為32.4 GPa，加載點(diǎn)設(shè)置在泥面處。試驗(yàn)場地有兩層土，第一層土厚度為0.9 m，內(nèi)摩擦角為36°；第二層土厚度為14 m，內(nèi)摩擦角為42°，土的有效重度為16.5 kN/m3?；诖藞龅貐?shù)開展水平承載力計(jì)算，樁直徑對四種土反力在總水平承載力占比的影響如圖16 所示，長徑比L/D對四種土反力在總水平承載力占比的影響如圖17 所示。

圖16 不同樁直徑下土反力對總水平承載力的影響Fig. 16 Influence of soil reaction on total horizontal bearing capacity under different pile diameters

圖17 不同長徑比下四種抗力對總水平承載力的影響Fig. 17 Influence of four resistances on total horizontal bearing capacity under different ratios of pile length to diameter

圖16 中樁長徑比L/D=4，并保持不變，樁直徑D從1 m 增加到3.5 m。由圖16 可知四種土反力對于水平承載力的影響沒有顯著變化。水平土抗力p提供了主要的承載力作用，并且隨著樁直徑增加，p在總水平承載力中的占比略有上升。Ms、Fb和Mb相比于p一共提升了約25 %的水平承載力，三者之中Ms在總水平承載力的占比最大，約為16%；Mb的占比最小，約為1.1%；隨著樁直徑的增加，F(xiàn)b對樁的水平承載力的影響略有下降。

圖17 中樁直徑D=2 m，并保持不變，長徑比L/D從3 增大到8。由圖17 可知四種土反力對于水平承載力的貢獻(xiàn)均發(fā)生了顯著變化。p在總水平承載力中的占比從70 %增大到94 %，說明對于長徑比較大的半剛性樁或柔性樁，采用p-y曲線法與四彈簧模型法計(jì)算的水平承載力差異較小。隨著L/D的增加，Ms、Fb和Mb在總水平承載力的占比逐漸下降。其中Ms在總水平承載力的占比從20 %下降到5.3 %，下降幅度最為顯著；當(dāng)L/D大于6 時(shí)，F(xiàn)b和Mb在總水平承載力中的占比接近于0，這是由于隨著長徑比逐漸增大，樁身變形由剛性轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)槿嵝宰冃?，樁端水平位移和轉(zhuǎn)角較小，由此產(chǎn)生的樁端剪力和樁端抗力矩也較小，因此無法對樁水平承載力產(chǎn)生影響。

Murphy 等[36]利用PLAXIS 軟件并且采用硬化土本構(gòu)模型模擬了砂土土層中單樁在水平靜力作用下的響應(yīng)，其中樁直徑為0.51 m，內(nèi)摩擦角平均值為45°。計(jì)算結(jié)果顯示：當(dāng)L/D由3 增大到6時(shí)，p-y彈簧對水平承載力的貢獻(xiàn)由74 %增大到88 %，Ms-θ 彈簧對水平承載力的貢獻(xiàn)由13 %減小到5 %，F(xiàn)b-yb彈簧對水平承載力的貢獻(xiàn)由8 % 減小到5.5 %，這與本文模型分析得到的四種土反力對水平承載力的貢獻(xiàn)隨長徑比變化規(guī)律較為接近，驗(yàn)證了本文模型的有效性。

7.2 黏性土地基參數(shù)分析

黏性土地基中參數(shù)分析沿用了算例3 中PISA項(xiàng)目硬黏土場地的土層參數(shù)，假設(shè)水平加載點(diǎn)位于泥面以上8 m 處。黏性土地基中樁直徑對四種土反力在總水平承載力中占比的影響如圖18 所示，長徑比L/D對四種土反力在總水平承載力中的占比的影響如圖19 所示。

圖18 不同樁直徑下四種抗力對總水平承載力的影響Fig. 18 Influence of four resistances on total horizontal bearing capacity under different pile diameters

圖18 中樁的長徑比L/D=4，樁直徑由2 m 增加到8 m。由圖18 可知，黏性土地基中四種土反力在總水平承載力中占比的變化規(guī)律類似于砂土地基。p、Ms和Mb在總水平承載力的占比基本保持不變，樁端剪力Fb在總水平承載力中的占比略有下降。

圖19 中樁直徑D=3 m，長徑比L/D從2 增大到7。從圖19 中也觀察到與砂土地基中相似的變化規(guī)律，即隨著長徑比逐漸增大，水平土抗力p在總水平承載力中的占比逐漸增加，Ms、Fb和Mb對于總水平承載力的貢獻(xiàn)逐漸減小。

圖19 不同長徑比下四種抗力對總水平承載力的影響Fig. 19 Influence of four resistances on total horizontal bearing capacity under different ratios of pile length to diameter

8 結(jié)論

本文基于API 規(guī)范推薦的τ-s曲線模型，分別推導(dǎo)了砂土和黏性土中樁身抗力矩的離散數(shù)值解和簡化公式解，并根據(jù)本文提出的樁端豎向應(yīng)力計(jì)算模型，推導(dǎo)出樁端抗力矩和樁端水平剪力的計(jì)算公式?；赪inkler 地基梁模型，采用有限元方法編制成MATLAB 程序，通過對比實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文模型的有效性。最后通過參數(shù)分析研究了樁直徑和長徑比L/D對水平土抗力p、樁身抗力矩Ms、樁端水平剪力Fb和抗力矩Mb在總水平承載力中占比的影響規(guī)律。本文得出如下主要結(jié)論：

(1) 通過算例驗(yàn)證，證明了本文提出Ms、Fb和Mb的理論計(jì)算公式是可行的。與傳統(tǒng)p-y曲線法相比，本文方法所得計(jì)算結(jié)果更接近于實(shí)測值。

(2) 水平荷載較小時(shí)，四彈簧模型法與p-y曲線法計(jì)算結(jié)果較為接近；隨著荷載逐漸增大，四彈簧模型法計(jì)算的樁身位移逐漸小于p-y曲線法的計(jì)算結(jié)果，同時(shí)更接近于實(shí)測值。

(3) 在樁的水平承載特性分析中，p-y曲線模型是主要的影響因素。選用更先進(jìn)合理的p-y曲線模型能夠提升計(jì)算結(jié)果的有效性。

(4) 隨著樁直徑的增大，p、Ms、Fb和Mb在總水平承載力中的占比并無顯著變化；當(dāng)長徑比L/D逐漸增大時(shí)，水平土抗力p在總水平承載力中的占比逐漸增加，Ms、Fb和Mb在水平承載力中的占比逐漸減小