淘汰賽對陣方案的制定

崔春強(qiáng) 王敞亮

◆摘? 要：足球是當(dāng)今世界最熱門的體育運動之一。本文主要討論有 12 支球隊參賽時， 決賽對陣方案的制定以及有 24 支球隊參賽時， 決賽對陣方案的制定，得到了所有不同的對陣方案。

◆關(guān)鍵詞：足球;淘汰賽;對陣方案;逆序數(shù)

一、引言

足球，被譽(yù)為“世界第一運動”，全球體育界最具有影響力的單項體育運動。足球運動是一項古老的體育活動，源遠(yuǎn)流長。據(jù)史料記載，希臘人和羅馬人在中世紀(jì)以前就已經(jīng)從事一種足球游戲了。他們在一個長方形場地上，將球放在中間的白線上，用腳把球踢滾到對方場地上。

據(jù)史料記載，中國古代足球的出現(xiàn)比歐洲更早，歷史更為悠久。足球起源于中國古代戰(zhàn)國時期的齊國，當(dāng)時名為“蹴鞠”或“蹋鞠”，“蹴”和“?！倍际翘叩囊馑迹熬稀笔乔蛎??！磅砭稀币辉~最早記載在《史記》里，漢代劉向《別錄》和唐人顏師曾《漢書枚乘傳》均有記載?！稇?zhàn)國策·奇策》中蘇秦游說齊宣王時形容臨淄：“臨淄甚富而實，其民無不吹竿、鼓瑟、蹴鞠者”。到了唐宋時期，“蹴鞠”活動已十分盛行，成為宮廷之中的高雅活動。原國際足聯(lián)主席阿維蘭熱博士來中國訪問時曾表示：足球起源于中國。當(dāng)然，由于封建社會的局限，中國古代的蹴鞠活動最終沒有發(fā)展成為以公平競爭”為原則的現(xiàn)代足球運動。這個質(zhì)的飛躍是在資本主義的英國完成的。

現(xiàn)代足球運動的誕生從17世紀(jì)中后期開始，足球運動逐步從歐美傳入世界各國，尤其是在一些文化發(fā)達(dá)的國家更為盛行。越來越多的人走向球場，投身到這一富有刺激性和暢快感的運動中去，以至于一度將足球運動開展得好壞作為衡量一個國家文化發(fā)達(dá)與否的標(biāo)志。在這種情況下，英國人率先為足球運動的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)。1848年，足球運動的第一個文字形式的規(guī)則《劍橋規(guī)則》誕生了。1863的10月26日，英國人在倫敦皇后大街弗里馬森旅館成立了世界第一個足球協(xié)會----英格蘭足球協(xié)會。英格蘭足球協(xié)會的誕生，標(biāo)志著足球運動的發(fā)展進(jìn)入了一個嶄新的階段。

二、主要結(jié)果

據(jù)歷史考證，女子足球的歷史幾乎同男子一樣長，這從漢代出土的文物及中國古代足球游戲可以得到證明。也有資料記載，英格蘭婦女參加類似的足球比接在十六世紀(jì)已經(jīng)開展，比賽時間也同現(xiàn)代足球相似。當(dāng)比賽蔓延到英倫三島時，普及面也不小，各個不同地區(qū)的婦女開始嘗試。但后來由于比賽缺乏規(guī)則指導(dǎo)而且對抗日益加劇，似乎早期足球?qū)D女吸引力降低了。

1988年我國廣東試辦非正式的國際足聯(lián)女子足球錦標(biāo)賽和1991年又成功舉辦首屆世界杯以來，國際女子足球運動取得了飛速的發(fā)展。盡管女足格局尚未走出歐洲、北美、亞洲為龍頭的三強(qiáng)鼎立格局但國際女足的力量對比和打法風(fēng)格已經(jīng)發(fā)生了新的變化，世界杯比賽制度的確立及女足成為亞特蘭大奧運會正式比賽項目促進(jìn)了各國女足訓(xùn)練的正規(guī)劃，隨著女足商業(yè)化、職業(yè)化進(jìn)程，女子足球的普及程度會有所加強(qiáng)，技戰(zhàn)術(shù)水平將更加呈現(xiàn)出男性化特征。隨著現(xiàn)代足球運動的不斷普及和發(fā)展，其規(guī)則也在演變和改進(jìn)。

第一屆女足世界杯于 1991 年在中國廣州舉辦。由于當(dāng)時世界女足運動才剛剛起步，其普及程度以及競技水平還相對不足，所以第一屆世界杯只有 12 支球隊參賽，以確保觀賞性。12 支球隊分成 3 組，每組 4 支球隊。每組前兩名以及成績最好的兩個小組的第三名進(jìn)入 8 強(qiáng)淘汰賽。下面我們來討論 [14]決賽的對陣方案。

首先，在A，B，C三個小組的第一名中選兩個出來與成績最好的兩個第三名對陣，一共有 C[3][2]=3種不同的選法（1A，1B 或1A，1C 或1B，1C）。由于成績最好的兩個小組第三名的不確定性，可能的方式有 C[3][2]=3種（3A，3B 或3A，3C 或3B，3C）。

最后，我們來確定剩下的兩組的對陣。依照同組回避原則，剛才選第一名時沒選到的小組的前兩名分別對陣其余兩組的第二名。一共有 2 種不同的對陣方式。所以，所有不同的 [14] 決賽對陣方式一共有 3×3×2=18 種（如圖1）。

如果在確定出線的兩個小組第三名的前提下，不同的對陣方式一共有 3×2=6 種（如圖2）。如果在確定出線的兩個小組第三名的前提下，并且對選擇對陣第三名的那兩個小組的第二名進(jìn)行排序，規(guī)定選剩的一個小組第一名對陣成績較差的第二名，本小組的第二名對陣成績（參看附表）較好的第二名。這樣的話，不同的對陣方式只有3種。

以 1991 年中國廣州第一屆女足世界杯為例，按照當(dāng)年國際足聯(lián)的規(guī)定，選擇B組第一名（美國）和C組的第一名（德國）來對陣兩個成績最好的第三名。最后，A組的丹麥和C組的中華臺北成功以第三名進(jìn)入淘汰賽。當(dāng)年的淘汰賽對陣圖如圖2。如果我們對B組的第二名（瑞典）和C組的第二名（意大利）進(jìn)行排序的話，由于瑞典的成績優(yōu)于意大利，根據(jù)上面的規(guī)定，則中國對陣意大利，挪威對陣瑞典。

隨著女足運動在全世界的不斷普及和推廣，使得一些國家和地區(qū)的女足水平得到迅速的提高，女足運動規(guī)模日益擴(kuò)大，女子足球影響力不斷擴(kuò)大。2015 年加拿大女子世界杯是國際足聯(lián)舉辦的第 7 屆女足世界杯賽事。本屆賽事首次擴(kuò)軍至 24 支球隊。24 支球隊分成 6 組，每組 4 支球隊，除了每小組前2名出線之外，還有4個名額分配到了各小組成績最好的第三名。一共 16 支球隊進(jìn)入淘汰賽。對于實力較弱的球隊來說，如果以成績最好的小組第3名出線也還算是一個不錯的選擇。下面我們來討論有 24 支球隊參賽 [18]決賽對陣方案的制定。

根據(jù)國際足聯(lián)規(guī)定，小組第一名對陣小組第三名時，本組第一不對陣本組第三（同組回避原則），同一小區(qū)（16 強(qiáng)分為上半?yún)^(qū)和下半?yún)^(qū)，而每個半?yún)^(qū)[18] 決賽之前的每 4 支球隊稱為一個小區(qū)）的其他兩個小組第三名也要回避，與剩下的小組第三交鋒。任一小組第一不與其他小組第一對陣（[18]決賽時）（為了盡量避免強(qiáng)隊過早被淘汰，確保觀賞性）。

首先，在A，B，C，D，E，F(xiàn)六個小組的第一名中選 4 個出來與成績最好的 4 個第三名對陣。對于 4 個小組第一名，一共有 C[6][4]=15 種可能。由于成績最好的 4 個小組第三名的不確定性，=4 個小組第三名有 C[6][4]=15種可能。

對于 4 個第三名的選取，我們可以通過下面的方式來實現(xiàn)。從3A，3B，3C，3D，3E，3F中任選 3 個不同的字母并從小到大排好順序，一共選 4 次，若能使得每個字母均出現(xiàn) 2 次，則這 4 組字母必包含所有的 15 種可能，且每種可能均（僅有）兩次包含在內(nèi)。我們不妨選定其中一種作為代表。例如，所選的 4 組字母分別為：

（1）3C/3D/3E，（2）3A/3B/3F，（3）3A/3C/3D，（4）3B/3E/3F。

不難看出，這 4 組字母包含了 4 個小組第三的所有 15 種可能，且每種可能均 2 次包含在內(nèi)。因為每種可能均 2 次包含在內(nèi)，所以我們必須約定優(yōu)先選擇問題。下面我們采用逆序數(shù)來解決這個問題。我們先給這 4 組字母分別排一個序，分別用 1，2，3 來表示，假如3A，3C，3D，3F出線進(jìn)入淘汰賽，那么，3A，3C，3D，3F與 1133 和 1223 兩組數(shù)對應(yīng)。對于任意的兩個大于 0 的正整數(shù) [i] 和 [j] ，若 [i] > [j]，則這兩個數(shù)的逆序為 1;若 [i] < [j]，則逆序為 0;若? [i] = [j]，則規(guī)定逆序為 0.5。一組數(shù)的所有逆序之和稱為這組數(shù)的逆序數(shù)。我們規(guī)定逆序數(shù)較小的優(yōu)先（當(dāng)兩組數(shù)的逆序數(shù)相等時，規(guī)定各個數(shù)字之和較小的優(yōu)先）。例如，1213 的逆序數(shù)為 1.5，3331 的逆序數(shù)為 4.5。所以 1213 優(yōu)于3331。

接著，我們來確定 4 個第一名的選取。4 個小組第一名，一共也是 C[6][4]=15 種可能，所以，我們同樣可以采用上面的方式來確定 4 個小組第一。根據(jù)同組回避原則（本組第一不對陣本組第三），那么 4 個小組第一與小組第三的對陣為：

（1）1A/1B/1F----3C/3D/3E;（2）1C/1D/1E----3A/3B/3F;

（3）1B/1E/1F----3A/3C/3D;（4）1A/1C/1D----3B/3E/3F。

類似地，第一名的 4 組字母必包含所有的 15 種可能，且每種可能均 2 次包含在內(nèi)。我們同樣用逆序數(shù)來決定第一名的優(yōu)先選擇問題。如果我們選取的 4 個小組第一名分別為：1A，1B，1C，1D，那么它與 1122 和 1113 這兩組數(shù)對應(yīng)。顯然 1122 優(yōu)于 1113。

注意到：在以上規(guī)定之下，4 個小組第一與 4 個小組第三的對陣是唯一確定的。

最后，我們來確定 6 個小組第二名以及剩下的 2 個小組第一名的對陣。根據(jù)任一小組第一不與其他小組第一對陣，本組第一不對陣本組第三以及同一小區(qū)的其他兩個小組第三名也要回避的原則，這 4 組對陣所有的不同方案有 105-15-15-15+3=63 種。我們在這 63 種可能中任選其中一種對陣，和上面方式確定的 4 個小組第一與 4 個小組第三的對陣組成一個 [18]決賽對陣方案，不難看出，這個方案是唯一確定的（有且僅有一種對陣方式）。所以，有 24 支球隊參賽的 [18] 決賽對陣的不同方案一共有 15×15×63=14175 種。

在開賽之前，如果我們選定 4 個小組第一（例如，1A，1B，1C，1D），且確定 6 個小組第二以及剩下的 2 個小組第一的一種對陣方式（63 種之一）的話，那么有 24 支球隊參賽的 [18]決賽對陣的不同方案只有 15 種。（如圖3）

三、結(jié)束語

從1863年到現(xiàn)在僅僅一百余年，但是足球運動所取得的成就的確是很驚人的。歐洲、拉美的競技水平可以說旗鼓相當(dāng)，名列前茅。亞洲、非洲足球健兒也不甘示弱，正在發(fā)奮圖強(qiáng)迎頭趕上?，F(xiàn)在足球場上正是創(chuàng)作鉆研和隨機(jī)應(yīng)變的新時代，層出不窮的新事物正在向前突飛猛進(jìn)，把足球運動推向百花爭艷的春天。隨著足球的不斷發(fā)展，足球規(guī)則也不斷改變，比賽的形式也變得多樣化。小組賽的晉級規(guī)則也不斷改進(jìn)，都是朝著公平、公正、公開的原則發(fā)展。制定合理的規(guī)則，使得足球比賽更加具有觀賞性，吸引更廣大的人民參與這項運動。提高全民身體素質(zhì)，注重足球文化的培養(yǎng)，足球文化的教育貫穿于足球教育的始終，使得足球持續(xù)長遠(yuǎn)的發(fā)展。

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作者簡介

崔春強(qiáng)（1982-），男，廣東茂名人，碩士，講師，研究方向： 環(huán)與代數(shù)。

基金項目：湛江科技學(xué)院重點學(xué)科建設(shè)項目（CJKY201811， CJKY201810）};湛江科技學(xué)院品牌提升計劃項目（PPJH202115YLKC）