一組非奇異H-矩陣的新實用判據(jù)

溫立書, 楊 姝, 呂振華

(沈陽航空航天大學 理學院, 遼寧 沈陽 110136)

非奇異H-矩陣(廣義對角占優(yōu)矩陣)在計算數(shù)學、矩陣理論、控制論等許多領(lǐng)域有著重要的研究價值和實用價值[1],許多數(shù)學問題的解決可以歸結(jié)為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣的判定[2]。近年來,一些學者對廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣的判定進行了研究, 得到了許多判別該類矩陣的充分條件[3-10]。本文通過不等式的放縮, 指標集的二次劃分給出了判定廣義對角占優(yōu)矩陣的方法,并將結(jié)論推廣到不可約以及非零元素鏈情形。

1 預(yù)備知識

進一步劃分指標集,

定義1 設(shè)A=(aij)∈n×n, 若對任意的i∈N有|aii|>Pi(A),則稱A為嚴格對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D。矩陣A為廣義對角占優(yōu)矩陣當且僅當存在正對角矩陣A使得AX∈D, 記為A∈D*。

劉建州等[4]給出了如下結(jié)論:

定理1 設(shè)A=(aij)∈n×n,若

(2)

則A∈D*。

本文通過遞進選取正對角矩陣因子元素, 并利用不等式的放縮技巧, 給出H-矩陣的一類新判別方法, 然后將此類方法推廣到不可約情形和非零元素鏈情形。

2 主要結(jié)論

下面給出本文的主要結(jié)論。

定理2 設(shè)A=(aij)∈n×n,若滿足

(3)

則A為非奇異H-矩陣,即A∈D*。

證明 根據(jù)定義, 只需找出正對角陣X, 使得AX∈D。根據(jù)式(1)顯然有r*<1, 取很小的正數(shù)ε滿足

(4)

并且r*+ε<1。取另外一個很小的正數(shù)μ, 對于?i∈N2(A)滿足δi(A)+μ<1, 并且使得不等式(5)、(6)成立:

構(gòu)造正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),其中,

令B=AX=(bij), 則bij=xjaij,i,j∈N, 下面證明B∈D。

3) 對于任意的i∈N2(A),根據(jù)δi(A)定義以及r≥δi(A)可得

綜上所述,對于任意的i∈N,有|bii|>Pi(B),因此B∈D,進而可得A∈D*。證畢。

所以矩陣A=(aij)∈n×n滿足式(2)的條件時,必滿足式(3)的條件。

應(yīng)用同樣的思路考慮不可約矩陣和具非零元素鏈矩陣的情形,可得以下結(jié)論。

定理3 設(shè)A=(aij)∈n×n不可約,若滿足

并且至少有一個不等式嚴格成立,則A∈D*。

證明 令X為定理2中構(gòu)造的n階對角陣,可得AX為(非嚴格)對角占優(yōu)矩陣。根據(jù)題意可知,B為不可約矩陣,且至少有一行嚴格對角占優(yōu), 因此B為非奇異H-矩陣。于是存在正的對角矩陣Y, 使得BY為嚴格對角占優(yōu)矩陣,從而可得AXY為嚴格對角占優(yōu)矩陣。因為XY為正的對角陣, 根據(jù)定義,A為廣義對角占優(yōu)矩陣, 即A∈D*。證畢。

定理4 設(shè)A=(aij)∈n×n, 若滿足以下條件, 則A∈D*。

2) 且對于任意的i∈NJ(A),存在非零元素鏈air1,ar1r2,…,arkj,使得i≠r1,r1≠r2,…,rk≠j,且j∈J(A),其中

證明 令X為定理2中構(gòu)造的n階對角陣,可得AX為(非嚴格)對角占優(yōu)矩陣。根據(jù)題意可知,B是有非零元素鏈,因此B為非奇異H-矩陣。于是存在正的對角矩陣Y,使得BY為嚴格對角占優(yōu)矩陣。從而可得AXY∈D。因為XY為正的對角陣,根據(jù)定義,A為廣義對角占優(yōu)矩陣,即A∈D*。證畢。

3 數(shù)值例子

例觀察矩陣

經(jīng)過簡單計算可得

從而

因為

也就是說

應(yīng)用定理2可以得到A∈D*。

4 結(jié) 語

通過二次劃分指標集構(gòu)造新的對角矩陣, 改進了已有的判定非奇異H-矩陣的方法。該方法需要進行大量的計算,但易于用程序?qū)崿F(xiàn)。近些年不少學者通過判定廣義Nekrasov矩陣的方式得到了非奇異H-矩陣的充分條件[7-9], 本文中的技巧和方法同樣可以應(yīng)用到廣義Nekrasov矩陣的判定問題上。