丁偉偉
摘? 要:基本不等式主要體現(xiàn)的是不等關(guān)系,在解題的過程中會涉及“變形”,學(xué)生難以把握本質(zhì),琢磨不定。雖然教師給出了一些變形的模式,但是始終未觸及根本?;诖?,文章從基本不等式求最值的原理入手,逐漸揭開變形的本質(zhì)——換元,讓學(xué)生抓住變通之道,培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。
關(guān)鍵詞:基本不等式;最值;換元;核心素養(yǎng)
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是概念。基本不等式知識點(diǎn)蘊(yùn)含了換元思想,命題者正是運(yùn)用這種思想,通過先換元再變形,加強(qiáng)知識應(yīng)用的難度。因此,從解題者的角度來看要學(xué)會逆向思考,如何變形成為解題的關(guān)鍵。
一、基本不等式求最值的原理
基本不等式求最值的原理是:積定和最小,和定積最大,用符號語言表述為:已知a > 0,b > 0,P為常數(shù)。
G.波利亞在《怎樣解題:數(shù)學(xué)思維的新方法》一書中強(qiáng)調(diào),理解題目,包括未知量是什么,已知數(shù)據(jù)是什么,條件是什么?;静坏仁角笞钪档脑肀旧硪彩且粋€命題,它呈現(xiàn)的題設(shè)和結(jié)論涉及兩種運(yùn)算(和與積)、一個不等號、一個定值、兩個正對象,而變形的設(shè)置往往也從這幾個方面談起。
1. 從兩種運(yùn)算和不等號方向談變形
下面是蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5必修》“13.4 基本不等式”的課后習(xí)題及其變形,變形正是從兩種運(yùn)算和不等號的方向入手。
(1)若x > 0,y > 0,且2x + 5y = 20,求lgx + lgy的最大值。
第(2)小題中涉及三個字母,顯然不能孤立地作為研究對象。目標(biāo)求的是積運(yùn)算的最大值,條件中是和為定值,從運(yùn)算和不等號方向來看均無矛盾,但是兩個對象前后不統(tǒng)一,結(jié)合目標(biāo)分析,可以通過換元最終統(tǒng)一研究對象。
第(3)小題可以從以下兩個角度實(shí)現(xiàn)研究對象的一致。一是從定值條件入手,此題定值條件不明顯,可
由此,當(dāng)未知量較多時,往往通過減元或換元,結(jié)合其他變形角度,確定研究的兩個正對象。
綜上可知,運(yùn)用基本不等式求最值,變形不外乎從兩種運(yùn)算和不等號方向、定值條件、兩個正對象入手,變形的目的最終是為了換元,從而明確研究的兩個正對象。
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