細(xì)說基本不等式在求最值時的“變形”

丁偉偉

摘? 要：基本不等式主要體現(xiàn)的是不等關(guān)系，在解題的過程中會涉及“變形”，學(xué)生難以把握本質(zhì)，琢磨不定。雖然教師給出了一些變形的模式，但是始終未觸及根本?；诖?，文章從基本不等式求最值的原理入手，逐漸揭開變形的本質(zhì)——換元，讓學(xué)生抓住變通之道，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：基本不等式;最值;換元;核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是概念。基本不等式知識點(diǎn)蘊(yùn)含了換元思想，命題者正是運(yùn)用這種思想，通過先換元再變形，加強(qiáng)知識應(yīng)用的難度。因此，從解題者的角度來看要學(xué)會逆向思考，如何變形成為解題的關(guān)鍵。

一、基本不等式求最值的原理

基本不等式求最值的原理是：積定和最小，和定積最大，用符號語言表述為：已知a > 0，b > 0，P為常數(shù)。

G.波利亞在《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》一書中強(qiáng)調(diào)，理解題目，包括未知量是什么，已知數(shù)據(jù)是什么，條件是什么?；静坏仁角笞钪档脑肀旧硪彩且粋€命題，它呈現(xiàn)的題設(shè)和結(jié)論涉及兩種運(yùn)算（和與積）、一個不等號、一個定值、兩個正對象，而變形的設(shè)置往往也從這幾個方面談起。

1. 從兩種運(yùn)算和不等號方向談變形

下面是蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5必修》“13.4 基本不等式”的課后習(xí)題及其變形，變形正是從兩種運(yùn)算和不等號的方向入手。

（1）若x > 0，y > 0，且2x + 5y = 20，求lgx + lgy的最大值。

第（2）小題中涉及三個字母，顯然不能孤立地作為研究對象。目標(biāo)求的是積運(yùn)算的最大值，條件中是和為定值，從運(yùn)算和不等號方向來看均無矛盾，但是兩個對象前后不統(tǒng)一，結(jié)合目標(biāo)分析，可以通過換元最終統(tǒng)一研究對象。

第（3）小題可以從以下兩個角度實(shí)現(xiàn)研究對象的一致。一是從定值條件入手，此題定值條件不明顯，可

由此，當(dāng)未知量較多時，往往通過減元或換元，結(jié)合其他變形角度，確定研究的兩個正對象。

綜上可知，運(yùn)用基本不等式求最值，變形不外乎從兩種運(yùn)算和不等號方向、定值條件、兩個正對象入手，變形的目的最終是為了換元，從而明確研究的兩個正對象。

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