非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)分析

劉明政,葛萍萍, 張雁翔, 姚俊夫,王念先

(1.武漢科技大學(xué) 機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430081；2.冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081；3.韶關(guān)液壓件廠有限公司，廣東 韶關(guān) 512000)

主動(dòng)磁懸浮軸承是一種通過可控電磁力使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮的軸承，具有無接觸、無潤滑、無磨損、轉(zhuǎn)速高和動(dòng)態(tài)特性可調(diào)等優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用越來越廣泛[1]。在高轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子不平衡會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生較大破壞,是系統(tǒng)故障的主要因素。當(dāng)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在復(fù)雜工況下工作時(shí)，磁性材料相對(duì)磁導(dǎo)率變化明顯，磁懸浮軸承非線性支承特性顯著增加，轉(zhuǎn)子不平衡對(duì)系統(tǒng)的影響更復(fù)雜，需要進(jìn)行研究。

磁懸浮軸承非線性支承特性主要由系統(tǒng)漏磁、磁飽和等因素造成[2]。在漏磁方面：文獻(xiàn)[3]考慮氣隙漏磁，提出了一種新型永磁偏置軸向混合磁懸浮軸承，使其具有較低的功率損耗與良好的控制性能；文獻(xiàn)[4]針對(duì)新型徑向混合磁懸浮軸承，利用等效磁路法建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算漏磁系數(shù)，并通過試驗(yàn)和有限元法驗(yàn)證了模型的正確性；文獻(xiàn)[5]基于ANSYS和試驗(yàn)建立混合磁懸浮軸承非線性支承力模型，提高了大氣隙混合磁懸浮軸承承載力計(jì)算精度。在磁飽和方面：文獻(xiàn)[6]建立考慮磁飽和影響的磁懸浮軸承非線性支承力模型，試驗(yàn)證明該模型更精確；文獻(xiàn)[7]考慮磁飽和影響，基于磁路法建立考慮漏磁及磁飽和等因素的磁懸浮軸承非線性支承力模型，該模型在不同的氣隙長度與偏心距下計(jì)算精度均較高。

在磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)方面：文獻(xiàn)[8]建立剛性磁懸浮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，分析了控制參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子模態(tài)的影響，得到轉(zhuǎn)子渦動(dòng)擺振頻率隨控制參數(shù)的變化規(guī)律；文獻(xiàn)[9]對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)不平衡響應(yīng)進(jìn)行分析，不同轉(zhuǎn)速區(qū)域采用不同的磁懸浮軸承控制參數(shù)，可改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性；文獻(xiàn)[10]建立主動(dòng)磁懸浮電主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析結(jié)構(gòu)參數(shù)、控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，系統(tǒng)響應(yīng)非線性特征顯著，且控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響更大。

上述磁懸浮軸承支承模型大多基于常規(guī)支承力模型，缺乏基于磁懸浮軸承非線性支承特性(考慮漏磁、磁飽和等非線性因素)的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)分析。 鑒于此，建立非線性支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，基于有限元法建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析運(yùn)行參數(shù)和控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響。

1 非線性支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

1.1 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，轉(zhuǎn)子主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：長度580 mm，外徑25 mm，內(nèi)徑15 mm，圓盤主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：厚度27.3 mm，外徑250.0 mm，內(nèi)徑25.0 mm，徑向主動(dòng)磁懸浮軸承主要參數(shù)見表1，圓盤連接在空心轉(zhuǎn)軸上，轉(zhuǎn)軸由兩端磁懸浮軸承支承。基于有限單元法可將該系統(tǒng)離散成5個(gè)節(jié)點(diǎn)，為方便分析，做如下假設(shè)：1)僅考慮徑向振動(dòng)的影響；2)圓盤為剛性圓盤，可用集中質(zhì)量塊單元表示；3)忽略轉(zhuǎn)子重力對(duì)系統(tǒng)的影響。

圖1 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structure diagram of magnetic levitation rotor system

表1 徑向主動(dòng)磁懸浮軸承主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of radial active magnetic bearing

1.2 磁懸浮軸承支承力模型

采用差動(dòng)控制的八磁極徑向磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)及控制原理如圖2所示,圖中：F1，F(xiàn)2為線圈磁動(dòng)勢(shì)，Ib為偏置電流，Ix為控制電流；g0為氣隙長度。

圖2 八磁極徑向磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)及控制原理圖Fig.2 Structure and control principle diagram ofeight pole radial magnetic bearing

忽略鐵磁材料的磁場耦合、渦流和磁滯的影響，為考慮漏磁及磁飽和等非線性因素的影響，可將磁場分布等效為磁路，采用場路結(jié)合法[8]劃分氣隙磁場、漏磁磁場，建立各磁路模型并得到總磁導(dǎo)或磁阻。通過冪函數(shù)擬合軟磁材料磁感強(qiáng)度-磁場強(qiáng)度(B-H)曲線，確定磁飽和影響下的磁極、磁軛和轉(zhuǎn)子磁阻值。氣隙磁通、漏磁模型如圖3所示，軟磁材料B-H曲線如圖4所示[8]。徑向磁懸浮軸承單個(gè)磁極的等效磁路圖(Equivalent magnetic circuit，EMC)如圖5所示，圖中：Ry，Rp，Rr分別為定子磁軛、磁極和轉(zhuǎn)子磁阻，Rk為漏磁磁阻，Rg1，Rg2為磁極處氣隙磁阻。

圖3 磁路模型Fig.3 Magnetic circuit model

圖4 軟磁材料B-H曲線Fig.4 B-H curve of soft magnetic material

圖5 單個(gè)磁極的等效電路圖Fig.5 Equivalent circuit diagram of single magnetic pole

x方向兩磁極對(duì)作用下的非線性支承力為

(1)

Φ1=

Φ3=

式中：α為磁極對(duì)夾角的一半；μ0為真空磁導(dǎo)率；Ap為磁極面積；Ф1，Ф3分別為兩側(cè)通過磁路氣隙中的磁通；N為線圈匝數(shù)；Rg3，Rg4為磁極處氣隙磁阻。

采用有限元軟件驗(yàn)證支承力模型[5],當(dāng)轉(zhuǎn)子偏離平衡位置(偏移距離與氣隙長度的比值為0.2)，氣隙長度g0=2.0 mm時(shí)，轉(zhuǎn)子承載力如圖6所示，負(fù)載較大時(shí)，常規(guī)支承力模型誤差較大，而非線性支承力模型具有較高精度。

圖6 不同負(fù)載下轉(zhuǎn)子承載力曲線Fig.6 Load capacity curve of rotor under different loads

1.3 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

采用Euler-Bernoulli 梁單元模擬轉(zhuǎn)軸,將轉(zhuǎn)子離散為4個(gè)軸段單元和 5個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖7所示。為考慮非線性因素對(duì)支承特性的影響，引入非線性支承力，而若將主動(dòng)磁懸浮軸承單元非線性支承力作為阻尼、剛度元素處理，求解困難，在此將軸承非線性支承力當(dāng)作轉(zhuǎn)子所受外激勵(lì)力，并施加在1#，5#節(jié)點(diǎn)上。

圖7 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型Fig.7 Finite element model of magnetic levitationrotor system

各剛性圓盤單元、彈性軸段單元的運(yùn)動(dòng)方程參考文獻(xiàn)[11]，轉(zhuǎn)子的廣義位移矢量為

(2)

式中：xk，yk(k=1,2,…，5)分別為節(jié)點(diǎn)k在x，y方向的位移；θkx，θky分別為節(jié)點(diǎn)k繞x，y軸的角位移。

結(jié)合轉(zhuǎn)子各軸端與圓盤的運(yùn)動(dòng)方程，可得轉(zhuǎn)子在xOz，yOz平面的運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

F1=(F1ax，0，0，0，udω2sin(ωt)+FL，0，0，0，F(xiàn)2ax，0)T，

F2=(F1ay，0，0，0，udω2cos(ωt)，0，0，0，F(xiàn)2ay，0)T。

磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

在此基礎(chǔ)上，采用Newmark-β法可得磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)。

2 運(yùn)行參數(shù)對(duì)系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響

選取控制參數(shù)：比例系數(shù)kP=40，積分系數(shù)kI=100，微分系數(shù)kD=0.05。

2.1 負(fù)載對(duì)系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響

轉(zhuǎn)子角速度ω為300 rad/s時(shí)，不同負(fù)載下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圓盤在y方向上的不平衡響應(yīng)如圖8所示：1)常規(guī)磁懸浮單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圓盤處的響應(yīng)瀑布圖僅存在轉(zhuǎn)子的基頻fi；2)在非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，隨負(fù)載增大，系統(tǒng)在圓盤處的不平衡響應(yīng)瀑布圖中除了轉(zhuǎn)子的基頻之外，基頻的倍頻(2fi與3fi)也被激發(fā)出來，系統(tǒng)非線性支承特性明顯。說明磁懸浮軸承非線性支承特性對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)有明顯影響，負(fù)載較大時(shí)，系統(tǒng)不平衡響應(yīng)更復(fù)雜。

圖8 不同負(fù)載下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圓盤處的不平衡響應(yīng)瀑布圖Fig.8 Waterfall diagram of unbalance response at disk ofmagnetic levitation rotor system under different loads

2.2 轉(zhuǎn)子角速度對(duì)系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響

負(fù)載FL為200 N時(shí)，不同轉(zhuǎn)子角速度下磁懸

浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圓盤在y方向上的不平衡響應(yīng)如圖9所示：常規(guī)與非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)基頻與倍頻規(guī)律同圖8，非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中倍頻信號(hào)僅在某個(gè)范圍內(nèi)被激發(fā)，此時(shí)系統(tǒng)振幅增大，非線性支承特性加劇。說明轉(zhuǎn)子角速度也對(duì)非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)有影響。

圖9 不同轉(zhuǎn)子角速度下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圓盤處的不平衡響應(yīng)Fig.9 Unbalance response at disk of magnetic levitationrotor system under different rotor angular velocities

不同轉(zhuǎn)子角速度下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域(系統(tǒng)所能承受最大負(fù)載區(qū)域的面積)如圖10所示：1)常規(guī)和非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的最大承載力隨轉(zhuǎn)子角速度變化而變化，說明兩系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域與轉(zhuǎn)子角速度有關(guān)；2)在相同轉(zhuǎn)子角速度范圍內(nèi)，非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域明顯小于常規(guī)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，說明非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性較差。

圖10 不同轉(zhuǎn)子角速度下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域Fig.10 Stable operation region of magnetic levitationrotor system under different rotor angular speeds

2.3 小結(jié)

在實(shí)際運(yùn)行過程中，應(yīng)盡量避免系統(tǒng)在較大的負(fù)載下工作，且應(yīng)合理選擇系統(tǒng)轉(zhuǎn)速，以減小磁懸浮軸承非線性支承特性對(duì)系統(tǒng)的影響。

3 控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響

選取運(yùn)行參數(shù)FL=200 N，ω=300 rad/s。積分系數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響主要體現(xiàn)在低頻段，對(duì)高頻段的動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響較小，此處不做分析。

3.1 比例系數(shù)對(duì)系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響

當(dāng)kI為100，kD為0.05時(shí)，不同比例系數(shù)下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圓盤在y方向上的不平衡響應(yīng)如圖11所示：1)常規(guī)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)只存在轉(zhuǎn)子的基頻fi;2)非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)中出現(xiàn)了轉(zhuǎn)子倍頻(2fi與3fi)，且系統(tǒng)振幅隨比例系數(shù)增大而增大，當(dāng)kP大于40時(shí)，轉(zhuǎn)子3倍頻(3fi)被顯著激發(fā), 說明比例系數(shù)對(duì)非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)影響顯著。應(yīng)合理選擇比例系數(shù)，避免系統(tǒng)產(chǎn)生較大的振幅，從而減小磁懸浮軸承非線性支承特性對(duì)系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響。

圖11 不同比例系數(shù)下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圓盤處的不平衡響應(yīng)Fig.11 Unbalance response at disk of magnetic levitationrotor system under different proportional coefficients

不同比例系數(shù)下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域如圖12所示，非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性較差。

圖12 不同比例系數(shù)下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域Fig.12 Stable operation region of magnetic levitation rotorsystem under different proportional coefficients

3.2 微分系數(shù)對(duì)系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響

當(dāng)kI為100，kP為40時(shí)，不同微分系數(shù)下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圓盤在y方向上的不平衡響應(yīng)如圖13所示：1)常規(guī)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)僅存在轉(zhuǎn)子的基頻fi;2)當(dāng)微分系數(shù)較小時(shí)，非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)抑制振動(dòng)的能力有限，系統(tǒng)非線性特性明顯，在系統(tǒng)的響應(yīng)瀑布圖中出現(xiàn)了轉(zhuǎn)子倍頻(2fi與3fi)，隨微分系數(shù)增大，系統(tǒng)抑制振動(dòng)的能力增強(qiáng)，系統(tǒng)非線性特性減弱，響應(yīng)中2fi與3fi幅值逐漸減小，當(dāng)微分系數(shù)大于0.5時(shí)，3fi接近消失。說明微分系數(shù)對(duì)非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)有明顯影響，較大的微分系數(shù)能有效減小磁懸浮軸承非線性支承特性對(duì)系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響。

圖13 不同微分系數(shù)下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圓盤處的不平衡響應(yīng)Fig.13 Unbalance response at disk of magnetic levitationrotor system under different differential coefficients

不同微分系數(shù)下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域如圖14所示，非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性較差。

圖14 不同微分系數(shù)下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域Fig.14 Stable operation region of magnetic levitation rotorsystem under different differential coefficients

4 結(jié)論

建立非線性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了運(yùn)行參數(shù)和控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響，得出以下結(jié)論：

1)考慮非線性支承特性時(shí)，較大的負(fù)載會(huì)使系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)中出現(xiàn)轉(zhuǎn)子基頻的倍頻，響應(yīng)復(fù)雜。

2)與常規(guī)系統(tǒng)相比，相同轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)考慮非線性支承特性時(shí)系統(tǒng)更易失穩(wěn)。

3)考慮非線性支承特性時(shí)，比例系數(shù)較大和微分系數(shù)較小會(huì)使系統(tǒng)振幅增大，激發(fā)的轉(zhuǎn)子倍頻顯著。選取合適的比例系數(shù)與微分系數(shù)可有效減小磁懸浮軸承非線性支承特性對(duì)系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響。