混合不確定條件下的飛行器級間分離可靠性分析

聶兆偉，王 浩，秦 夢，張海瑞

(1. 中國運載火箭技術研究院， 北京 100076； 2. 南京理工大學 機械學院， 江蘇 南京 210094)

高馬赫數(shù)飛行器級間分離過程是發(fā)射任務的關鍵環(huán)節(jié)，通常包括熱分離和冷分離兩種方式，其功能是完成飛行器飛行過程中的預定工作、且在后續(xù)飛行中將子級分離，減小結(jié)構重量、發(fā)揮性能優(yōu)勢、提升飛行速度[1]。高超聲速飛行器在實施級間分離時受到諸多不確定性因素影響[2]，如質(zhì)量特性偏差、初始條件偏差、氣動特性偏差以及動力特性偏差等，尤其是在大氣層內(nèi)實施分離時，受大氣密度和飛行速度影響，飛行器面臨嚴酷的動壓環(huán)境，各類偏差影響顯著，兩體分離存在較大技術風險，制約了飛行可靠性水平的進一步提升[3-4]。

常規(guī)飛行器分離分析方法通常是基于參數(shù)極限偏差組合進行的，無法反映系統(tǒng)參數(shù)的內(nèi)在可變性以及對系統(tǒng)認知的不完整性，難以滿足分離方案精細化設計需求，甚至在某些情況下導致分離方案過于復雜，影響了飛行器總體性能的進一步提升。

針對這一問題，目前的研究趨勢是將不確定性注入分離動力學仿真模型，實現(xiàn)分離方案的精細化分析[5-6]。國內(nèi)外學者將概率方法與分離運動仿真相結(jié)合，系統(tǒng)研究了隨機不確定性對分離過程的影響[7-8]，Roshanian等[9]將蒙特卡洛方法與分離運動仿真相結(jié)合，給出了分離運動參數(shù)的包絡曲線。李慧通等[10]結(jié)合級間冷分離和熱分離的優(yōu)點，設計了一種新型級間分離方案，采用蒙特卡洛方法分析了分離體的相對運動。

蒙特卡洛方法具有無偏性與非侵入性，適用于求解隱式非線性問題，在級間分離精細化分析中有著廣泛的應用。然而高超聲速飛行器在大氣層內(nèi)實施分離過程中，對某些關鍵參數(shù)依然存在認知的不完整性，如氣動特性偏差，無法采用概率理論對其精確描述，為準確量化飛行器級間分離過程中系統(tǒng)參數(shù)的內(nèi)在可變性以及對系統(tǒng)認知的不完整性，需要進一步開展基于概率-非概率混合模型的飛行器級間分離可靠性分析方法，為飛行器分離方案的精細化設計提供決策支持。隨機不確定性通常采用概率理論描述，發(fā)展相對成熟[11-13]。認知不確定性通常采用非概率理論來描述，包括區(qū)間理論[14-15]、證據(jù)理論[16-17]、模糊理論[18]等。工程應用中，考慮天地不一致性，某些參數(shù)僅能給出上下邊界，無法給出邊界內(nèi)的相關分布信息，因而，區(qū)間理論適用性更為廣泛，本文選用區(qū)間理論描述認知不確定性。

為準確量化飛行器級間分離過程隨機不確定性和認知不確定性的綜合影響，采用概率-區(qū)間混合模型描述分離過程中系統(tǒng)參數(shù)的內(nèi)在可變性及對系統(tǒng)認知的不完整性。以某軸對稱式飛行器級間冷分離方案為研究對象，根據(jù)軸對稱級間分離結(jié)構的幾何特點，設計了一種快速碰撞檢測模型，為可靠性分析提供支撐。進而，將混合可靠性分析模型轉(zhuǎn)化為隨機可靠性分析的無約束優(yōu)化問題，采用高效全局優(yōu)化和自主學習Kriging方法實現(xiàn)無約束優(yōu)化問題的高效求解，給出飛行器分離任務可靠性的區(qū)間范圍。

1 分離動力學建模

以高馬赫數(shù)飛行器級間冷分離方案為研究對象，建立分離動力學模型。兩體級間分離過程中，上面級受到自身重力、氣動力及兩體分插拔脫力的影響，下面級受到自身重力、氣動力、兩體分插拔脫力、發(fā)動機殘余推力以及反推發(fā)動機推力等因素影響。圖1為飛行器級間冷分離示意圖。

圖1 級間冷分離Fig.1 Stage cold separation

飛行器組合體、上面級和下面級的彈體系原點與對應質(zhì)心重合，x軸與對應彈體軸線重合，y軸在彈體縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，且垂直于x軸；定義飛行器分離系與分離開始時組合體的彈體系一致。級間分離剛體動力學方程為：

(1)

其中：分析對象可以是上面級、下面級或者兩者的組合體，m是各分析對象對應的質(zhì)量；vx,vy,vz是各分析對象對應的速度矢量在分離系下的速度投影；Fx,Fy,Fz是各分析對象受到的合力在分離系下的投影；ωx1,ωy1,ωz1為分析對象轉(zhuǎn)動角速度在彈體系中的分量；Ix1,Iy1,Iz1為分析對象相對其彈體系的轉(zhuǎn)動慣量。此外，補充建立角速度與歐拉角、位置與速度之間的關系，如式(2)所示。

(2)

進一步給出分析對象彈體坐標系到分離坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣。

(3)

飛行器級間冷分離過程，上面級發(fā)動機噴管需從下面級殼體內(nèi)拔出，需重點關注兩體運動關系及相對距離，避免兩體發(fā)生碰撞。碰撞檢測是分離仿真的難點之一，其關鍵在于計算空間兩體的最小間隙距離，結(jié)合干擾式軸對稱級間分離結(jié)構的幾何特點，設計了一種快速碰撞檢測方法，干擾式分離過程中兩體分離最小間隙距離一般有兩種可能形式[19]，如圖2所示。

圖2 飛行器干擾式分離Fig.2 Vehicle interfering separation

結(jié)合串聯(lián)干擾式分離的特點，危險體截面為上面級發(fā)動機噴管的下底邊和級間段的上底邊，故特征點應在危險體截面上平均選取。這里將上面級發(fā)動機噴管和級間段簡化為一個圓臺體，重點關注各個特征點到圓臺體的最短距離，記圓臺體上表面圓心坐標為A，半徑為rA；下表面圓心坐標為B，半徑為rB；特征點坐標為P，由于特征點到圓臺體的最短距離d一定在平面PAB內(nèi)，此時三維空間問題轉(zhuǎn)化為二維平面問題，如圖3所示。

圖3 不同區(qū)域最短距離Fig.3 Minimum distance in different regions

為保證特征點到圓臺體最短距離的計算完備性，根據(jù)圓臺體的幾何特點，將特征點所在區(qū)域劃分為10個不同的區(qū)域，其中3、4、8、9區(qū)的最短距離為特征點到圓臺體內(nèi)外表面的最短距離，其他區(qū)域最短距離為特征點到圓臺體上下低邊的最短距離。特征點P到圓臺體中軸線的距離rP，圓臺體截面底邊夾角θ及8、9、10區(qū)分界點C、D可進一步表示為：

(4)

結(jié)合所在區(qū)域的特點，給出特征點P到圓臺體的最小距離ds，如下節(jié)中10個情況下的ds公式所示。進而，選取危險截面所有特征點的最小值為某一時刻兩體分離的最小間隙距離dsmin

dsmin=min{dsi},i=1,…,N

(5)

其中，N為危險截面特征點的數(shù)量。采用四階龍格庫塔方法進行兩體分離動力學仿真，定義從分離開始到上面級起控過程中，兩體最小間隙距離最近的時刻為危險時刻，在上面級發(fā)動機噴管從級間段拔出過程中，為避免時間步長過大導致漏失危險時刻，需要在危險區(qū)域附近縮短時間步長，識別兩體分離過程中的危險時刻，取時間步長為0.002 s?？紤]數(shù)值誤差和安全系數(shù)的影響，給定最小間隙閾值εd，若從開始分離到上面級起控過程中，所有時刻最小間隙距離的最小值大于閾值εd，則判定分離過程中未發(fā)生碰撞。

2 分離可靠性建模

飛行器分離過程存在多種故障模式，其中較為典型的故障模式包括兩體碰撞及上面級起控失效。前者由于兩體干涉碰撞，上面級部分功能失效，采用上述碰撞檢測方案快速給出兩體分離過程的最小間隙距離。后者可能由于上面級起控時角速度過大，上面級不可控，分離任務失敗。

1)若AP·AB<0,rP≤rA，則P在1區(qū)，從而

6)若BA·BP<0,rP>rB，則P在6區(qū)，從而

針對上述兩種典型失效模式，分離過程中的隨機不確定性參數(shù)向量表示為X，認知不確定性參數(shù)向量表示為Y，則兩體分離最短距離為dsmin(X,Y)，上面級起控時的角速度為ω(X,Y)，且這兩種失效模式構成串聯(lián)系統(tǒng)，飛行器級間分離的多故障聯(lián)合失效域為：

Df={dsmin(X,Y)<εd∪ω(X,Y)>εω}

(6)

式中，εd,εω分別為兩體分離最小間隙距離閾值和上面級起控時角速度閾值。進而，分離可靠度為：

R=1-Pr(Df)

=1-Pr{dsmin(X,Y)<εd∪ω(X,Y)>εω}

(7)

3 飛行器概率-區(qū)間混合可靠性分析

3.1 概率-區(qū)間混合可靠性模型

A：隨著不斷發(fā)展，我們也需要更多復合型人才，僅是印刷專業(yè)的學生不能夠滿足企業(yè)自身發(fā)展的需要。雅昌成立之初的定位就是藝術印刷。正是因為當時的正確選擇和清晰定位，才能脫穎而出，成為行業(yè)中的佼佼者。關于人才需求，在內(nèi)部人才培養(yǎng)方面，雅昌把所有利潤全部投入到技術的研發(fā)和相關人員的培訓上；就人才招聘方面，雅昌對人才需求已從印刷類轉(zhuǎn)為藝術類。

考慮認知不確定性Y在某一區(qū)間[YL,YU]，分離失效概率上界PfU進一步轉(zhuǎn)化為最大無約束優(yōu)化問題

maxPr{X|Y∈[YL,YU],dsmin(X,Y)<

εd∪ω(X,Y)>εω}

(8)

同理，分離失效概率下界PfL轉(zhuǎn)化為最小無約束優(yōu)化問題

minPr{X|Y∈[YL,YU],dsmin(X,Y)<

εd∪ω(X,Y)>εω}

(9)

通過上述推導，將概率-區(qū)間可靠性模型轉(zhuǎn)化為隨機可靠性分析的無約束優(yōu)化問題。

3.2 多故障聯(lián)合可靠性分析

考慮到飛行器分離的多故障聯(lián)合失效域包含若干功能函數(shù)，傳統(tǒng)的一次可靠度法(first order reliability analysis method, FORM)等在功能函數(shù)最大可能點(most probable point, MPP)進行泰勒展開，在求解非線性多故障聯(lián)合可靠度問題時會產(chǎn)生較大誤差[20]。針對這一問題，Echard等提出了Kriging與Monte Carlo相結(jié)合的主動學習可靠性方法(active learning reliability method combining Kriging and Monte Carlo simulation, AK-MCS)的單故障可靠度分析方法，具有很高的效率[21-22]，以此為基礎，進一步發(fā)展了適用于串聯(lián)或者并聯(lián)系統(tǒng)的多故障系統(tǒng)可靠性的主動學習Kriging方法(active learning Kriging method for system reliability, AK-SYS)[23-24]。

以認知不確定性Y在某一區(qū)間[YL,YU]為例，結(jié)合飛行器級間分離的特點，利用Kriging代理模型將功能函數(shù)表達為：

(10)

(11)

(12)

其中，rT(X)=[R(X,X1),…,R(X,XN)]T是預測點X和訓練樣本點集XT=[X1,X2,…,XN]T之間的相關函數(shù)向量。

結(jié)合隨機不確定性分布類型及參數(shù)，在隨機空間中抽取樣本點，樣本點數(shù)量滿足條件：

(13)

式中，Pf為多故障聯(lián)合失效概率。結(jié)合Kriging模型能夠直接給出預測點均值和標準差的特點，利用概率分類函數(shù)評估預測點X的不確定性，式(11)給出了Kriging預測值Gaussian分布特性，以此為基礎，Kriging模型的分類失效函數(shù)可表達為：

(14)

式中，Φ(·)為標準正態(tài)分布函數(shù)。

針對多故障聯(lián)合可靠性分析的特點，進一步給出飛行器級間分離多故障聯(lián)合分類失效函數(shù)為：

(15)

(16)

當Usys函數(shù)的最小值大于2時，樣本點集的分類失效概率最大值僅為Φ(-2)≈0.022 8，滿足收斂要求。

3.3 高效全局優(yōu)化

(17)

進一步采用全局優(yōu)化算法在認知不確定性內(nèi)Y∈[YL,YU]尋找多故障聯(lián)合可靠度的最大值和最小值。

針對這一無約束優(yōu)化問題，由于多故障聯(lián)合可靠性分析嵌套在優(yōu)化過程中，如何高效求解無約束優(yōu)化問題是混合可靠性分析的關鍵環(huán)節(jié)之一。Jones等[25]將全局優(yōu)化算法與代理模型相結(jié)合，進一步發(fā)展了高效全局優(yōu)化(efficient global optimization, EGO)方法，其關鍵在于優(yōu)化求解期望改善函數(shù)(expected improvement function, EIF)。以求解分離失效概率下限為例，定義期望改善函數(shù)為：

(18)

(19)

(20)

PfL=Φ[βb(Y*)]

(21)

同理，將分離失效概率上界的最大值優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為最小值優(yōu)化問題，即可通過上述方法給出結(jié)果。

4 實例結(jié)果

以某低空高超聲速軸對稱式飛行器級間冷分離方案為應用對象?？紤]到分離過程中系統(tǒng)參數(shù)的內(nèi)在可變性及對系統(tǒng)認知的不完整性，給出如表1所示的隨機不確定性分布描述和認知不確定性分布描述。

表1 隨機不確定性分布類型及其參數(shù)

通過試驗數(shù)據(jù)和工程經(jīng)驗確定隨機不確定性參數(shù)的分布，選取工程上重點關注的若干參數(shù)作為隨機不確定性參數(shù)，進而通過靈敏度分析可知，初始俯仰角速率和氣動特性偏差對兩體分離最短距離d和上面級起控時的角速度ω有較大影響，同時這兩者在工程上難以采用概率理論精確描述，因而將其處理為認知不確定性。初始俯仰角速率dφ0∈[-1 ((°)/s),0]，氣動特性偏差Wqd∈[-0.15, 0.15]。

針對飛行器級間冷分離方案的特點，Kriging模型選用二階多項式回歸模型作為回歸函數(shù)。對于多故障聯(lián)合可靠性分析問題，初選階段選用常用的拉丁超立方采樣方法對隨機不確定性空間進行均勻采樣，Kriging模型選用二階多項式回歸模型作為回歸函數(shù)。為了驗證上述方法的正確性，在隨機變量空間選用蒙特卡洛方法抽取106個樣本點，進一步在區(qū)間分布空間均勻抽取2 000個認知不確定性變量樣本，以此獲取認知不確定性Y在區(qū)間內(nèi)變化影響下多故障聯(lián)合可靠度響應的變化范圍[5]，分別給出分離高度為36 km條件下的分離可靠性的上下界，見表2所示。

表2 混合不確定性下飛行器級間分離可靠性上下界

表2的計算結(jié)果表明，本文方法得到的分離可靠性上、下界結(jié)果與采用蒙特卡洛方法的計算結(jié)果相吻合，最大相對誤差僅為0.2%，這說明了本文方法的正確性。同時，模型調(diào)用次數(shù)遠低于蒙特卡洛方法的分析次數(shù)，說明了本文方法的高效性和可行性。進一步，針對低空高速飛行器級間分離的特點，考慮不同高度對分離可靠性的影響，在認知不確定性相同設置條件下，采用本文方法給出25～40 km之間飛行器級間冷分離的系統(tǒng)可靠性，如圖4所示。

圖4 不同高度條件下混合不確定性分離可靠性上下界對比Fig.4 Comparison of maximum and minimum of system reliability with mixed uncertainties under different given different height

圖4結(jié)果表明，在某些分離高度下，分離可靠性的可能分布區(qū)間較大，這表明在當前分離高度進行級間分離時認知不確定性影響顯著，需要進一步考慮可能存在的技術風險。從總體趨勢來看，飛行器分離高度對分離可靠性的影響顯著，由于高超聲速飛行器飛行馬赫數(shù)較大，隨著分離高度的降低，承受動壓較大，因而氣動特性偏差影響顯著。以分離可靠性下限為參考，通過控制分離高度可實現(xiàn)兩體可靠分離，為飛行器分離方案的精細化設計提供決策支持。

5 結(jié)論

1)本文以某低空高超聲速軸對稱式飛行器級間冷分離方案為應用對象，結(jié)合干擾式軸對稱級間冷分離結(jié)構的幾何特點，設計了一種快速碰撞檢測方法，能夠?qū)崟r給出兩體分離最小間隙距離。

2)綜合考慮分離過程中系統(tǒng)參數(shù)的內(nèi)在可變性及對系統(tǒng)認知的不完整性，構建了隨機不確定性和認知不確定性混合可靠性模型，提升了飛行器分離任務可靠性評估的準確性。

3)針對混合可靠性分析模型，將其轉(zhuǎn)化為隨機可靠性分析的無約束優(yōu)化問題，利用高效全局優(yōu)化和多故障主動學習Kriging方法高效準確求解該無約束優(yōu)化問題，計算結(jié)果驗證了本文方法的正確性和可行性。