部分相干徑向偏振渦旋光焦場(chǎng)軌道角動(dòng)量特性

賀 蕊,呂 宏,閆麗凝,龐令陽(yáng)

(西安工業(yè)大學(xué)光電工程學(xué)院,陜西 西安 710021)

1 引 言

近年來(lái),渦旋光束的軌道角動(dòng)量在光學(xué)探測(cè)[1-2]、空間光通信[3-4]、光學(xué)微操縱[5]等領(lǐng)域擁有廣泛的應(yīng)用。徑向偏振渦旋光束是一種偏振態(tài)沿徑向變化的渦旋光束[6-7],兼具獨(dú)特的偏振和相位分布特點(diǎn),經(jīng)過(guò)聚焦可能產(chǎn)生更新穎的軌道角動(dòng)量性質(zhì),吸引了越來(lái)越多的關(guān)注。與完全相干光束相比,部分相干光束受湍流大氣影響更小,光束的傳輸質(zhì)量和性能更為優(yōu)良[8-10],因此,開(kāi)展部分相干的徑向偏振渦旋光束聚焦軌道角動(dòng)量特性研究,對(duì)其在空間目標(biāo)探測(cè)等領(lǐng)域的應(yīng)用有著潛在價(jià)值。

Guo等人[11]研究了部分相干徑向偏振渦旋光束的相干長(zhǎng)度和最大數(shù)值孔徑角對(duì)焦場(chǎng)強(qiáng)度,相干度和偏振度的影響。田博等人[12]研究了聚焦光束形成的三維多點(diǎn)光俘獲結(jié)構(gòu)-光鏈。Shu等人[13]研究了聚焦部分相干徑向偏振渦旋光束對(duì)瑞利粒子的輻射力與其相干長(zhǎng)度、束腰寬度、拓?fù)潆姾杉拔镧R數(shù)值孔徑之間的關(guān)系。Wang等人[14]研究了攜帶離軸渦旋陣列的徑向偏振光束焦場(chǎng)內(nèi)強(qiáng)度的空間重新分布對(duì)旋渦離軸距離和透鏡數(shù)值孔徑的依賴性。Zhang等人[15]研究了徑向偏振渦旋光束的拓?fù)潆姾蓪?duì)聚焦光場(chǎng)的調(diào)制。Xu等人[16]基于矢量衍射理論研究了徑向偏振的多高斯謝爾模型渦旋光束經(jīng)過(guò)高數(shù)值孔徑透鏡的聚焦特性。綜上所述,目前關(guān)于部分相干的徑向偏振渦旋光束聚焦研究中,軌道角動(dòng)量特性相關(guān)報(bào)道還非常少見(jiàn)。

本文通過(guò)聚焦部分相干徑向偏振渦旋光束到目標(biāo)平面處,研究了焦場(chǎng)目標(biāo)平面處的軌道角動(dòng)量特性。根據(jù)部分相干及Richards-Wolf矢量衍射積分理論推導(dǎo)了光場(chǎng)及軌道角動(dòng)量密度分布,討論了光強(qiáng)和軌道角動(dòng)量密度分布特性,同時(shí),分析了入射光束的相干長(zhǎng)度和聚焦透鏡的數(shù)值孔徑對(duì)縱向分量軌道角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度分布的影響。

2 理論分析

偏振態(tài)沿徑向變化,并且攜帶±l拓?fù)浜傻膹较蚱駵u旋光束在源平面處的入射光場(chǎng)可以表示為:

(1)

式中,er為徑向偏振矢量;w0為束腰半徑。根據(jù)部分相干理論[17],得到部分相干徑向偏振渦旋光束源平面處的交叉譜密度函數(shù)為:

(2)

其中,lc為相干長(zhǎng)度。經(jīng)過(guò)高數(shù)值孔徑透鏡聚焦,滿足正弦近似條件r=fsinθ,因此,將式(2)改寫(xiě)為:

A(θ1,θ2,φ1,φ2)=4ercos(lφ1)cos(lφ2)

(3)

式中,cos(lφ1/2)為光場(chǎng)的角相位項(xiàng)。則入瞳處的振幅包絡(luò)函數(shù)為:

(4)

根據(jù)Richards-Wolf矢量衍射積分理論[18],經(jīng)過(guò)運(yùn)算,得到柱坐標(biāo)系下焦場(chǎng)目標(biāo)平面處,部分相干徑向偏振渦旋光束的光場(chǎng)分量為:

{[Jl+1(kr1sinθ1)-Jl-1(kr1sinθ1)]×

[Jl+1(kr2sinθ2)-Jl-1(kr2sinθ2)]}×

exp(ikzcosθ1)exp(-ikzcosθ2)dθ1dθ2

(-i)lsinθ1sinθ2cosθ1cosθ2sin(lφ1)sin(lφ2)×

{[Jl+1(kr1sinθ1)+Jl-1(kr1sinθ1)]×

[Jl+1(kr2sinθ2)+Jl-1(kr2sinθ2)]}×

exp(ikzcosθ1)exp(-ikzcosθ2)dθ1dθ2

(-i)l+1(sinθ1)2(sinθ2)2×cos(lφ1)cos(lφ2)×

[Jl(kr1sinθ1)×Jl(kr2sinθ2)]×exp

(ikzcosθ1)exp(-ikzcosθ2)dθ1dθ2

(5)

非傍軸近似條件下,任意一束單色光的時(shí)間平均軌道角動(dòng)量密度可以表示為[19]:

(6)

其中,P為坡印廷矢量,r=xex+yey+zez。經(jīng)過(guò)矢

量運(yùn)算,得到各分量的軌道角動(dòng)量密度分布分別為:

(7)

式中,ω為入射光束的頻率;μ0為真空磁導(dǎo)率;c為光速,并且:

(8)

在光束橫截面上對(duì)軌道角動(dòng)量密度進(jìn)行積分得到軌道角動(dòng)量:

(9)

3 數(shù)值計(jì)算

圖1所示為聚焦拓?fù)潆姾蓔l|=1,|l|=2和|l|=3的部分相干徑向偏振渦旋光束在目標(biāo)平面處的總光強(qiáng)It(r,φ,z),以及各分量光強(qiáng)Ix(r,φ,z),Iy(r,φ,z),Iz(r,φ,z)的分布情況。以下所有數(shù)值計(jì)算中所選取的參數(shù)值為:激光波長(zhǎng)λ=632.8 nm,束腰半徑w0=1 cm,透鏡焦距f=1 cm,折射率n=1.3。

從圖1可以看出,目標(biāo)平面處的光強(qiáng)沿著角向主要集中呈現(xiàn)在花瓣?duì)顖D案內(nèi),且花瓣個(gè)數(shù)為2|l|,橫向分量x和y的強(qiáng)度相比于縱向分量z都較弱,橫向分量x的強(qiáng)度最弱。同時(shí),光強(qiáng)中心存在空心型分布,橫向分量x的空心程度較其余分量更大,比較同一分量的光強(qiáng)分布得出,空心大小隨著拓?fù)浜山^對(duì)值的增大而變大。

圖1 聚焦不同階部分相干徑向偏振渦旋光束目標(biāo)平面處的光強(qiáng)分布(其他參數(shù)設(shè)置為:相干長(zhǎng)度lc=1 cm,數(shù)值孔徑NA=1)Fig.1 The light intensity distributions in the target plane of focusing partially coherent radially polarized vortex beams with different orders (The rest of parameter settings are:coherence length lc=1 cm,numerical aperture NA=1)

圖2所示為|l|=1,|l|=2,|l|=3和|l|=4的部分相干徑向偏振渦旋光束總光強(qiáng)以及各分量光強(qiáng)沿x軸的曲線分布圖。如圖2中的虛線顯示,目標(biāo)平面上,縱向分量的強(qiáng)度分布曲線接近于總的強(qiáng)度分布曲線。同時(shí),與橫向分量x的強(qiáng)度Ix相比,縱向分量強(qiáng)度Iz的光斑中心普遍具有較小的的空心尺寸,并且,隨著拓?fù)浜山^對(duì)值的增加,所有光強(qiáng)中心的空心增大,這與上述討論光強(qiáng)分布所得結(jié)果一致。其次,比較圖2(a),(c)和圖2(b),(d)可以發(fā)現(xiàn),相位拓?fù)浜山^對(duì)值為奇數(shù)的光束總光強(qiáng)It和橫向分量x的強(qiáng)度Ix存在不明顯的非對(duì)稱分布,而縱向分量強(qiáng)度Iz關(guān)于x=0保持對(duì)稱,相位拓?fù)浜山^對(duì)值為偶數(shù)時(shí),所有光強(qiáng)始終關(guān)于x=0對(duì)稱分布。

圖2 不同階部分相干徑向偏振渦旋光束的光強(qiáng)分布曲線(所有光強(qiáng)已相對(duì)It歸一化)Fig.2 The light intensity curves of partially coherent radially polarized vortex beams with different orders(all intensities have been relatively normalized toIt)

為了研究入射光束的相干長(zhǎng)度及透鏡的數(shù)值孔徑變化對(duì)光強(qiáng)的影響,圖3給出了拓?fù)浜蓔l|=2和|l|=3時(shí),焦場(chǎng)目標(biāo)平面處的總光強(qiáng)分布隨著相干長(zhǎng)度和數(shù)值孔徑的變化情況。從圖3(a),(c)可以看出,隨著相干長(zhǎng)度的增加,焦場(chǎng)平面處光強(qiáng)增大,光斑中心空心尺寸稍有減小,光強(qiáng)和空心現(xiàn)象在相干長(zhǎng)度較小時(shí)變化程度更大,當(dāng)相干長(zhǎng)度增大至0.5 cm后,其變化不再對(duì)光強(qiáng)大小和光斑分布產(chǎn)生影響。此外,如圖3(a)中的虛線顯示,相干長(zhǎng)度選擇較小值會(huì)在一定程度上破壞偶數(shù)階光束光強(qiáng)的對(duì)稱分布。從圖3(b),(d)可以看出,隨著數(shù)值孔徑的增大,目標(biāo)平面處的光強(qiáng)沒(méi)有明顯變化,光斑中心空心尺寸略有減小。

圖3 不同相干長(zhǎng)度和數(shù)值孔徑對(duì)部分相干徑向偏振渦旋光束焦場(chǎng)目標(biāo)平面處光強(qiáng)分布的影響Fig.3 The influence of different coherence lengths and numerical apertures on the intensity distributions for partially coherent radially polarized vortex beams in the focal field target plane

圖4所示為結(jié)合公式(7)和(8)得到的|l|=1,|l|=2和|l|=3時(shí),聚焦部分相干徑向偏振渦旋光束在目標(biāo)平面處各分量的軌道角動(dòng)量密度分布情況。從圖4可以看出,軌道角動(dòng)量密度分布與光場(chǎng)分布類(lèi)似,也集中呈現(xiàn)出花瓣?duì)罱Y(jié)構(gòu),花瓣個(gè)數(shù)同樣為2|l|。不同之處在于,在軌道角動(dòng)量密度分布中,只有橫向分量x的軌道角動(dòng)量密度較弱,橫向分量y與縱向分量z的軌道角動(dòng)量密度都較強(qiáng)。軌道角動(dòng)量密度中心同樣存在空心型分布,橫向分量x的空心程度較其余分量更大,比較同一分量的軌道角動(dòng)量密度分布得出,空心大小隨著拓?fù)浜山^對(duì)值的增大而變大。此外,在同等參數(shù)設(shè)置下,拓?fù)浜山^對(duì)值更小的光束,目標(biāo)平面處的軌道角動(dòng)量密度整體數(shù)值反而更大。

圖4 聚焦不同階部分相干徑向偏振渦旋光束目標(biāo)平面處的軌道角動(dòng)量密度分布Fig.4 The orbital angular momentum density distributions in the target plane of focusing partially coherent radially polarized vortex beams with different orders

圖5所示為入射光束的相干長(zhǎng)度和透鏡的數(shù)值孔徑改變對(duì)縱向分量軌道角動(dòng)量密度分布的影響。從圖5(a),(c)可以看出,縱向分量的軌道角動(dòng)量密度隨著相干長(zhǎng)度的增加而增大,但增大程度在減弱,同樣,當(dāng)相干長(zhǎng)度增大至0.5 cm后,相干長(zhǎng)度的變化幾乎不再影響軌道角動(dòng)量密度分布。從圖5(b),(d)可以看出,不同于數(shù)值孔徑變化對(duì)光強(qiáng)影響很小,隨著數(shù)值孔徑的增大,縱向分量的軌道角動(dòng)量密度也在變大,并且變化程度越來(lái)越大。

圖5 不同相干長(zhǎng)度和數(shù)值孔徑對(duì)縱向分量焦場(chǎng)目標(biāo)平面處軌道角動(dòng)量密度分布的影響Fig.5 The influence of different coherence lengths and numerical apertures on the orbital angular momentum density distributions for the longitudinal component in the focal field target plane

最后,分析了入射光束相干長(zhǎng)度和透鏡數(shù)值孔徑的變化對(duì)縱向分量焦場(chǎng)目標(biāo)平面處軌道角動(dòng)量的影響,結(jié)果如圖6所示。如圖6(a)所示,隨著相干長(zhǎng)度的增加,軌道角動(dòng)量曲線迅速上升,當(dāng)相干長(zhǎng)度增大至0.5 cm后,軌道角動(dòng)量的變化趨于平緩,即就是說(shuō),此后,相干長(zhǎng)度的變化將不再影響縱向分量目標(biāo)平面處的軌道角動(dòng)量。從圖6(b)可以看出,對(duì)于攜帶±l拓?fù)浜傻牟糠窒喔蓮较蚱駵u旋光束,透鏡數(shù)值孔徑較小時(shí),縱向分量的軌道角動(dòng)量隨著數(shù)值孔徑的增加緩慢增長(zhǎng),當(dāng)增大至0.7后,也就是所謂的深聚焦情形,軌道角動(dòng)量的增長(zhǎng)程度越來(lái)越大。此外,可以發(fā)現(xiàn),數(shù)值孔徑在一定范圍內(nèi)變化時(shí),l的值越小,縱向分量的軌道角動(dòng)量反而更大,這與分析圖4中NA=1時(shí)拓?fù)浜山^對(duì)值更小的光束,目標(biāo)平面上的軌道角動(dòng)量密度整體數(shù)值反而更大的結(jié)果相吻合。然而,隨著數(shù)值孔徑的持續(xù)增大,達(dá)到某一臨界值后,l的值越大,目標(biāo)平面處的軌道角動(dòng)量就越大。例如,對(duì)于|l|=1的光束,當(dāng)NA>1.1后,其軌道角動(dòng)量小于|l|=2的光束,而在此之前,當(dāng)NA=1時(shí),其軌道角動(dòng)量為4.2708×10-30,大于|l|=2時(shí)的軌道角動(dòng)量3.7504×10-30,而對(duì)于|l|=2的光束,這一變化發(fā)生在NA>1.2后。這說(shuō)明,當(dāng)利用部分相干的渦旋光束進(jìn)行焦場(chǎng)目標(biāo)探測(cè)時(shí),可以通過(guò)控制入射光束的相干長(zhǎng)度和聚焦透鏡的數(shù)值孔徑來(lái)調(diào)整光束的軌道角動(dòng)量。

圖6 縱向分量的軌道角動(dòng)量隨著相干長(zhǎng)度lc和數(shù)值孔徑NA的變化Fig.6 The orbital angular momentum of the longitudinal component changes with the coherence lengthlcand the numerical apertureNA

4 結(jié) 論

本文研究了通過(guò)聚焦部分相干徑向偏振渦旋光束進(jìn)行目標(biāo)探測(cè)時(shí),焦場(chǎng)目標(biāo)平面處的強(qiáng)度和軌道角動(dòng)量密度分布特性,以及入射光束的相干長(zhǎng)度和聚焦透鏡的數(shù)值孔徑對(duì)縱向分量軌道角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度分布的影響。結(jié)果表明:

(1)攜帶±l拓?fù)潆姾傻牟糠窒喔蓮较蚱駵u旋光束焦場(chǎng)目標(biāo)平面處的軌道角動(dòng)量密度和強(qiáng)度分布均沿著角向主要集中呈現(xiàn)在花瓣?duì)顖D案內(nèi),花瓣個(gè)數(shù)為2|l|。在強(qiáng)度分布中,橫向分量的強(qiáng)度相比縱向分量都較弱,而在軌道角動(dòng)量密度中,只有橫向分量x的軌道角動(dòng)量密度較弱,橫向分量y與縱向分量的軌道角動(dòng)量密度都較強(qiáng)。

(2)焦場(chǎng)目標(biāo)平面處的光強(qiáng),以及縱向分量的軌道角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度都隨著相干長(zhǎng)度的增加而增大,當(dāng)相干長(zhǎng)度增大至0.5 cm后,相干長(zhǎng)度的變化對(duì)其不再產(chǎn)生影響。

(3)隨著數(shù)值孔徑的增大,光強(qiáng)沒(méi)有明顯變化,縱向分量的軌道角動(dòng)量密度和軌道角動(dòng)量均變大,并且,變化程度在數(shù)值孔徑大于0.7后越來(lái)越大。

研究成果對(duì)于將部分相干徑向偏振渦旋光束的軌道角動(dòng)量特性用于光學(xué)探測(cè)等領(lǐng)域具有一定的參考意義。