王 慧

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

0 引言

設(shè)Fn×n為數(shù)域F上所有n階矩陣的集合，r(A)為矩陣A的秩，E為單位矩陣，Z表示整數(shù)集合，Z+表示正整數(shù)集合.設(shè)A∈Fn×n，m∈Z+，且m≥2，若Am=A，且Ak≠A(k=2,3,…,m-1)，則稱A為m冪等矩陣.m冪等矩陣是高等代數(shù)中的重要概念之一，矩陣的秩是刻畫矩陣的一個重要的數(shù)字特征，與矩陣的秩有關(guān)的命題又是判斷m冪等矩陣的重要條件，因而對矩陣秩的研究一直是一個有意義的課題.近年來，相關(guān)研究成果有：利用矩陣的秩和齊次線性方程組解空間的維數(shù)，給出了m冪等矩陣的新等價條件[1]；采用五種方法證明了關(guān)于冪等矩陣秩的一個命題，并進行了推廣[2]；楊忠鵬等給出了m冪等矩陣秩的一種等價刻畫[3].本文將從三個不同方面出發(fā)，證明關(guān)于m冪等矩陣秩的一個重要結(jié)論.

首先給出幾個矩陣秩的性質(zhì)及引理.

性質(zhì)1已知A∈Fm×n，B∈Fm×n，則r(A+B)≤r(A)+r(B).

性質(zhì)2若n階矩陣A，B滿足AB=O，則r(A)+r(B)≤n.

性質(zhì)3已知A∈Fm×s，B∈Fs×n，則r(A+B)≤min{r(A),r(B)}.

引理1 已知A∈Fm×n，B∈Fm×n，C∈Fm×n，有

引理2 (Schur公式)設(shè)A∈Fr×r，B∈Fr×(n-r)，C∈F(n-r)×r，D∈F(n-r)×(n-r)，且方陣A，D均可逆，則

利用Schur公式，可得引理3.

引理3 (1)若方陣A，D均可逆，則

(2)若A，B，C，D均為n階方陣，且|A|≠0，AC=CA，則

引理4設(shè)A∈Fm×n，r(A)=r,則存在列滿秩矩陣Lm×r與行滿秩矩陣Hr×n，使A=LH.

證明(充分性) 已知A=LH，則

由Lm×r是列滿秩矩陣，Hr×n是行滿秩矩陣，因而

r((HL)m-1-Er)=r(L((HL)m-1-Er)H)=O，

即(HL)m-1=Er.

1 定理及證明

定理1 設(shè)A∈Fn×n，m∈Z+，且m≥2，則Am=A的充分必要條件是r(A)+r(E-Am-1)=n.

證法1 利用矩陣的等價標準形

(充分性) 設(shè)r(A)=r，則

r(E-Am-1)=n-r，

(1)

從而

(2)

(必要性) 由Am=A得，A(E-Am-1)=O，由性質(zhì)2知，

r(A)+r(E-Am-1)≤n；

(3)

由性質(zhì)2、3得，

r(A)+r(E-Am-1)≥r(Am-1)+r(E-Am-1)≥r(Am-1+E-Am-1)=r(E)=n，

(4)

從而，由(3)(4)兩式得，r(A)+r(E-Am-1)=n.

證法2 利用矩陣的滿秩分解

根據(jù)引理1，記A=LH，其中L為n×r列滿秩矩陣，H為r×n行滿秩矩陣，構(gòu)造n+r階分塊矩陣，則

由引理3(1)，得

即

n+r(Er-(HL)m-1)=r+r(En-(LH)m-1)，

亦即

n+r(Er-(HL)m-1)=r(A)+r(En-Am-1).

(5)

由(5)式可知，r(A)+r(En-Am-1)=n的充分且必要條件是r(Er-(HL)m-1)=0，即Er=(HL)m-1.由引理4知，r(A)+r(En-Am-1)=n的充分且必要條件是Am=A.

證法3 利用分塊矩陣的初等變換

即

(6)

即上述兩個分塊矩陣均可逆.從而由引理5及性質(zhì)4，知

故Am=A的充分必要條件為

r(A)+r(E-Am-1)=n.

2 結(jié)語

矩陣的秩是矩陣理論中的一個重要概念，是矩陣的重要數(shù)量特征，本文主要從矩陣的等價標準形，滿秩分解及分塊矩陣的初等變換三個不同方面，證明了m冪等矩陣秩滿足的一個充要條件，該條件是高冪等矩陣秩的性質(zhì)的一個補充和完善.