大傾斜度彈簧剛度表達(dá)式的推導(dǎo)及有限元驗(yàn)證

錢寧偉，李崢彬，肖奉英，沈逸舟，黃模佳

(南昌大學(xué)工程力學(xué)系，江西 南昌 330031)

彈簧在機(jī)械系統(tǒng)中是一種較為常見的零件，且種類很多，其中圓柱彈簧在工程中的應(yīng)用最為廣泛[1-2]。圓柱彈簧一般受縱向荷載作用，利用自身的彈性和變形進(jìn)行工作[3-4]。剛度作為彈簧性能的重要指標(biāo)之一，對(duì)整體結(jié)構(gòu)的安全性能起著重要作用，熊志遠(yuǎn)等[5]以彈簧材料為出發(fā)點(diǎn)對(duì)彈簧剛度進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)彈簧剛度與纖維彈性模量、簧絲外直徑、纖維體積分?jǐn)?shù)三者相關(guān)，剛度大小隨三者增大而劇增，隨三者的下降而驟減。金達(dá)鋒等[6]基于層合板理論，利用纖維復(fù)合材料平板的剪切模量及各向同性材料彈簧剛度公式，理論推導(dǎo)了該類復(fù)合材料彈簧的剛度表達(dá)式。

目前圓柱彈簧的常用研究方法為采用有限元仿真計(jì)算。朱勛等[7]運(yùn)用ABAQUS軟件對(duì)圓柱彈簧進(jìn)行分析，將有限元結(jié)果與已有的彈簧剛度公式[8-10]進(jìn)行比較，結(jié)果表明文獻(xiàn)[8]的公式更為通用。田樹濤等[11]通過(guò)Solidworks軟件對(duì)彈簧進(jìn)行建模分析，基于不同加載方式獲得彈簧剛度，研究表明該方式得到的彈簧剛度精度較高。周凱林等[12]利用ANSYS軟件對(duì)彈簧進(jìn)行建模，對(duì)彈簧剛度進(jìn)行有限元仿真計(jì)算，并重點(diǎn)分析了彈簧簧絲間的接觸問(wèn)題。鐘文彬[13]等通過(guò)ANSYS軟件對(duì)彈簧各方向的剛度進(jìn)行了仿真計(jì)算，研究表明有限元方法能為彈簧的精確設(shè)計(jì)和計(jì)算提供較為可靠的理論依據(jù)。

聶維等[14]通過(guò)編制 Matlab 程序?qū)ψ儏?shù)圓柱彈簧的參數(shù)進(jìn)行解析計(jì)算，給出基本的運(yùn)算思路，結(jié)果表明變參數(shù)圓柱彈簧具有良好的非線性剛度特性。曹坤等[15-16]則是利用Matlab對(duì)圓柱螺旋彈簧進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，為工程中的彈簧設(shè)計(jì)提供一定的參考。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)圓柱彈簧的研究雖然較多，且部分文獻(xiàn)考慮螺旋角對(duì)彈簧剛度的影響，但計(jì)算分析的模型一般為密圈彈簧，對(duì)于螺旋角較大的彈簧沒(méi)有進(jìn)行分析，且關(guān)于密圈彈簧的計(jì)算結(jié)果的精度不高?；谏鲜銮闆r，本文利用圓柱彈簧幾何參數(shù)的關(guān)系，考慮螺旋角對(duì)彈簧剛度的影響，通過(guò)能量法給出精度較高的彈簧剛度理論解，并利用有限元軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證，基于解析解和有限元結(jié)果對(duì)工程中的彈簧設(shè)計(jì)提出一些建議和參考。

1 彈簧的傾斜度與彈簧尺寸的關(guān)系

圓柱彈簧是工程中較為常用的彈簧，目前工程中對(duì)于圓柱彈簧剛度K0的經(jīng)典理論公式為：

(1)

式中：n為彈簧圈數(shù)；R為彈簧半徑；G為彈簧材料的剪切模量；d為彈簧線徑。式(1)表明彈簧剛度的大小主要由該4個(gè)幾何參數(shù)決定，該式未考慮螺旋角對(duì)彈簧剛度的影響，實(shí)際上彈簧螺旋角對(duì)彈簧剛度的大小具有一定的影響?，F(xiàn)假設(shè)圓柱彈簧的高為h，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，螺旋角為α，將其進(jìn)行展開，展開的模型參數(shù)如圖1所示。

圖1 圓柱彈簧模型

在圓柱彈簧變形過(guò)程中，提出與彈簧變形相符的兩個(gè)基本假定：

(1) 彈簧的變形主要來(lái)自于鋼絲的扭轉(zhuǎn)和彎曲變形，在圓柱彈簧變形過(guò)程中鋼絲彈簧局部軸向力很小，鋼絲彈簧受力后鋼絲的長(zhǎng)度不變。

(2) 彈性變形過(guò)程中整個(gè)彈簧的形態(tài)不變，即圈數(shù)n不發(fā)生變化。這里n為彈簧變形前彈簧的圈數(shù)(注：n可以不是整數(shù))。

為了將α與L和h之間關(guān)系較為簡(jiǎn)單地表示出來(lái)，引入?yún)?shù)κ表示彈簧變形前的α與L和h之間的關(guān)系，參數(shù)κ1表示受力彈簧變形后的α1與L1和h1之間的關(guān)系，κ可視為彈簧鋼絲的傾斜度，根據(jù)兩個(gè)基本假定值L1=L,n1=n，以及圖1可得：

(2)

根據(jù)式(2)彈簧變形量Δh可表示為

Δh=L(κ1-κ)=Lχ，χ=(κ1-κ)

(3)

利用式(3)以及荷載P與彈簧變形量Δh之間為線性關(guān)系可得

P=K(κ)Δh=K(κ)Lχ

(4)

這里K(κ)是該彈簧剛度。

(5)

2 基于能量法推導(dǎo)彈簧剛度的解析表達(dá)式

將作用于彈簧中心的荷載P平移到彈簧鋼絲上簡(jiǎn)化成主矩M0=PR、主矢P；其中主矩M0可分解成彈簧鋼絲與彈簧垂直軸線的截面平行的彎矩M和與彈簧垂直軸線的截面垂直的扭矩T，主矢P可分解成彈簧鋼絲與彈簧垂直軸線的截面平行的剪力Q和與彈簧垂直軸線的截面垂直的軸力N。力矩關(guān)系示意圖見圖2。

(a)

根據(jù)式(3)、式(4)可得彈簧剛度K(κ)為

(6)

荷載P對(duì)圓柱彈簧作用產(chǎn)生的力矩為M0，根據(jù)式

(4)和式(5)式可得

(7)

根據(jù)圖2(c)所示的力、力矩分解的幾何關(guān)系以及式(2)、式(4)、式(5)，可得到扭矩T和彎矩M：

(8)

(9)

外力對(duì)彈簧做功對(duì)于小傾斜角彈簧而言主要轉(zhuǎn)化為扭轉(zhuǎn)變形能，僅考慮扭轉(zhuǎn)變形能的彈簧剛度表達(dá)式為式(1)，外力對(duì)彈簧做功對(duì)于大傾斜角彈簧而言彎曲變形能則是不可忽略的，對(duì)于大傾斜角彈簧主要考慮扭轉(zhuǎn)變形能和彎曲變形能的共同作用。圓柱彈簧一端固定，另一端受到的外力荷載P作用在彈簧圈的正中心，外力做功WP轉(zhuǎn)變成彈簧鋼絲扭轉(zhuǎn)變形能UT和彎曲變形能UM，即

WP=UT+UM

(10)

這里外力荷載P作用下彈簧鋼絲截面上軸力N很小引起的變形能可以忽略不計(jì)，對(duì)于彈簧鋼絲較細(xì)時(shí)外力荷載P作用下彈簧鋼絲截面上剪力Q引起的變形能也可以忽略不計(jì)。

為了便于計(jì)算彈簧鋼絲的扭轉(zhuǎn)變形能UT和彎曲變形能UM，將彈簧鋼絲看成為展開狀態(tài)(如圖1所示)，根據(jù)材料力學(xué)公式以及式(8)、式(9)可知在扭矩T和彎矩M的作用下產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形能UT和彎曲變形能UM為

(11)

(12)

這里Ip為彈簧鋼絲橫截面的極慣性矩，E為彈簧鋼絲的彈性模量，Iz為彈簧鋼絲橫截面的慣性矩。

根據(jù)式(3)、式(4)，可得外力P對(duì)彈簧做的總功WP為

(13)

彈性模量E和剪切模量G滿足

E=2G(1+ν)，其中ν為彈簧材料的泊松比，將式(11)～式(13)代入式(10)得到

(14)

根據(jù)式(14)等式左右兩邊約去χ2，即可求得K(κ)

(15)

根據(jù)式(1)、式(15)整理后得到的彈簧剛度解析解為

(16)

式(16)表明彈簧剛度與彈簧的螺旋升角、泊松比相關(guān)，式(16)中的η為剛度影響系數(shù)。式(1)主要考慮扭矩T作用推導(dǎo)出的彈簧剛度表達(dá)式K0，而式(16)考慮扭矩T和彎矩M共同作用推導(dǎo)出精確的彈簧剛度表達(dá)式K(κ)，比較式(1)和式(16)可知K0η為考慮彎矩作用下對(duì)彈簧剛度的影響量。當(dāng)κ=0時(shí)，η=0，即K(κ)=K0，這時(shí)彈簧僅受扭矩T的作用；當(dāng)κ≠0時(shí)，影響剛度系數(shù)η則會(huì)隨初始螺旋升角的大小發(fā)生變化，為了更加直觀地看到螺旋升角對(duì)彈簧剛度的影響，考慮泊松比ν=0.2，0.3，0.4時(shí)η隨著傾斜度κ的變化，結(jié)果如表1所示。

表1 影響剛度系數(shù)

可知，當(dāng)傾斜度κ較小時(shí)，η對(duì)彈簧剛度影響值較小，此時(shí)按式(1)或式(16)計(jì)算彈簧剛度均可；當(dāng)傾斜度κ較大時(shí)，η對(duì)彈簧剛度影響值很大，此時(shí)計(jì)算彈簧剛度應(yīng)按照式(16)中的K(κ)=K0(1+η)計(jì)算；對(duì)于給定傾斜度κ泊松比ν越小，η對(duì)彈簧剛度影響值越大；泊松比ν越大，η對(duì)彈簧剛度影響值越小，因此對(duì)于泊松比ν較小且傾斜度κ較大的情況，更宜用式(16)來(lái)計(jì)算彈簧的剛度以保證彈簧剛度的準(zhǔn)確性。

3 含傾斜度的彈簧剛度的有限元仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證能量法求解得到的彈簧剛度表達(dá)式的準(zhǔn)確性，利用ABAQUS有限元軟件對(duì)彈簧進(jìn)行有限元仿真驗(yàn)證。式(16)主要應(yīng)用于計(jì)算螺旋升角較大的彈簧的剛度，故有限元計(jì)算模型選用螺旋升角不同的模型進(jìn)行對(duì)比分析，為了更好地展示螺旋升角對(duì)彈簧剛度的影響，所有彈簧有限元模型中的彈簧圈的半徑R、彈簧鋼絲的彈性模量E、泊松比ν、彈簧鋼絲的直徑d、彈簧的圈數(shù)n均相同，僅改變彈簧的傾斜度κ的值。

3.1 彈簧有限元模型的建立與網(wǎng)格劃分

彈簧有限元計(jì)算選用三維梁元進(jìn)行分析計(jì)算，首先通過(guò)ABAQUS軟件建模功能輸入相應(yīng)的參數(shù)形成彈簧，給定彈簧圈的半徑R=0.015 m，彈簧的圈數(shù)n=5，以及彈簧鋼絲的直徑d=0.002 m，并給彈簧賦予材料屬性，材料的彈性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.3，將已經(jīng)賦予材料屬性的彈簧進(jìn)行裝配，裝配完成后，在分析步功能欄增加荷載分析步，選用線性分析計(jì)算。

為了證明式(16)不僅適用于螺旋升角較小的圓柱彈簧，對(duì)于螺旋角較大的彈簧也同樣適用，且精度較高，本文將選用一組彈簧模型進(jìn)行有限元仿真計(jì)算，該組彈簧模型取κ為變量，彈簧的高度h、彈簧鋼絲的長(zhǎng)度L隨變量κ的變化規(guī)律如表2所示。

表2 彈簧尺寸的選取

當(dāng)彈簧模型建立完成后，對(duì)其進(jìn)行加載以及設(shè)置約束。在彈簧的頂部施加荷載P，荷載P位于彈簧的正中心，荷載P的大小為0.02 kN，荷載方向朝Z的負(fù)方向。在彈簧的底部設(shè)置完全固定約束，最后對(duì)彈簧模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格劃分選用B31(兩節(jié)點(diǎn)空間線性梁?jiǎn)卧?單元。

3.2 有限元結(jié)果與解析解的比較情況

對(duì)彈簧有限元模型進(jìn)行仿真計(jì)算，提取彈簧κ=0.1、彈簧κ=0.2的位移云圖進(jìn)行分析，如圖3所示。

(a) κ=0.1位移云圖

可得，彈簧其他參數(shù)相同、荷載相同、初始螺旋升角大小不同的情況下，彈簧產(chǎn)生的位移不同，即剛度大小不一樣，可見初始螺旋升角對(duì)彈簧剛度的大小會(huì)產(chǎn)生一定的影響?，F(xiàn)提取7種模型的有限元計(jì)算結(jié)果，由設(shè)置的彈簧模型參數(shù)可知，7種彈簧模型中，根據(jù)彈簧的傾斜度κ的變化，以及彈簧受力后的變形量Δh，計(jì)算出有限元仿真的彈簧剛度結(jié)果K1=P/Δh，根據(jù)式(16)可得不含傾斜度效應(yīng)的彈簧剛度K0=1 173.789 N·m-1，以及荷載作用下考慮扭轉(zhuǎn)和彎矩共同作用的彈簧剛度表達(dá)式K(κ)=K0(1+η)，不含傾斜度效應(yīng)的彈簧剛度與有限元仿真計(jì)算的彈簧剛度誤差ξ1=(K1-K0)/K1，考慮傾斜度效應(yīng)的彈簧剛度理論解與有限元仿真計(jì)算的彈簧剛度誤差ξ2=(K1-K0(1+η))/K1，結(jié)果如表3所示。

表3 彈簧剛度的變化及相對(duì)誤差

由表3的有限元結(jié)果可得，傾斜度κ的值越大，彈簧剛度越??；從整體分析可得，當(dāng)傾斜度κ的值較小時(shí)，式(1)、式(16)的值與有限元值均比較吻合，此時(shí)式(1)、式(16)中的表達(dá)式均可用于工程中的彈簧設(shè)計(jì)；當(dāng)初始傾斜度κ的值較大時(shí)，式(1)與有限元值的差值越來(lái)越大，當(dāng)κ≥0.2時(shí)，式(16)的精確度高于式(1)的精確度，且式(16)隨著κ值增加誤差變小而式(1)隨著κ值增加誤差變大，此時(shí)必須考慮彈簧傾鋼絲斜度的影響，并且應(yīng)當(dāng)選取式(16)計(jì)算彈簧剛度。

κ

可知，有限元無(wú)量綱化的結(jié)果與本文中考慮傾斜度彈簧剛度表達(dá)式式(16)無(wú)量綱化后的結(jié)果曲線十分吻合，曲率變化也接近。當(dāng)彈簧傾斜度κ逐漸增大，有限元結(jié)果K1與K(κ)結(jié)果越來(lái)越接近，兩者之間差值幅度也越來(lái)越小，而有限元結(jié)果K1與不含有傾斜度的彈簧剛度表達(dá)式K0差值的幅度越來(lái)越大，由此可見，式(16)的適用性更高。

4 結(jié)論

本文利用彈簧自身的參數(shù)及變化特性，考慮傾斜度即螺旋角對(duì)彈簧剛度的影響，基于能量法對(duì)其剛度進(jìn)行求解，并借助有限元仿真軟件進(jìn)行驗(yàn)證，將所得結(jié)果與經(jīng)典理論公式和本文推導(dǎo)得到的解析解進(jìn)行比較，結(jié)論如下：

(1)由有限元結(jié)果可證明螺旋角對(duì)彈簧剛度的大小會(huì)產(chǎn)生影響，且同等條件下，傾斜度較大的，剛度值反而更小。

(2)由能量法推導(dǎo)得到的解析解與有限元計(jì)算結(jié)果基本吻合，不僅驗(yàn)證了解析解的正確性，同時(shí)由差值結(jié)果可證明該解析解的精度較高。

(3)經(jīng)典理論公式僅適用于傾斜度較小的彈簧，本文的公式不僅適用于密圈彈簧，對(duì)于傾斜度較大的圓柱彈簧同樣適用，且誤差均小于0.21%，可為工程中的彈簧剛度設(shè)計(jì)提供較為可靠的理論解。