擺線液壓馬達(dá)嚙合副修型優(yōu)化

趙 旗， 張軍輝， 唐 玲， 張小龍， 徐 兵， 張紅娟， 雷 鵬

(1.浙江大學(xué) 流體動(dòng)力與機(jī)電系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 浙江 杭州 310027；2.內(nèi)蒙古北方重工業(yè)集團(tuán)有限公司，內(nèi)蒙古 包頭 014000； 3.寧波斯達(dá)弗液壓傳動(dòng)有限公司， 浙江 寧波 315808)

引言

擺線液壓馬達(dá)是一種鑲齒定轉(zhuǎn)子副式的小型中速中扭矩液壓馬達(dá)，具有體積小、重量輕、結(jié)構(gòu)緊湊、扭矩密度比較高等優(yōu)點(diǎn)。擺線液壓馬達(dá)用途廣泛，主要用于工程機(jī)械、農(nóng)業(yè)機(jī)械、塑料機(jī)械、煤礦機(jī)械、起重運(yùn)輸機(jī)械、漁業(yè)機(jī)械等。

擺線轉(zhuǎn)子嚙合副是擺線液壓馬達(dá)的動(dòng)力轉(zhuǎn)換部分，該部分包含Za個(gè)齒的擺線輪和Zb個(gè)滾柱的鑲柱定子，共同形成了Zb個(gè)封閉容腔。擺線轉(zhuǎn)子嚙合副的原理是行星齒輪傳動(dòng)，使得擺線液壓馬達(dá)機(jī)構(gòu)緊湊，同時(shí)又可以實(shí)現(xiàn)較大的輸出扭矩；然而擺線馬達(dá)的劣勢(shì)也很明顯，嚙合副磨損之后無(wú)法補(bǔ)償，導(dǎo)致效率隨使用逐漸降低[1]。所以為了改善擺線轉(zhuǎn)子嚙合副的磨損與潤(rùn)滑， 需要對(duì)擺線輪進(jìn)行修型優(yōu)化， 以降低接觸應(yīng)力、增大油膜厚度，從而提高擺線液壓馬達(dá)的性能。

對(duì)于擺線轉(zhuǎn)子嚙合副，黃忠華等[1]、吳方文等[2]通過優(yōu)化算法以流量脈動(dòng)率和總效率為目標(biāo)對(duì)嚙合副基本參數(shù)和擺線輪修型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。陳菲[3]通過嚙合副接觸應(yīng)力分析，對(duì)擺線輪等應(yīng)力修型，目標(biāo)函數(shù)采用應(yīng)力均方差，使得應(yīng)力集中現(xiàn)象有所改善。NAG A等[4]基于遺傳算法優(yōu)化干涉參數(shù)消除接觸點(diǎn)泄漏。ROY D等[5]通過有限元方法對(duì)于嚙合副接觸應(yīng)力和間隙估算。MANNE V H B等[6]考慮變形效應(yīng)和摩擦損失對(duì)轉(zhuǎn)矩效率進(jìn)行估算。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于擺線液壓馬達(dá)嚙合副研究比較有限，很少關(guān)注擺線液壓馬達(dá)嚙合副接觸點(diǎn)油膜厚度以及修型對(duì)接觸應(yīng)力的影響[7-9]。同時(shí)，國(guó)內(nèi)對(duì)于擺線液壓馬達(dá)的研究局限于理論分析，缺乏試驗(yàn)研究。本研究建立了擺線轉(zhuǎn)子嚙合副的力學(xué)和潤(rùn)滑模型，通過該模型，計(jì)算接觸點(diǎn)接觸應(yīng)力及油膜厚度，分析擺線輪多種修型方法對(duì)接觸點(diǎn)接觸應(yīng)力及油膜厚度的影響，選取最優(yōu)修型組合來補(bǔ)償潤(rùn)滑油膜，降低接觸應(yīng)力。

1 擺線轉(zhuǎn)子嚙合副力學(xué)模型

1.1 擺線輪和定子參數(shù)方程

擺線轉(zhuǎn)子嚙合副的轉(zhuǎn)子為擺線輪，其齒廓曲線是短幅外擺線的內(nèi)等距曲線，定子針輪齒廓是等間距分布的圓弧，如圖1所示。

圖1 擺線轉(zhuǎn)子嚙合副Fig.1 Meshing pair of orbit motor

本研究以Rz=40，rz=9，e=3.2，Za=8為例，對(duì)擺線轉(zhuǎn)子嚙合副分析。擺線輪齒廓參數(shù)方程[10]為：

(1)

定子針輪齒廓參數(shù)方程為:

(2)

式中，Rz—— 定子針輪分布圓半徑

rz—— 定子針輪半徑

e—— 偏心距

Za—— 擺線輪齒數(shù)

Zb—— 定子針輪個(gè)數(shù)，Zb=Za+1

φ—— 擺線輪角度，φ=[0,2π]

k—— 針輪編號(hào)，k=1，…，Zb

1.2 擺線轉(zhuǎn)子嚙合副靜力學(xué)分析

擺線轉(zhuǎn)子嚙合副在某一瞬時(shí)位置的靜平衡受力分析如圖2所示。此時(shí)高壓腔與低壓腔的臨界過渡接觸點(diǎn)為J1和J6。低壓腔為C1至C5，處于壓縮狀態(tài)，高壓腔為C6至C9，處于膨脹狀態(tài)。高壓區(qū)和低壓區(qū)可用1個(gè)假想平面L×B分開，L是2個(gè)過渡接觸點(diǎn)間的距離，B是擺線轉(zhuǎn)子嚙合副的齒寬，此處取19 mm。高壓區(qū)和低壓區(qū)壓差(Δp=10 MPa)的作用可以看成作用在L×B平面上的均勻載荷，因此液壓力的大小可表示為[5]：

Ff=LBΔp

(3)

其中，F(xiàn)f作用于L直線的中點(diǎn)Lo，方向垂直于L直線。由于L長(zhǎng)度不斷變化，所以液壓力也在不斷變化中。

圖2 嚙合副受力分析Fig.2 Force analysis of meshing pair

擺線輪與定子針輪接觸點(diǎn)的力Fn作用于接觸點(diǎn)Jn，方向指向嚙合副節(jié)點(diǎn)I。由嚙合副靜平衡可知，液壓力與接觸點(diǎn)的合力構(gòu)成一對(duì)平衡力偶，產(chǎn)生的扭矩M與輸出軸的阻力矩Mr大小相等。所以，在這一時(shí)刻力的平衡方程為：

(4)

式中，r—— 由I點(diǎn)指向Lo的向量。

其中，n=1,2,…,Zb。

在液壓力的作用下，會(huì)使擺線輪產(chǎn)生偏移，這意味著Jn中的某些接觸點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生間隙，相應(yīng)位置的接觸力為0。由于未知力的個(gè)數(shù)大于平衡方程個(gè)數(shù)，為了解決該超靜定問題需引入變形幾何方程。由于阻力矩的存在，嚙合點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生彈性變形，擺線輪會(huì)繞O1點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過微小角度Δα，嚙合點(diǎn)法向方向的位移為xn，即：

xn=Δαlnsinθn

(5)

將定子針輪看作彈簧模型，嚙合點(diǎn)接觸力的大小與嚙合點(diǎn)在法向方向的位移成正比，結(jié)合式(5)可知：

Fn∝lnsinθn

(6)

由于液壓力的存在，擺線輪會(huì)產(chǎn)生微小偏置，變形幾何方程未考慮偏置位移，會(huì)導(dǎo)致接觸力合力的方向與液壓力的方向不同，有一個(gè)微小的夾角。將接觸力合力向液壓力方向和液壓力垂直方向分解，使液壓力方向的分力等于液壓力，即：

(7)

經(jīng)過計(jì)算可知液壓力與接觸力合力誤差在3%以下，可以忽略不計(jì)。

1.3 擺線輪轉(zhuǎn)動(dòng)分析

擺線輪公轉(zhuǎn)一周時(shí)，輸出軸自轉(zhuǎn)1/Za周，本節(jié)研究擺線輪轉(zhuǎn)過一齒時(shí)，即輸出軸轉(zhuǎn)過360°/(ZaZb)時(shí)擺線輪的受力變化。

如圖3所示，以θ=0°時(shí)為初始位置，擺線輪轉(zhuǎn)動(dòng)一齒時(shí)θ=40°，此時(shí)輸出軸轉(zhuǎn)角為φ=θ/Za=5°。當(dāng)0°<φ<2.5°時(shí)，過渡接觸點(diǎn)位于針輪1和6上，當(dāng)2.5°<φ<5°時(shí)過渡觸點(diǎn)變化到針輪2和6上。

如圖3a所示，O，A2，I的坐標(biāo)確定I′的坐標(biāo)，可由θ表示，各接觸點(diǎn)力的方向向量可表示為：

(8)

圖3 不同旋轉(zhuǎn)位置擺線輪受力情況Fig.3 Force of cycloidal gear at differentrotation positions

液壓力的方向向量可表示為：

(9)

式中，i，j—— 過渡接觸點(diǎn)編號(hào)

T —— 向量轉(zhuǎn)置符號(hào)

2 接觸應(yīng)力與油膜厚度計(jì)算

上一節(jié)對(duì)擺線轉(zhuǎn)子嚙合副的受力進(jìn)行分析，本節(jié)計(jì)算擺線轉(zhuǎn)子嚙合副在擺線輪轉(zhuǎn)過一齒時(shí)各接觸點(diǎn)的接觸應(yīng)力與油膜厚度，計(jì)算流程圖如圖4所示。

圖4 計(jì)算流程圖Fig.4 Calculation flow chart

2.1 接觸應(yīng)力計(jì)算

擺線輪與針齒的接觸，可以認(rèn)為是2個(gè)瞬時(shí)圓柱體的接觸，因此，其接觸點(diǎn)的接觸應(yīng)力可根據(jù)赫茲公式[10]計(jì)算：

(10)

式中，Ec—— 當(dāng)量彈性模量，為常數(shù)

R—— 不同齒上接觸點(diǎn)的當(dāng)量曲率半徑

由式(5)～式(9)，通過MATLAB軟件計(jì)算求解輸出軸轉(zhuǎn)動(dòng)5°時(shí)，各擺線齒上嚙合點(diǎn)的接觸力。

根據(jù)微分公式，可求得擺線輪理論齒廓曲線的曲率半徑ρ0，擺線輪實(shí)際齒廓曲線的曲率半徑為ρ=ρ0+rz，即：

(11)

(12)

由圖3a可知，φ值計(jì)算公式如下：

(13)

計(jì)算每個(gè)齒上接觸點(diǎn)的φ值，帶入式(11)和式(12)，從而計(jì)算出R值。

將接觸力和當(dāng)量曲率半徑帶入式(10)，求得擺線輪各個(gè)齒上嚙合點(diǎn)的接觸應(yīng)力變化如圖5所示。從圖可以看出在輸出軸轉(zhuǎn)角為2.5°時(shí)，接觸應(yīng)力發(fā)生波動(dòng)，原因是此時(shí)，過渡觸點(diǎn)從針輪1轉(zhuǎn)到針輪2，液壓力發(fā)生突變。

圖5 各個(gè)齒上嚙合點(diǎn)的接觸應(yīng)力Fig.5 Contact stress of meshing points on each tooth

2.2 油膜厚度計(jì)算

擺線輪與針輪嚙合點(diǎn)的潤(rùn)滑狀態(tài)可看作等溫線接觸彈流潤(rùn)滑[11-12]。楊沛然和溫詩(shī)鑄根據(jù)Roelands黏壓關(guān)系，采用復(fù)合直接迭代解法，對(duì)較廣泛的速度和載荷變化范圍內(nèi)的線接觸彈流潤(rùn)滑問題求得收斂解，并回歸出如下的最小油膜厚度和中心油膜厚度公式[13]：

(14)

式中，hm—— 最小油膜厚度

ho—— 中心油膜厚度

α—— 黏壓系數(shù)

η0—— 潤(rùn)滑油的動(dòng)力黏度

u—— 嚙合點(diǎn)卷吸速度

從圖中可以看出，隨著擺線輪齒編號(hào)的增大，油膜厚度逐漸增大。

2.3 結(jié)果討論

上兩節(jié)計(jì)算了不同齒上接觸應(yīng)力和油膜厚度的變化，每個(gè)齒上嚙合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)區(qū)間相對(duì)于擺線輪的1個(gè)齒各不相同，然而，所有齒上嚙合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)區(qū)間剛好構(gòu)成擺線輪半個(gè)齒廓。

圖6 不同齒上油膜厚度變化Fig.6 Variation of oil film thickness on different teeth

因此將上一節(jié)每個(gè)齒的結(jié)果整合到擺線輪1個(gè)齒上分析接觸應(yīng)力和油膜厚度的變化，如圖7和圖8所示。從圖7可以看出最大接觸應(yīng)力為1497 MPa，發(fā)生在擺線輪31.98°位置，具體位置如圖9中黑點(diǎn)所示。

圖7 半齒上的接觸應(yīng)力Fig.7 Contact stress on half tooth

圖8 半齒上的油膜厚度Fig.8 Oil film thickness on half teeth

3 擺線輪修型分析

擺線輪實(shí)際使用時(shí)需要修型磨削，這是為了使得擺線輪與定子針輪形成一定間隙，以便于拆裝方便和補(bǔ)償制造誤差，并形成潤(rùn)滑油膜[8]。

3.1 移距和等距修型法

圖10a為移距修型法，是指磨削擺線輪齒廓時(shí)，將砂輪相對(duì)擺線輪移動(dòng)微小距離ΔRz，砂輪向擺線輪靠近定義為正移距，反之為負(fù)移距；圖10b為等距修型法，是指磨削擺線輪齒廓時(shí)，將砂輪半徑增大或減小Δrz，增大定義為正等距，反之為負(fù)等距。這2種方法可單獨(dú)使用，也可聯(lián)合使用[10]。

圖10 2種修型方法Fig.10 Two modification methods

3.2 修型對(duì)擺線副的影響

1) 對(duì)潤(rùn)滑油膜的影響

修型產(chǎn)生的間隙用于補(bǔ)償潤(rùn)滑油膜。采用移距加等距的組合修型方法，討論幾種不同組合對(duì)潤(rùn)滑油膜的影響。如圖11所示，外輪廓為標(biāo)準(zhǔn)齒形，內(nèi)輪廓為修型后齒形，標(biāo)準(zhǔn)齒形上任一點(diǎn)法向間隙為ΔL，即：

(15)

圖11 擺線輪修型前后Fig.11 Before and after cycloidal gear modification

經(jīng)過分析可知，采取以下3種組合方式會(huì)產(chǎn)生間隙： “正移距+正等距”；“正移距+負(fù)等距”，且|ΔRz|>|Δrz|；“負(fù)移距+正等距”，且|Δrz|>|ΔRz|。根據(jù)3種組合方式，選取合適修型量，計(jì)算修型產(chǎn)生的間隙，并與上一節(jié)得到的油膜厚度放到一個(gè)坐標(biāo)軸下比較，如圖12所示。

圖12 油膜厚度與修型產(chǎn)生的間隙對(duì)比圖Fig.12 Comparison between oil film thickness and clearance generated by modification

從圖中可以看出，修型量大小相同的3種修型方式產(chǎn)生的間隙均大于上節(jié)得到的油膜厚度，滿足補(bǔ)償潤(rùn)滑油膜的要求?！罢凭?正等距”的組合產(chǎn)生的間隙比“正移距+負(fù)等距”與“負(fù)移距+正等距”的組合要大3倍左右。由于間隙過大，會(huì)造成較大的泄漏，降低馬達(dá)的容積效率，所以采取“正移距+負(fù)等距”組合與“負(fù)移距+正等距”組合比“正移距+正等距”組合合理。從圖中還可以看出“正移距+負(fù)等距”組合對(duì)擺線輪齒廓齒頂和齒根修行量大，對(duì)擺線輪32°左右位置修型量小，而“負(fù)移距+正等距”組合完全相反。根據(jù)前面章節(jié)接觸應(yīng)力的分析，在擺線輪32°左右位置處接觸應(yīng)力最大，磨損較大，所以對(duì)此位置修型量較大的“負(fù)移距+正等距”組合不合理，“正移距+負(fù)等距”組合合理。

2) 對(duì)接觸應(yīng)力的影響

修型改變了擺線輪的曲率半徑，因此當(dāng)量曲率半徑也發(fā)生改變。圖13所示為不同修型組合對(duì)當(dāng)量曲率半徑的影響，從圖中可以看出“正移距+正等距”和“負(fù)移距+正等距”這2個(gè)組合會(huì)使最小曲率半徑減小，從而使得接觸應(yīng)力變大，而“正移距+負(fù)等距”組合會(huì)使最小曲率半徑增大，從而使得接觸應(yīng)力減小。因此，選擇“正移距+負(fù)等距”的修型組合，這與上一小節(jié)得到的結(jié)果一致。

圖13 不同修型組合對(duì)當(dāng)量曲率半徑的影響Fig.13 Effect of different modification combinations on equivalent radius of curvature

在不同修型量的組合下，擺線輪上最大接觸應(yīng)力σmax,如圖14所示。從圖中可以看出，“正移距+正等距”和“負(fù)移距+正等距”組合會(huì)使接觸應(yīng)力變大，“正移距+負(fù)等距”組合使接觸應(yīng)力減小。因此， 選擇“正移距+負(fù)等距”的修型方式，這與上一小節(jié)得到的結(jié)果一致。

圖14 最大接觸應(yīng)力圖Fig.14 Maximum contact stress diagram

4 結(jié)論

為了提高擺線液壓馬達(dá)性能，分析擺線轉(zhuǎn)子嚙合副并進(jìn)行修型優(yōu)化，本研究建立了擺線轉(zhuǎn)子嚙合副力學(xué)和潤(rùn)滑模型，計(jì)算嚙合副各接觸點(diǎn)接觸應(yīng)力及油膜厚度的變化，分析修型對(duì)油膜和接觸應(yīng)力的影響，得到以下結(jié)論：

(1) 擺線馬達(dá)工作時(shí)最大接觸應(yīng)力發(fā)生在擺線輪31.98°位置；

(2) “正移距+負(fù)等距”的修型組合，可以有效補(bǔ)償油膜厚度，同時(shí)產(chǎn)生的間隙比“正移距+正等距”的修型組合小，可以減小泄漏，提高容積效率；

(3) “正移距+負(fù)等距”的修型組合使最大接觸應(yīng)力減小，“正移距+正等距”和“負(fù)移距+正等距”的2種組合使最大接觸應(yīng)力增大。