基于熱傳導(dǎo)方程的城市犯罪時(shí)空數(shù)值源分析

丁偉杰周 凱沈守楓

(1.浙江警察學(xué)院 大數(shù)據(jù)與網(wǎng)絡(luò)安全研究院，浙江杭州 310053;2.基于大數(shù)據(jù)架構(gòu)的公安信息化應(yīng)用公安部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江杭州 310053;3.浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，浙江杭州 310023;4.浙江工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，浙江杭州 310023)

§1 引言

犯罪問題一直是影響人民群眾生活以及社會(huì)文明發(fā)展的重大問題.近年來，隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)快速發(fā)展，犯罪事件傳播的速度越來越快，對(duì)警方提出了更高的挑戰(zhàn).因此，亟需提升犯罪數(shù)據(jù)分析能力.犯罪事件數(shù)據(jù)分析從統(tǒng)計(jì)，描述性數(shù)據(jù)分析到關(guān)聯(lián)，探索性數(shù)據(jù)分析的轉(zhuǎn)變成為當(dāng)前犯罪數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域的一個(gè)重要變化，犯罪模式發(fā)展逐漸成為當(dāng)前學(xué)界研究的熱點(diǎn)[1].就犯罪規(guī)律分析和犯罪模式研究來說，犯罪時(shí)空分析在揭示犯罪事件基于時(shí)間和空間維度的態(tài)勢變化，犯罪形態(tài)演變規(guī)律方面有著比較明顯的優(yōu)勢[2].因此，在犯罪模式研究中時(shí)空演變模式占據(jù)非常重要的地位，對(duì)分析犯罪傳播規(guī)律，快速定位犯罪源頭提供理論性支持.

目前，對(duì)于城市犯罪時(shí)空演變趨勢描述方式以統(tǒng)計(jì)方法為主.如基于標(biāo)準(zhǔn)化犯罪強(qiáng)度指數(shù)的圖形數(shù)據(jù)對(duì)比法[3]，基于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)思想研究在多個(gè)分析尺度下城市各類犯罪事件時(shí)空同現(xiàn)模式[4]，用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的思想引入網(wǎng)絡(luò)平均度，聚集系數(shù)等特征參數(shù)研究城市犯罪的時(shí)空分布特性[5]，用時(shí)間序列方法，結(jié)合地理信息構(gòu)建對(duì)犯罪情報(bào)進(jìn)行分析[6].然而這些研究方法大多從數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)的規(guī)律著手建立模型分析城市犯罪的時(shí)空演變過程，并不能較準(zhǔn)確地刻畫城市犯罪的傳播規(guī)律.為克服上述文獻(xiàn)的不足之處，本文從研究城市犯罪的時(shí)空傳播規(guī)律出發(fā)，建立熱傳導(dǎo)方程刻畫犯罪指數(shù)的演變規(guī)律.犯罪的時(shí)空傳播特點(diǎn)與熱力學(xué)的熱傳導(dǎo)模式有一定相似之處，如可以將犯罪源比作熱源，傳播模式亦從高犯罪指數(shù)區(qū)域向低犯罪指數(shù)區(qū)域傳播.熱傳導(dǎo)方程是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)物理模型，可以用于描述研究區(qū)域內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化狀況，常被借鑒應(yīng)用于描述污染物(包括水污染，空氣污染等)的時(shí)空演變模式以及各類傳染病的時(shí)空傳播模型.三維熱傳導(dǎo)方程可表示為[7-8]

其中u(x，y，z，t)表示位置(x，y，z)處的熱量，f表示熱源，γ表示材料的熱傳導(dǎo)系數(shù).

目前應(yīng)用熱力學(xué)模型研究犯罪時(shí)空演變的文獻(xiàn)幾乎是一片空白.§2結(jié)合犯罪傳播特征，引入城市內(nèi)區(qū)域治安管理能力因子以及犯罪源因子建立城市犯罪指數(shù)的熱傳導(dǎo)方程，并采用差分離散方式構(gòu)建反問題.§3將所建立的方程應(yīng)用于杭州市某區(qū)各街道2018-2020年的犯罪指數(shù)傳播特性分析，定量化估計(jì)各街道的治安管理能力與犯罪源定位.§4總結(jié)本文所作的工作.

§2 犯罪指數(shù)的熱傳導(dǎo)方程和差分離散

城市內(nèi)各區(qū)域犯罪指數(shù)變化受到相鄰區(qū)域犯罪指數(shù)傳播，區(qū)域自身對(duì)犯罪防控，區(qū)域自身犯罪指數(shù)發(fā)展等影響，可設(shè)為

其中h1(x，y，t)表示時(shí)刻t坐標(biāo)為(x，y)區(qū)域犯罪指數(shù)受相鄰區(qū)域犯罪指數(shù)的影響程度，h2(x，y，t)表示時(shí)刻t坐標(biāo)為(x，y)區(qū)域犯罪指數(shù)受自身防控的影響程度，h3(x，y，t)表示時(shí)刻t坐標(biāo)為(x，y)區(qū)域犯罪指數(shù)受自身犯罪指數(shù)發(fā)展的負(fù)面影響程度.假設(shè)犯罪指數(shù)在各方向的傳播方式皆相同，則區(qū)域犯罪指數(shù)受相鄰區(qū)域影響程度的函數(shù)可以表達(dá)為

其中γ為不隨時(shí)間變化的常數(shù)傳播系數(shù)，表征犯罪指數(shù)在相鄰區(qū)域間的傳播速度.考慮到每個(gè)區(qū)域的治安管理能力不同，故對(duì)犯罪指數(shù)的抑制作用也各不相同.當(dāng)研究犯罪指數(shù)受自身防控影響程度時(shí)，可以表達(dá)為

其中系數(shù)g(x，y)表示坐標(biāo)為(x，y)區(qū)域治安管理能力，可假設(shè)g(x，y) 是一個(gè)不隨時(shí)間變化，僅隨空間變化的量.當(dāng)研究區(qū)域犯罪指數(shù)自身發(fā)展影響程度時(shí)，引入αi表示標(biāo)號(hào)為i的犯罪源強(qiáng)度，記為

式中(xi，yi)表示標(biāo)號(hào)為i的犯罪源位置坐標(biāo).假設(shè)在本文研究中，αi為不隨時(shí)間變化，僅隨空間變化的量.因此，將公式(3)-(5)代入公式(2)可得到犯罪指數(shù)的時(shí)空演變模型

此熱傳導(dǎo)方程的初始條件，即初始時(shí)刻各區(qū)域的犯罪指數(shù)分布為

設(shè)?Ω為所討論的城市邊界，邊界條件表達(dá)為

求解如上熱傳導(dǎo)方程獲得模型參數(shù)γ，g(x，y)，αi便可定量估計(jì)各區(qū)域治安管理能力以及判讀是否為犯罪源地區(qū).但解析表達(dá)式的構(gòu)造并非易事，因此這里以有限差分形式構(gòu)建上述方程的反問題.對(duì)城市內(nèi)各區(qū)域進(jìn)行標(biāo)號(hào)i1，2，3，···，n，區(qū)域中心位置為犯罪源的預(yù)選位置即(xi，yi).將時(shí)間維度和空間維度進(jìn)行離散，犯罪指數(shù)隨時(shí)間的離散形式為

這里僅考慮傳統(tǒng)犯罪模式(不考慮新型涉網(wǎng)犯罪)，犯罪指數(shù)傳播模式為犯罪指數(shù)較高區(qū)域傳播至相鄰犯罪指數(shù)較低區(qū)域.定義鄰接矩陣E(eij)n×n以刻畫城市內(nèi)n個(gè)區(qū)域的連通狀況.如果eij1，說明標(biāo)號(hào)為i與標(biāo)號(hào)為j的兩個(gè)區(qū)域相互鄰接，否則，eij0.定義距離矩陣D(dij)n×n以刻畫城市內(nèi)n個(gè)區(qū)域間的相互距離.如果兩個(gè)區(qū)域不相鄰eij0，他們之間的距離定義為無窮大，即dij∞.當(dāng)討論h1(x，y，t)時(shí)，其空間離散形式為

當(dāng)討論h2(x，y，t)時(shí)，其空間離散形式為

當(dāng)討論h3(x，y，t)時(shí)，其空間離散形式為

將公式(9)-(12)代入公式(6)可以得到迭代方程組

初始條件的離散化表達(dá)為

上式中，p(xi，yi)表示初始時(shí)刻標(biāo)號(hào)為i區(qū)域的犯罪指數(shù).與熱傳導(dǎo)方程的邊界條件不同，這里的邊界指犯罪指數(shù)最高的區(qū)域以及犯罪指數(shù)最低的區(qū)域.

具體流程見Algorithm 1.

§3 實(shí)證案例

為了驗(yàn)證上述時(shí)空演變模型的可行性，本文收集杭州市某區(qū)(記為B區(qū))范圍內(nèi)23條街道2018-2020年以月為單位的發(fā)案數(shù)據(jù).

圖1 B區(qū)23條街道2018年數(shù)據(jù)

圖2 B區(qū)23條街道2019年數(shù)據(jù)

圖3 B區(qū)23條街道2020年數(shù)據(jù)

以傳統(tǒng)案件有效報(bào)警數(shù)量衡量犯罪指數(shù)得到數(shù)據(jù)C(cik)23×36，利用本文所建立的時(shí)空演變模型推斷B區(qū)內(nèi)犯罪傳播速率，各街道的治安防控指數(shù)以及鎖定犯罪源.

B區(qū)內(nèi)各街道的連通狀況示意圖如圖4所示，圖中以街道中心位置進(jìn)行表示.從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，標(biāo)號(hào)22街道遠(yuǎn)離其余街道，標(biāo)號(hào)1-21，23號(hào)街道之間距離較為接近.

圖4 B區(qū)標(biāo)號(hào)22街道遠(yuǎn)離其余街道

2018年1月，各街道的犯罪指數(shù)柱狀圖如圖5所示，并以此作為時(shí)空模型的初始條件.從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，標(biāo)號(hào)為1，2，5，12，14-16，19，20街道的犯罪指數(shù)初始條件較高.標(biāo)號(hào)為3，4，6，7，10，13，23街道的犯罪指數(shù)初始條件較低.

圖5 B區(qū)各街道連通狀況示意圖

運(yùn)用梯度速降法求解優(yōu)化模型(16)可得整體正確達(dá)到82%.區(qū)域間傳播系數(shù)γ1.1782×10-5.區(qū)域治安管理能力參數(shù)g如表1與圖6所示.

表1 B區(qū)各街道治安管理指數(shù)

圖6 B區(qū)各街道治安管理指數(shù)

從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，標(biāo)號(hào)3，4街道治安管理指數(shù)很低，是有關(guān)部門需要引起高度重視的區(qū)域.標(biāo)號(hào)6，9-11街道的治安指數(shù)較高.結(jié)合當(dāng)?shù)孛窬慕?jīng)驗(yàn)，近年來全國地方區(qū)域治安總體形勢由接觸性犯罪占主導(dǎo)地位到非接觸性犯罪為主的態(tài)勢轉(zhuǎn)變.B區(qū)作為常住人口120多萬，暫住人口120多萬的行政區(qū)域也具備該特點(diǎn).B區(qū)涵蓋主城區(qū)，城鄉(xiāng)結(jié)合部，農(nóng)村等多種類型，互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)行業(yè)，新興工業(yè)，傳統(tǒng)制造業(yè)，農(nóng)業(yè)等多種經(jīng)濟(jì)形式并存，經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜.標(biāo)號(hào)3和4 兩個(gè)街道由于外來人口較多，就業(yè)人口成分復(fù)雜，犯罪案件發(fā)案量及其比例均較高，展現(xiàn)出治安管理指數(shù)較低的情況.而標(biāo)號(hào)6，9-11街道在犯罪打防控管方面采取了相應(yīng)的工作機(jī)制改革和精準(zhǔn)宣防的防控手段，表現(xiàn)出治安態(tài)勢基本面向好的趨勢.

區(qū)域治安管理能力參數(shù)α如表2與圖7所示.

表2 B區(qū)各街道犯罪源指數(shù)

圖7 B區(qū)各街道治安管理能力參數(shù)

從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，標(biāo)號(hào)1，2，9，14，20街道最有可能成為B區(qū)的犯罪源所在地.標(biāo)號(hào)7，12，13，22，23街道最不可能成為B區(qū)的犯罪源所在地.

§4 總結(jié)與展望

許多研究證實(shí)，犯罪基本空間格局在很大程度上具有相對(duì)穩(wěn)定性[9-10]，這為學(xué)者開展犯罪時(shí)空統(tǒng)計(jì)研究提供了理論依據(jù).由于缺乏對(duì)犯罪傳播機(jī)制的理論性洞察和定量分析，犯罪時(shí)空研究很難支撐犯罪模式發(fā)現(xiàn)和犯罪源頭分析.文章推導(dǎo)城市犯罪指數(shù)在時(shí)間維度，空間維度傳播的熱傳導(dǎo)方程模型，并通過非線性規(guī)劃模型估計(jì)方程參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)城市各區(qū)域治安管理能力的評(píng)價(jià)以及犯罪源的定位.相較于傳統(tǒng)方法，文章所提出的時(shí)空演變模型是從機(jī)理層面對(duì)犯罪傳播模式的深入探索.為驗(yàn)證模型以及算法的可行性與有效性，文章搜集杭州市B區(qū)2018年-2020年的犯罪數(shù)據(jù)，計(jì)算模型參數(shù)對(duì)B區(qū)各街道的治安管理能力進(jìn)行評(píng)價(jià)，并對(duì)犯罪源進(jìn)行定位.結(jié)合當(dāng)?shù)孛窬?jīng)驗(yàn)，文章所得到的結(jié)果與真實(shí)情況高度吻合.因此，可以將該方法推廣至省市級(jí)的犯罪源頭定位，從而實(shí)現(xiàn)警力資源的高效部署.