談?wù)劷獯鸾馕鰩缀螁栴}的三個(gè)辦法

高雙云

解析幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要模塊，解析幾何問題的分值在高考試卷中占比較大.解析幾何問題的常見命題形式有：求曲線的方程、求曲線中線段的最值、求參數(shù)的取值范圍、判斷點(diǎn)的存在性等.解析幾何問題對同學(xué)們的邏輯思維和運(yùn)算能力有較高的要求.下面介紹三個(gè)解答解析幾何問題的技巧，以幫助同學(xué)們簡化問題，提高解題的效率.

一、巧用參數(shù)法

有些解析幾何問題較為復(fù)雜，涉及了較多的變量，為了便于解題，我們可引入合適的參數(shù)，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、方程、曲線的方程等，然后將其代入題設(shè)中進(jìn)行運(yùn)算、推理，再通過恒等變換，消去參數(shù)或求得參數(shù)的值，便可求得問題的答案.

二、妙用射影性質(zhì)

射影性質(zhì)是圖形經(jīng)過任何射影對應(yīng)（變換）都不變的性質(zhì).若遇到涉及多條共線線段或平行線段的解析幾何問題，我們可以巧妙利用射影性質(zhì)來解題.首先根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后在x軸或y軸上畫出各條線段的射影，如此便可將問題中線段的長度、數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為x軸或y軸上的點(diǎn)或線段問題，進(jìn)而簡化運(yùn)算.

解：設(shè)P（x_p，y_p），Q（x，y），R（x_R，y_R）在x軸上的射影分別為P₀，Q₀，R₀，

找到P、Q、R在x軸上的射影，利用射影性質(zhì)得到x·x_p=x_R²，然后通過聯(lián)立方程求得x、x_p、x_R²，建立關(guān)系式，即可通過消元求得點(diǎn)Q的軌跡方程.巧妙利用射影性質(zhì)來解題，能有效簡化運(yùn)算，提升解題的效率.

三、建立極坐標(biāo)系

對于一些與線段長度有關(guān)的問題，我們可以結(jié)合圖形的特征，建立極坐標(biāo)系，通過極坐標(biāo)運(yùn)算來求得問題的答案.一般地，可將直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)看作極坐標(biāo)系的原點(diǎn)，將直角坐標(biāo)系的X軸看作極坐標(biāo)系的極軸，把線段用極坐標(biāo)表示出來，這樣便可將問題簡化.

以例2為例.

解：以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以O(shè)x軸的正半軸為極軸建立如圖2所示的極坐標(biāo)系.

設(shè)P（ρ_P，θ），Q（ρ，θ），R（ρ_R，θ），

可得ρ²（2+sin²θ）=4ρcosθ+6ρsinθ，

而x=ρcosθ，y=ρsinθ，

可得2x²+3y²-4x-6y=0（其中x，y不同為零），

可見，利用參數(shù)法、射影性質(zhì)、極坐標(biāo)系法，都能巧妙地簡化運(yùn)算，提升解題的效率.相比較而言，參數(shù)法的適用范圍較廣，另外兩個(gè)技巧具有一定的限制. 同學(xué)們在解題時(shí)，可根據(jù)解題需求，引入?yún)?shù)、畫出射影、建立極坐標(biāo)系，這樣便可讓解題變得更加高效.A77D8681-2D89-4719-A272-244401F13112