發(fā)現(xiàn)解三角形問題中的代數(shù)特征培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

姚鐘磊 胡 波

(安徽省蚌埠第一中學(xué) 233000)

1 問題提出

在近期的一次解三角形測試中發(fā)現(xiàn)得分率不高，同學(xué)們在熟記正、余弦定理的基礎(chǔ)上，對什么條件下使用掌握得還不太好.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)心學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，還要關(guān)心學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，有過程才能有結(jié)果.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中掌握學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維方式的形成，學(xué)生在此過程中，從發(fā)現(xiàn)代數(shù)特征出發(fā)，親自經(jīng)歷難點(diǎn)突破，歸納其代數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，解決此類問題，并在此過程中，形成數(shù)學(xué)思維方式，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2 例題再現(xiàn)

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等邊三角形 D．鈍角三角形

問題1請考慮用正弦定理還是余弦定理？

化簡，得(a2-b2)c2=(a2-b2)(a2+b2).

故a2-b2=0或c2=a2+b2.

師：回答正確，用余弦定理進(jìn)行化簡，對計(jì)算能力要求比較強(qiáng)高，那么用正弦定理行嗎？

所以sinAcosA=sinBcosB.

即sin2A=sin2B.

又A,B∈(0,π)，所以2A=π-2B.

故△ABC是直角三角形.

問題2 比較兩個(gè)同學(xué)的處理方法，你選擇哪種方法，要是把條件中等式左邊的分母改為sinB，你會選擇哪種方法，為什么？

生3:第二種方法簡單，計(jì)算量小，我愿意用第二種方法，分母轉(zhuǎn)化為邊后有外接圓直徑2R，不能計(jì)算.

評析本題用兩個(gè)定理都能解決，用余弦定理是因?yàn)榈仁阶筮吺呛陀嘞蚁嚓P(guān)的一次式，可以將角余弦值間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系進(jìn)行化簡，但是從過程來看，運(yùn)算復(fù)雜了點(diǎn).能用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)換成角正弦值的關(guān)系，是由等式左邊的代數(shù)特征決定的，其左邊是和邊相關(guān)的一次式之比，可以把外接圓直徑2R都約掉，從運(yùn)算過程看，變成了兩項(xiàng)乘積，項(xiàng)數(shù)少了，未知數(shù)也少了，運(yùn)算簡捷了.

因此，本題雖然兩種方法都能處理，但是遇到問題不能立刻去做，要觀察其代數(shù)結(jié)構(gòu)有什么特征，有無對稱性，未知數(shù)的個(gè)數(shù)如何等.這個(gè)過程就是具體數(shù)學(xué)思維方式的形成過程.

例2在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c且b2+c2=a2+bc.若sinB·sinC=sin2A，則ΔABC的形狀是( ).

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等邊三角形 D．等腰直角三角形

問題1 請同學(xué)們考慮題目中兩個(gè)條件有什么樣的代數(shù)特征，該如何處理呢？

因?yàn)閟inB·sinC=sin2A也是二次齊次式，可用正弦定理，所以bc=a2.后面就不會了.

生2：由b2+c2=a2+bc，得(b-c)2=a2-bc=0，所以b=c，故△ABC的形狀是等邊三角形.故選C.

評析回答正確.在本題給出兩個(gè)式子的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，其未知數(shù)個(gè)數(shù)都是三個(gè)，其實(shí)第二個(gè)式子未知數(shù)只有兩個(gè)，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是π，而且兩個(gè)式子都是二次齊次式，第二個(gè)式子只能用正弦定理轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，這樣其未知數(shù)個(gè)數(shù)也是三個(gè).通過消元的思想，我們知道三變量問題要轉(zhuǎn)化為雙變量問題，所以要和第一個(gè)式子聯(lián)立求解.

A．等邊三角形

B．直角邊不相等的直角三角形

C．等腰直角三角形

D．鈍角三角形

問題1本題條件a，b，c依次成等差數(shù)列有什么代數(shù)特征？

問題2用正弦定理還是余弦定理處理，為什么？

所以a=c.

問題3 有沒有其它做法，正弦定理行嗎？

評析2b=a+c是一次齊次式，正是由于有這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可以用正弦定理轉(zhuǎn)化為角，也可以結(jié)合已知角B，用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.那么對于此類化簡問題主要從兩個(gè)角度考慮:(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系.(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，無論使用哪種方法，都和條件中蘊(yùn)涵的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)，如果條件中有與邊相關(guān)的一次齊次式或者是與角正弦值相關(guān)的一次齊次式，可以考慮用正弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.如果條件具有邊的二次齊次式或角的余弦值，就考慮用余弦定理，實(shí)現(xiàn)邊和角的統(tǒng)一.

圖1

(1)求AB的長；

(2)求sin∠ACD.

問題1請同學(xué)們把已知條件在圖中標(biāo)出來，將線段AB放入哪個(gè)三角形，然后怎么處理？

生1：將線段AB放到ΔABC中，已知兩邊和夾角，所以直接用余弦定理，得

AB2=BC2+AC2-2AC·BCcos∠ACB.

問題2 sin∠ACD放入哪個(gè)三角形中呢，該用正弦定理還是余弦定理？

生2：將其放到△ADC中，因?yàn)锳B=4且AB=4AD，所以AD=1.

評析以平面幾何為載體的問題，一般有以下幾個(gè)方面：一要利用好平面幾何圖形的性質(zhì)；二是出現(xiàn)多個(gè)三角形時(shí)，要從條件較多的三角形突破求解；三是四邊形問題要分割成三角形問題求解；四要善于用三角形的不等關(guān)系，從而確定角或邊的范圍.

3 總結(jié)與反思

一般地，解決數(shù)學(xué)問題離不開轉(zhuǎn)化思想，解三角形也不例外，從觀察方程的代數(shù)特征出發(fā)，將三變量轉(zhuǎn)化為雙變量.對同一數(shù)學(xué)問題觀察的角度不同，解決問題方法不同，若是關(guān)于邊和角余弦的一次齊次式，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理；若是式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用正弦定理，關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角恒等變換方法都適用，化簡時(shí)還要考慮到“統(tǒng)一角的名稱，統(tǒng)一函數(shù)名稱，統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”.所以要用數(shù)學(xué)的思維方式去分析題目條件的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力，形成數(shù)學(xué)的思維方式，落實(shí)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).