高中數(shù)學(xué)解題中不等式的應(yīng)用

徐天保

(安徽師范大學(xué)附屬中學(xué) 241001)

應(yīng)用不等式可解答高中數(shù)學(xué)中的求最值、比較大小、求取值范圍、證明結(jié)論等問題.常用的思路有：運(yùn)用基本不等式、運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性、運(yùn)用放縮法等.授課中除為學(xué)生講解相關(guān)理論，提高其應(yīng)用不等式解題的意識(shí)，還應(yīng)做好相關(guān)的應(yīng)用示范，使其積累相關(guān)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn).

1 用于求最值

高中數(shù)學(xué)習(xí)題中的求最值無外乎求最大值、最小值，尤其遇到求單個(gè)參數(shù)的最值時(shí)通常分離參數(shù)，而后結(jié)合已知條件拼湊出基本不等式的形式，運(yùn)用基本不等式求解.運(yùn)用基本不等式求最值應(yīng)確保其滿足“一正二定三相等”，尤其不能生搬硬套，否則可能得出錯(cuò)誤結(jié)果.

例1已知x，y為正實(shí)數(shù)且滿足關(guān)系式x+y+3=xy，對(duì)任意的x，y均有(x+y)2-a(x+y)+6≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為____.

該題不滿足運(yùn)用基本不等式的條件，此時(shí)需要運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行突破.

解析因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足關(guān)系式

即(x+y)2-4(x+y)-12≥0.

解得x+y≥6或x+y≤-2(舍去).

又因?yàn)?x+y)2-a(x+y)+6≥0恒成立，

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，其在[6，+∞)上單調(diào)遞增，則f(t)min=7.

因此，a的最大值為7.

2 用于比較大小

運(yùn)用不等式比較大小主要有兩種思路：思路1，借助所學(xué)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較.思路2,構(gòu)造出新的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其在對(duì)應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，而后比較大小.其中思路2難度較大，教學(xué)中應(yīng)注重為學(xué)生展示經(jīng)典的例題，使其掌握相關(guān)的解題技巧.

例2設(shè)a=3π，b=π3，c=33，則a，b，c的大小關(guān)系為( ).

A.b>a>cB.c>a>b

C.a>b>cD.b>c>a

觀察可知a和c，b和c可直接運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較.而比較a，b的大小，則需要構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析.

解析因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x3在(0，+∞)上單調(diào)遞增，而π>3，所以b>c.

又因?yàn)閥=3x在R上單調(diào)遞增，π>3，

所以a>c.

因?yàn)閍=3π，b=π3，等式兩邊均取對(duì)數(shù)得到lna=πl(wèi)n3，lnb=3lnπ.

則當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減.

即πl(wèi)n3>3lnπ，lna>lnb.

即a>b，所以a>b>c，故選C.

3 用于求取值范圍

求解參數(shù)取值范圍是高中數(shù)學(xué)中的重要題型.相關(guān)的習(xí)題情境復(fù)雜多變，解題思路靈活多樣，其中從不等式視角切入有時(shí)會(huì)取得意想不到的效果，因此，高中數(shù)學(xué)授課中應(yīng)做好該類題型的歸類，與學(xué)生一起總結(jié)相關(guān)的解題思路.

該題具有一定的技巧性，需要運(yùn)用不等式知識(shí)構(gòu)建新的不等關(guān)系，而后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求出其最值.

即1

4 用于證明結(jié)論

高中數(shù)學(xué)證明類的習(xí)題一般具有較大的難度，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.其中證明不等關(guān)系時(shí)需要結(jié)合所學(xué)的不等式知識(shí)進(jìn)行針對(duì)性的放縮.

該習(xí)題以數(shù)列為背景考查了構(gòu)造法、錯(cuò)位相減法、放縮法等知識(shí)，難度較大，尤其放縮時(shí)應(yīng)結(jié)合證明的結(jié)論，把握放縮的度.

解析因?yàn)閍n+1=2an+2，

所以an+1+2=2(an+2).

而a1+2=5,所以{an+2}是以5為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.

①

②

5 用于解答新情境問題

新情境問題在高中數(shù)學(xué)測(cè)試以及高考中多有出現(xiàn)，能很好地考查學(xué)生遷移所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.解答該類問題的關(guān)鍵在于對(duì)要求解的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化陌生為熟悉，尤其能夠根據(jù)題干描述構(gòu)建新的不等關(guān)系，運(yùn)用不等式以及函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行突破.

例5 若兩個(gè)函數(shù)y=f(x)和y=g(x)對(duì)任意的x∈[a，b]都有|f(x)-g(x)|>2，則稱函數(shù)在[a，b]上是疏遠(yuǎn)的.

(1)已知命題“函數(shù)f(x)=x2+2x-1和g(x)=x-2在[0，1]上是疏遠(yuǎn)的”，試判斷該命題真假，若為真命題請(qǐng)予以證明，若為假命題請(qǐng)舉出反例；

(2)若函數(shù)f(x)=x2+2x-1和g(x)=x-2在[a，a+1]上是疏遠(yuǎn)的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

該習(xí)題創(chuàng)設(shè)的情境較為新穎，解題的關(guān)鍵在于吃透題意，并根據(jù)給出的新定義將問題轉(zhuǎn)化為在特定區(qū)間求不等式的問題.

解析對(duì)于問題(1)根據(jù)給出的新定義，可知要想滿足題意，則|f(x)-g(x)|>2在[0，1]上恒成立.即|x2+x+1|>2在[0，1]上恒成立.

問題(2)將問題轉(zhuǎn)化為|x2+x+1|>2在[a，a+1]上恒成立，因?yàn)閥=x2+x+1，Δ<0，所以問題轉(zhuǎn)化為x2+x-1>0在[a，a+1]上恒成立.

問題(3)問題轉(zhuǎn)化為|F(x)-G(x)|>2在[1，2]上恒成立，整理得到

即cx+c-x>4.

6 用于解決實(shí)際問題

不等式在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用不等式解答實(shí)際問題時(shí)應(yīng)注重充分吃透題意，通過認(rèn)真審題把握相關(guān)參數(shù)之間的邏輯關(guān)系，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系.

(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？

(2)是否存在實(shí)數(shù)m，同時(shí)滿足：技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在求出m的值，若不存在，說明理由.

該題來源于生活.要想正確作答需要認(rèn)真審題，從題干中抽象出相關(guān)參數(shù)的不等關(guān)系，運(yùn)用不等式性質(zhì)進(jìn)行求解.

解析(1)根據(jù)題意可知，調(diào)整后研發(fā)人員有(100-x)人，年人均投入[1+(4x)%)]a.

由題意可知(100-x)[1+(4x)%)]a≥100a，解得0≤x≤75.

又因?yàn)?5≤x≤75，所以調(diào)整后的技術(shù)人員最多有75人.

綜上可得存在這樣的m滿足題意，此時(shí)m=7.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中為使學(xué)生認(rèn)識(shí)到不等式的重要作用，掌握運(yùn)用不等式解答相關(guān)習(xí)題的思路與技巧，應(yīng)注重與學(xué)生一起推導(dǎo)不等式的相關(guān)性質(zhì)與結(jié)論.同時(shí)，優(yōu)選經(jīng)典習(xí)題，在課堂上為學(xué)生展示具體的解題過程，并鼓勵(lì)學(xué)生做好聽課的總結(jié)，更好地加深印象，牢固地掌握所學(xué).