一個與Wallis不等式有關(guān)的單調(diào)增加數(shù)列

楊天虎

(酒泉職業(yè)技術(shù)學(xué)院新能源工程系，甘肅酒泉735000)

1 引 言

2 預(yù)備知識

2.1 基本公式[4]

(1)

(2)

當(dāng)n≥2時，由(1)和(2)式得

(3)

2.2 引理

設(shè)有函數(shù)

f(x)

(4)

則當(dāng)x>2時，f(x)∈(1，+∞)為嚴(yán)格單調(diào)減少函數(shù).

3 證明定理

3.1 數(shù)列{pn}的極限

由(1)和(2)式得

(5)

代入(5)式得

即

同理可得

所以

由此可得

(6)

3.2 數(shù)列{pn}的單調(diào)性

因

(n-1)2(256n4+64n3+848n2+200n+105)[256(n-2)4-64(n-2)3+848(n-2)2-200(n-2)+105]

=65536n10-655360n9+3084288n8-8945664n7+18165504n6-27793920n5+30402272n4-19415936n3

+5603265n2-1403010n+893025.

n(n-2)(256n4-64n3+848n2-200n+105)[256(n-2)4+64(n-2)3+848(n-2)2+200(n-2)+105]

=65536n10-655360n9+3084288n8-8945664n7+18165504n6-27793920n5+30402272n4-19415936n3

+5603265n2-1403010n.

所以

其中n≥3，由(4)式得

(7)

所以，{Jn}為嚴(yán)格單調(diào)減少數(shù)列.

由(6)式得

p2n-1

(8)

所以，{Kn}也為嚴(yán)格單調(diào)減少數(shù)列.

p2n

(9)

由(8)和(9)式得

p2n-1

(10)

3.3 改進(jìn)的雙邊不等式

由定理的結(jié)論(i)，可得

則

(11)

同時

(12)

則

(13)

由(11)和(13)式得

(14)

定理的結(jié)論(ii)得證，定理證畢.

4 誤差分析與計(jì)算

設(shè)

因

UnSn=(256n4-64n3+848n2-200n+105)(n+1)(256n4+960n3+2192n2+2328n+945)

=65536n9+294912n8+946176n7+1935360n6+3005184n5+3362688n4+2141984n3

+621360n2+154665n+99225，

VnRn=n(256n4+64n3+848n2+200n+105)(256n4+1088n3+2576n2+3112n+1473)

=65536n9+294912n8+946176n7+1935360n6+3005184n5+3362688n4+2141984n3

+621360n2+154665n.

所以，(14)式的估值誤差為

(15)

文獻(xiàn)[1]給出的不等式為

(16)

文獻(xiàn)[2]給出的不等式為

(17)

文獻(xiàn)[3]給出的不等式為

(18)

比較(16)和(18)式，可得

可以看出，(18)式優(yōu)于(16)式.

比較(14)和(17)式，可得

可以看出，(14)式優(yōu)于(17)式.

從估值誤差上看，顯然(14)式均優(yōu)于(16)-(18)式.

5 Wallis不等式

由(1)和(14)式得

(19)

顯然，(19)式優(yōu)于由(1)式與(16)-(18)式得出的Wallis不等式，同時也優(yōu)于文獻(xiàn)[5-7]給出的Wallis不等式，具體分析討論見文獻(xiàn)[3]，這里不再贅述.

由(2)和(14)式得

(20)

6 結(jié) 論

注 在Mathematica軟件下計(jì)算的部分結(jié)果

In[1]∶=Expand[(x-1)2(256x4+64x3+848x2+200x+105)(256(x-2)4-64(x-2)3

+848(x-2)2-200(x-2)+105)]

Out[1]=893025-1403010x+5603265x2-19415936x3+30402272x4-27793920x5+18165504x6

-8945664x7+3084288x8-655360x9+65536x10

In[2]∶=Expand[x*(x-2)(256x4-64x3+848x2-200x+105)(256(x-2)4+64(x-2)3

+848(x-2)2+200(x-2)+105)]

Out[2]=-1403010x+5603265x2-19415936x3+30402272x4-27793920x5+18165504x6

-8945664x7+3084288x8-655360x9+65536x10

In[3]∶=Expand[256(x+1)4+64(x+1)3+848(x+1)2+200(x+1)+105]

Out[3]=1473+3112x+2576x2+1088x3+256x4

In[4]∶=Expand[256(x+1)4-64(x+1)3+848(x+1)2-200(x+1)+105]

Out[4]=945+2328x+2192x2+960x3+256x4

In[5]∶=Expand[(256x4-64x3+848x2-200x+105)(x+1)(256x4+960x3+2192x2+2328x+945)]

Out[5]=99225+154665x+621360x2+2141984x3+3362688x4+3005184x5+1935360x6

+946176x7+294912x8+65536x9

In[6]∶=Expand[x*(256x4+64x3+848x2+200x+105)(256x4+1088x3+2576x2+3112x+1473)]

Out[6]=154665x+621360x2+2141984x3+3362688x4+3005184x5+1935360x6

+946176x7+294912x8+65536x9

In[11]∶=Expand[256(2x)4-64(2x)3+848(2x)2-200(2x)+105]

Out[11]=105-400x+3392x2-512x3+4096x4

In[12]∶=Expand[256(2x)4+64(2x)3+848(2x)2+200(2x)+105]

Out[12]=105+400x+3392x2+512x3+4096x4

In[13]∶=Expand[256(2x)4+1088(2x)3+2576(2x)2+3112(2x)+1473]

Out[13]=1473+6224x+10304x2+8704x3+4096x4

In[14]∶=Expand[256(2x)4+960(2x)3+2192(2x)2+2328(2x)+945]

Out[14]=945+4656x+8768x2+7680x3+4096x4

In[15]∶=Expand[256(2x+1)4-64(2x+1)3+848(2x+1)2-200(2x+1)+105]

Out[15]=945+4656x+8768x2+7680x3+4096x4

In[16]∶=Expand[256(2x+1)4+64(2x+1)3+848(2x+1)2+200(2x+1)+105]

Out[16]=1473+6224x+10304x2+8704x3+4096x4

In[17]∶=Expand[256(2x+1)4+1088(2x+1)3+2576(2x+1)2+3112(2x+1)+1473]

Out[17]=8505+25104x+29504x2+16896x3+4096x4

In[18]∶=Expand[256(2x+1)4+960(2x+1)3+2192(2x+1)2+2328(2x+1)+945]

Out[18]=6681+21232x+26432x2+15872x3+4096x4

致謝在此感謝審稿老師給本文的寶貴意見.