雙驅(qū)動(dòng)補(bǔ)償壓彎的橢圓鏡有限元分析

馬天宇 盧啟鵬 王大壯 彭忠琦 龔學(xué)鵬 宋源

雙驅(qū)動(dòng)補(bǔ)償壓彎的橢圓鏡有限元分析

馬天宇1,2盧啟鵬1王大壯1彭忠琦1龔學(xué)鵬1宋源1

1（中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所應(yīng)用光學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 長(zhǎng)春 130033）2（中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

為滿足同步輻射光束線對(duì)相關(guān)光學(xué)元件的技術(shù)需求，設(shè)計(jì)了雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)滾柱壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)。通過(guò)有限元仿真分析實(shí)現(xiàn)高精度大尺寸光學(xué)鏡面的非等力矩橢圓柱面壓彎。以外形尺寸為1 200 mm×70 mm×50 mm的反射鏡為研究對(duì)象，基于物距26.5 m、像距13 m及掠入射角2.8 mrad，根據(jù)理論橢圓面形方程與梁變形彎矩方程計(jì)算出施加在壓彎鏡兩端的不等力矩。利用有限元軟件對(duì)雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真分析，在重力補(bǔ)償力矩存在情況下，分別對(duì)聚焦鏡進(jìn)行單點(diǎn)補(bǔ)償、雙點(diǎn)補(bǔ)償、三點(diǎn)補(bǔ)償以及四點(diǎn)補(bǔ)償?shù)挠邢拊治?，得到與理論計(jì)算相對(duì)應(yīng)的仿真補(bǔ)償面形結(jié)果。模擬施加兩端的不等力矩將面形誤差從單點(diǎn)補(bǔ)償時(shí)的0.81 μrad降低到四點(diǎn)補(bǔ)償下的0.075 μrad，對(duì)應(yīng)理論面形誤差0.013 μrad，最大程度可以降低原誤差的95.96%，證實(shí)四點(diǎn)式雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)通過(guò)多點(diǎn)補(bǔ)償可以對(duì)橢圓壓彎面形誤差產(chǎn)生有效減小的趨勢(shì)，且減小趨勢(shì)不斷平緩。證明該機(jī)構(gòu)在多點(diǎn)補(bǔ)償下對(duì)大尺寸橢圓鏡壓彎精度的提高具有可行性和有效性，對(duì)同步輻射光束線壓彎技術(shù)有重要的理論指導(dǎo)作用與意義。

壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)，橢圓柱面，有限元分析，面形誤差，同步輻射

同步輻射光源是涉及眾多研究領(lǐng)域的綜合性科學(xué)裝置。同步輻射光由儲(chǔ)存環(huán)發(fā)出，經(jīng)過(guò)光束線的聚焦、準(zhǔn)直、偏轉(zhuǎn)、分光等一系列處理形成特定光束服務(wù)于相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)站［1］。作為一種亮度高、能量強(qiáng)、時(shí)間脈沖好的潔凈光源，同步輻射在眾多高精尖學(xué)科領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，取得了令人矚目的創(chuàng)新性科研成果。

在同步輻射光束線上，聚焦反射鏡的應(yīng)用場(chǎng)合居多，由于掠入射角的減小，只能通過(guò)增大聚焦反射鏡的自身長(zhǎng)度滿足光束線的技術(shù)需求。伴隨著光學(xué)元件尺寸的增加，針對(duì)各種面形的大尺寸光學(xué)元件加工難度不斷增大，無(wú)法保證足夠的面形精度。因此，利用壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)將平面鏡或柱面鏡壓彎成光束線所需形狀的反射鏡，成為現(xiàn)階段同步輻射光束線領(lǐng)域的重要技術(shù)手段與研究?jī)?nèi)容。壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)可以分為壓電壓彎、仿形壓彎與機(jī)械壓彎［2］。以機(jī)械壓彎為主，采用三點(diǎn)壓彎、四點(diǎn)壓彎、雙臂壓彎以及柔性鉸鏈壓彎等方式［3］，壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)易加工、可裝調(diào)，通過(guò)調(diào)節(jié)光學(xué)元件的曲率半徑來(lái)滿足光束線對(duì)光學(xué)元件的面形需求。

相較于圓柱面鏡，非圓柱面的曲率半徑是連續(xù)變化的，其中的橢圓柱面鏡可以通過(guò)單點(diǎn)對(duì)單點(diǎn)的聚焦提升反射鏡的聚焦能力。與此同時(shí)，通過(guò)調(diào)節(jié)橢圓面形的壓彎程度來(lái)滿足變化的物距、像距以及掠入射角，從而實(shí)現(xiàn)調(diào)焦的能力。在大尺寸光學(xué)元件對(duì)應(yīng)的壓彎?rùn)E圓柱面鏡中，壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)可以有效減小掠入射角的指標(biāo)，在一定程度上減小聚焦反射鏡對(duì)入射同步輻射光的損耗，增加像中心光子通量密度，進(jìn)一步提升了同步輻射光的應(yīng)用指標(biāo)。

目前有兩種方式可以將聚焦反射鏡壓彎成橢圓柱面鏡，一種是變截面寬度鏡子等力矩壓彎［4?5］，另一種是等截面寬度鏡子非等力矩壓彎。變截面寬度的鏡子在長(zhǎng)度方向上的寬度值是連續(xù)變化的。對(duì)于面形精度的需要使其加工難度較大，制造成本較高，而且在調(diào)整鏡面壓彎曲率半徑時(shí)不能滿足可能需要變化的橢圓面形參數(shù)，降低了該壓彎方式的實(shí)際應(yīng)用效果?；诘葘挾确堑攘貕簭濈R則是利用機(jī)械壓彎結(jié)構(gòu)在鏡子兩端施加不等力矩即可得到原理誤差很小的橢圓面形。聚焦鏡重力載荷對(duì)壓彎面形精度產(chǎn)生很大影響，目前通過(guò)補(bǔ)償裝置能夠降低面形誤差，通過(guò)結(jié)合多點(diǎn)驅(qū)動(dòng)補(bǔ)償與力矩補(bǔ)償?shù)姆绞綔p輕重力面形影響，得到多點(diǎn)補(bǔ)償下的橢圓壓彎面形結(jié)果，進(jìn)而探究滿足工程指標(biāo)需求的高精度橢圓鏡面形。英國(guó)鉆石光源（Diamond Light Source）通過(guò)雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)將變截面鏡壓彎成面形誤差為0.2 μrad的橢圓柱面鏡［6］；同樣，法國(guó)SOLEIL同步輻射光源通過(guò)柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)將1.1 m的變截面鏡壓彎成橢圓柱面鏡，其面形誤差為0.28 μrad［7］。在國(guó)內(nèi)，上海光源對(duì)同步輻射壓彎技術(shù)有深入研究，通過(guò)千斤頂式壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)對(duì)1 m的平面鏡進(jìn)行壓彎，獲得面形誤差為0.8 μrad的圓柱面形；通過(guò)拉桿式壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)將1 m長(zhǎng)的等寬度聚焦鏡壓彎成橢圓柱面鏡，面形誤差為0.5 μrad［7］。本文在單桿驅(qū)動(dòng)等力矩壓彎的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出一種雙桿驅(qū)動(dòng)非等力矩的四點(diǎn)滾柱壓彎結(jié)構(gòu)裝置，該結(jié)構(gòu)通過(guò)固定擋板隔離兩端驅(qū)動(dòng)裝置，憑借步進(jìn)電機(jī)獨(dú)立調(diào)控驅(qū)動(dòng)位移。該結(jié)構(gòu)與壓彎鏡的夾持方式采用線面接觸，相較于U形壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)，在驅(qū)動(dòng)過(guò)程中降低了自身對(duì)鏡子端部的夾持影響，從而保證在調(diào)節(jié)壓彎鏡力矩時(shí)可以得到高精度的橢圓面形。

該結(jié)構(gòu)壓彎變形的整體優(yōu)勢(shì)包括：裝調(diào)方便，兩端通過(guò)內(nèi)部滾珠絲杠獨(dú)立輸出驅(qū)動(dòng)位移，可精準(zhǔn)調(diào)控壓彎力矩；通過(guò)壓輥，固定輥與光學(xué)元件進(jìn)行四點(diǎn)接觸，使光學(xué)元件在壓彎變形方向上不受機(jī)構(gòu)自身重力影響；同時(shí)，在其他方向上通過(guò)點(diǎn)面接觸限制其自由度，在很大程度上降低了夾持力對(duì)壓彎面形的影響。該壓彎鏡機(jī)構(gòu)可有效彌補(bǔ)其他機(jī)構(gòu)對(duì)等截面橢圓柱面鏡的壓彎缺陷，提高壓彎面形精度。

本文應(yīng)用雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)滾柱壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)對(duì)1.2 m等截面寬度鏡子進(jìn)行壓彎，通過(guò)非等力矩輸出獲得橢圓面形壓彎。將梁的非等力矩壓彎公式與橢圓斜率方程結(jié)合得到對(duì)應(yīng)的壓彎力矩；通過(guò)有限元分析對(duì)四點(diǎn)雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)和壓彎鏡進(jìn)行靜力學(xué)仿真，在重力影響下通過(guò)力矩補(bǔ)償與補(bǔ)償機(jī)構(gòu)相結(jié)合的方式分別進(jìn)行無(wú)補(bǔ)償壓彎、單點(diǎn)補(bǔ)償壓彎、雙點(diǎn)補(bǔ)償壓彎，三點(diǎn)補(bǔ)償壓彎以及四點(diǎn)補(bǔ)償壓彎；對(duì)多點(diǎn)重力補(bǔ)償?shù)臋E圓鏡壓彎面形進(jìn)行有限元分析，得到對(duì)應(yīng)的仿真施加力矩以及橢圓面形誤差。

1 橢圓柱面鏡壓彎理論分析

1.1　壓彎原理

如圖1所示，以鏡子中心作為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，通過(guò)施加在鏡子兩端的非對(duì)稱力矩1、2將其壓彎成橢圓柱面鏡，1和2為橢圓壓彎鏡的曲率半徑。根據(jù)工程力學(xué)中梁變形的計(jì)算公式求取對(duì)應(yīng)鏡子的壓彎力矩如下：

式中：為鏡子的彈性模量；是鏡子截面對(duì)中心的慣性矩；（）為鏡子彎曲之后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的曲率半徑。將（）近似為″（）的倒數(shù)代入式（1）中，可以得到式（2），對(duì)式（2）積分可得變形曲線斜率方程的二階公式［7?8］，即為式（3）：

1.2　橢圓柱面鏡理論面形計(jì)算

橢圓鏡聚焦光路如圖2所示。由圖2中幾何關(guān)系可得出橢圓面形關(guān)于、以及的表達(dá)式，（1）與（2）為橢圓焦點(diǎn)。在圖2坐標(biāo)系下橢圓長(zhǎng)短軸、可以具體表達(dá)為：

將式（4）和（5）代入橢圓斜率方程中，可以得出具體參數(shù)表達(dá)的斜率方程，如式（6）：

在束線光學(xué)中，鏡面的斜率誤差一般作為衡量面形誤差的指標(biāo)。通過(guò)計(jì)算壓彎鏡面形上各點(diǎn)斜率和理論面形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的斜率做差值得出斜率殘差，以斜率殘差的均方根值作為評(píng)價(jià)壓彎鏡面形誤差的指標(biāo)［9］。計(jì)算公式如下：

表1 聚焦反射鏡技術(shù)指標(biāo)

1.3　雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)

壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)在光束線中是實(shí)現(xiàn)光學(xué)元件壓彎成形的核心部分，整體機(jī)構(gòu)性能也是評(píng)價(jià)壓彎鏡面形的重要參考指標(biāo)［10］。目前壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)的種類有很多，以機(jī)械壓彎為主大致分為四點(diǎn)壓彎和柔性鉸鏈壓彎［11］。本文是以千斤頂式的雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，實(shí)現(xiàn)橢圓柱面鏡的壓彎。四點(diǎn)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)通過(guò)上下滾柱的相對(duì)位置對(duì)鏡子產(chǎn)生壓彎力矩，穩(wěn)定性較強(qiáng)，而且對(duì)鏡子兩端夾持力小，壓彎面形的精度較高。四點(diǎn)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)在機(jī)械壓彎中實(shí)用性很強(qiáng)，被廣泛應(yīng)用于同步輻射光束線中。圖3為雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)具體的三維模型圖。圖4為壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)的側(cè)視圖，其中，A為固定輥，主要起支撐作用；B為壓輥，主要對(duì)鏡子進(jìn)行壓彎；C為固定元件，限制鏡子在壓彎過(guò)程中的自由度；D為限位元件，對(duì)鏡子起到固定作用。

該雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)滾柱壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)以四點(diǎn)壓彎為設(shè)計(jì)依據(jù)，利用壓輥與鏡子的線面接觸，既保證穩(wěn)定性的同時(shí)又避免夾持力對(duì)鏡子的影響，提高了整體壓彎面形精度。其工作原理是通過(guò)電機(jī)驅(qū)動(dòng)兩側(cè)驅(qū)動(dòng)桿，使驅(qū)動(dòng)力作用在與搖臂連接的動(dòng)力軸上。隨著搖臂相對(duì)于底座發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)使壓輥與鏡子工作面發(fā)生接觸，由于固定輥的支撐使鏡子兩端產(chǎn)生壓彎力矩。其中固定輥與底座和壓輥與搖臂均通過(guò)軸承連接，固定輥、壓輥與鏡面發(fā)生滾動(dòng)接觸防止摩擦力過(guò)大。通過(guò)中間擋板分離兩個(gè)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，獨(dú)立控制兩個(gè)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)輸出不同的力，從而產(chǎn)生非等力矩，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)大尺寸橢圓柱面鏡的壓彎成形。

圖3　雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)三維模型圖

圖4　壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)側(cè)視圖

2 橢圓柱面鏡壓彎有限元分析

2.1　有限元設(shè)計(jì)

有限元分析的過(guò)程包括通過(guò)對(duì)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)以及壓彎鏡進(jìn)行簡(jiǎn)易模型建立；對(duì)模型的材料參數(shù)進(jìn)行設(shè)定；進(jìn)行適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格劃分，施加相應(yīng)的載荷和約束，從而得到鏡子模擬的變形結(jié)果［12］；最后計(jì)算出鏡面的均方根斜率誤差，驗(yàn)證之前的理論計(jì)算和分析。有限元相關(guān)應(yīng)用場(chǎng)景有很多，主要針對(duì)靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)以及電磁場(chǎng)等物理方面的場(chǎng)景研究。本文主要應(yīng)用靜力學(xué)有限元分析。

鏡子選用材料硅，動(dòng)力軸選用軸承鋼，其他部件選用不銹鋼，不同材料屬性如表2所示。分別添加模型材料后，對(duì)鏡子以及接觸的壓輥和固定輥進(jìn)行適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格劃分，考慮到精度需求以及時(shí)間成本選取5 mm的六面體網(wǎng)格對(duì)模型細(xì)化。

對(duì)模型進(jìn)行邊界條件設(shè)置，動(dòng)力軸與搖臂之間采用粘合接觸（Bonded），其他接觸面均采用摩擦接觸（Frictional）。在最大可能模擬實(shí)際場(chǎng)景的前提下，同時(shí)也要保證仿真結(jié)構(gòu)的結(jié)果收斂，對(duì)不同接觸面的摩擦系數(shù)需要進(jìn)行適當(dāng)改變［13］。其中搖臂與底座的軸孔接觸面考慮到真實(shí)場(chǎng)景是軸承接觸，轉(zhuǎn)動(dòng)的摩擦力非常小，所以將此處的摩擦系數(shù)設(shè)置為0.01。壓輥、固定輥與鏡子的接觸面是仿真的核心接觸面，通過(guò)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，摩擦系數(shù)設(shè)置為0.15為最優(yōu)。其次為保證輥?zhàn)釉阽R面上發(fā)生滾動(dòng)時(shí)摩擦力較小，且考慮整體模型的非線性，包括固定輥、壓輥與底座，搖臂軸孔接觸面摩擦系數(shù)也選取0.15。除此之外，還要針對(duì)輥?zhàn)拥慕Y(jié)構(gòu)特征適當(dāng)添加轉(zhuǎn)動(dòng)副，對(duì)從動(dòng)件的固定輥轉(zhuǎn)動(dòng)面設(shè)為自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)副，對(duì)主動(dòng)件的壓輥和搖臂轉(zhuǎn)動(dòng)面設(shè)置為作用面對(duì)目標(biāo)面的轉(zhuǎn)動(dòng)副。最后對(duì)兩端底座設(shè)置固定約束，除壓彎變形方向外限制其他自由度。對(duì)模型施加不等力矩開始調(diào)試仿真，仿真結(jié)果選擇中心曲線獲取擬合［14］。

表2 模型材料屬性

雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)經(jīng)驅(qū)動(dòng)壓彎后得到整體的變形云圖如圖5所示，隨著對(duì)兩端動(dòng)力軸分別輸入非等驅(qū)動(dòng)力1、2，搖臂發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，與搖臂垂直方向產(chǎn)生實(shí)際壓彎力1、f，實(shí)際壓彎力與搖臂的乘積就是輸出力矩。通過(guò)擬合得到理想狀態(tài)下的壓彎力矩分別為20.11 N·m，21.60 N·m，與理論計(jì)算力矩19.09 N·m，20.49 N·m對(duì)比大小較為吻合。圖6為壓彎鏡仿真變形云圖。圖5、圖6均對(duì)應(yīng)的是無(wú)重力存在時(shí)理想狀態(tài)下的橢圓面形仿真。

圖5　壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)仿真變形圖

圖6　壓彎鏡仿真變形圖

2.2　多點(diǎn)重力補(bǔ)償仿真調(diào)試

同步輻射光束線應(yīng)用的大尺寸橢圓聚焦反射鏡是處于鏡箱封閉的真空環(huán)境當(dāng)中，受重力影響，壓彎鏡面形精度下降很多［15］。通過(guò)補(bǔ)償裝置建立壓彎鏡的補(bǔ)償點(diǎn)可以有效降低受重力影響的面形誤差。當(dāng)點(diǎn)數(shù)越多，面形誤差在原理上下降的趨勢(shì)越明顯，通過(guò)鏡子兩端補(bǔ)償力矩可以在補(bǔ)償面形的基礎(chǔ)之上再次降低面形誤差［16］，得到相對(duì)更加接近平面的補(bǔ)償面形。在這種狀態(tài)下再通過(guò)增大兩端力矩，實(shí)現(xiàn)非等力矩橢圓壓彎。此時(shí)影響面形誤差的因素可以歸納為三個(gè)，分別為原理誤差、雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)的系統(tǒng)誤差以及重力補(bǔ)償?shù)臍堄嗾`差。除了原理誤差沒(méi)有改變，通過(guò)夾持力影響較小的雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)和補(bǔ)償點(diǎn)結(jié)合補(bǔ)償力矩的方式共同降低重力影響的面形誤差，在整體上可以降低橢圓鏡的壓彎面形誤差，提高面形聚焦精度。圖7為鏡子自身重力變形仿真結(jié)果，經(jīng)計(jì)算為16.12 μrad。

圖7　鏡子重力變形仿真

設(shè)置多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)構(gòu)方式，在原理上可以有效減小重力對(duì)鏡子面形影響，對(duì)應(yīng)最優(yōu)的面形補(bǔ)償結(jié)果可以計(jì)算出最佳補(bǔ)償點(diǎn)的位置和最佳補(bǔ)償力的大小。根據(jù)壓彎鏡的尺寸計(jì)算相應(yīng)理論的多點(diǎn)補(bǔ)償面形誤差，參數(shù)代入有限元分析。如圖8（a）所示，1、2分別為有效壓彎力，此時(shí)保持相等以施加等力矩。單點(diǎn)補(bǔ)償時(shí)，Support 1大小為47.462 N，補(bǔ)償力矩為2.647 N·m，面形誤差為0.822 μrad；雙點(diǎn)補(bǔ)償時(shí)如圖8（b）所示，1為0.371 m，Support 1和Support 2大小均為29.634 N，補(bǔ)償力矩為1.611 N·m，對(duì)應(yīng)的面形誤差為0.224 μrad；三點(diǎn)補(bǔ)償時(shí)如圖8（c）所示，Support 1大小為22.729 N，1為0.569 m，Support 2和Support 3大小均為22.537 N，補(bǔ)償力矩為1.036 N·m，面形誤差為0.098 μrad；四點(diǎn)補(bǔ)償時(shí)如圖8（d）所示，1為0.233 m，Support 1和Support 2大小均為18.509 N，2為0.689 m，Support 3和Support 4大小均為18.317 N，補(bǔ)償力矩為0.575 N·m，面形誤差為0.06 μrad。整個(gè)多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)拿嫘握`差對(duì)比如圖9所示，可以得出仿真結(jié)果的面形誤差隨著多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)南鄳?yīng)點(diǎn)數(shù)增加產(chǎn)生減小趨勢(shì)［17］。如圖10所示，左側(cè)為在補(bǔ)償力矩存在情況下隨著補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)增加，理論計(jì)算面形誤差的變化趨勢(shì)，右側(cè)為相對(duì)應(yīng)的仿真計(jì)算面形誤差變化趨勢(shì)，二者趨勢(shì)相近。單點(diǎn)補(bǔ)償誤差可以達(dá)到未補(bǔ)償時(shí)的94.9%，隨著點(diǎn)數(shù)的增加，效果不斷優(yōu)化，可以得出多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)男Ч鞘置黠@的。

圖8　多點(diǎn)重力補(bǔ)償?shù)膲簭澰韴D

(a) 單點(diǎn)補(bǔ)償壓彎原理，(b) 雙點(diǎn)補(bǔ)償壓彎原理，(c) 三點(diǎn)補(bǔ)償壓彎原理，(d) 四點(diǎn)補(bǔ)償壓彎原理

Fig.8Schematic diagram of multipoint bending with gravity compensation

(a) Principle of single-point compensation bending, (b) Principle of two-point compensation bending, (c) Three-point compensation bending principle, (d) Four-point compensation bending principle

圖9　多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)男甭收`差對(duì)比

圖10　重力補(bǔ)償面形誤差隨補(bǔ)償點(diǎn)變化趨勢(shì)

2.3　多點(diǎn)補(bǔ)償壓彎調(diào)試

當(dāng)橢圓壓彎反射鏡面朝向方向與重力方向相同時(shí)，通過(guò)施加的力矩可以抵消部分重力影響，減小補(bǔ)償裝置對(duì)鏡子產(chǎn)生的額外補(bǔ)償力，在一定程度上降低鏡子的使用風(fēng)險(xiǎn)。圖8中為鏡子重力載荷79.919 N·m-1，為鏡子長(zhǎng)度1.2 m，為上下輥產(chǎn)生壓彎力矩的有效距離。

如圖11（a）所示，假設(shè)在無(wú)重力影響的理想狀態(tài)下，對(duì)機(jī)構(gòu)兩端施加驅(qū)動(dòng)得到壓彎鏡模擬面形，經(jīng)計(jì)算此時(shí)的面形誤差為0.058 μrad，該面形誤差主要由理論物像距以及掠入射角參數(shù)來(lái)決定，其次由壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)的系統(tǒng)誤差來(lái)決定。該面形誤差與理論計(jì)算面形誤差0.013 μrad相差不大，可以認(rèn)定雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)機(jī)構(gòu)對(duì)橢圓壓彎面形效果較好。其次，當(dāng)重力影響存在時(shí)，在無(wú)重力補(bǔ)償裝置的前提下，僅通過(guò)力矩補(bǔ)償聚焦鏡自身重力影響從而進(jìn)行壓彎，可得到最后的橢圓面形誤差為1.858 μrad，如圖11（b）所示。相較于聚焦鏡水平偏轉(zhuǎn)［18］，在垂直偏轉(zhuǎn)的情況下，重力不僅對(duì)聚焦鏡母線變形影響較大，而且對(duì)整個(gè)面形都有很大影響，造成聚焦后的光斑尺寸偏大，所以需要進(jìn)行多點(diǎn)重力補(bǔ)償調(diào)試。在鏡子中心進(jìn)行單點(diǎn)補(bǔ)償?shù)那闆r下，再驅(qū)動(dòng)力矩進(jìn)行壓彎得到最后的橢圓面形誤差為0.81 μrad，如圖11（c）所示。隨后分別進(jìn)行雙點(diǎn)補(bǔ)償重力壓彎、三點(diǎn)補(bǔ)償重力壓彎及四點(diǎn)補(bǔ)償重力壓彎，分別對(duì)應(yīng)圖11（d）、（e）和（f），得到橢圓壓彎面形誤差為0.25 μrad、0.105 μrad和0.075 μrad。根據(jù)有限元計(jì)算證明在理論誤差較小的情況下，通過(guò)多點(diǎn)補(bǔ)償和力矩補(bǔ)償可以在很大程度上降低重力對(duì)壓彎面形的影響，得到面形誤差較小的橢圓壓彎面形。

圖11　多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)臋E圓壓彎面形誤差仿真對(duì)比

(a) 無(wú)重力理想壓彎，(b) 無(wú)補(bǔ)償壓彎，(c) 單點(diǎn)補(bǔ)償壓彎，(d) 雙點(diǎn)補(bǔ)償壓彎，(e) 三點(diǎn)補(bǔ)償壓彎，(f) 四點(diǎn)補(bǔ)償壓彎

Fig.11Simulation comparison of elliptic bending surface shape error with multi-point compensation

(a) Ideal bending with No gravity, (b) Uncompensated bending, (c) Single point compensation bending, (d) Double point compensation bending, (e) Double point compensation bending, (f) Double point compensation bending

如表3所示，隨著補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)的增加，驅(qū)動(dòng)力矩1由33.47 N·m降低為22.91 N·m，力矩2由35.02 N·m降低為24.29 N·m；對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)桿位移1由53.52 μm降低為42.28 μm，2由55.33 μm降低為43.90 μm，驅(qū)動(dòng)位移的變化趨勢(shì)與力矩一致。當(dāng)重力方向與力矩施加方向相反時(shí)可以通過(guò)增加兩端的力矩來(lái)減小重力影響的面形誤差，調(diào)試非等力矩的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)隨著補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)的增加，兩端驅(qū)動(dòng)的不等力矩也逐漸減小，由于補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)的增加，補(bǔ)償裝置的補(bǔ)償效果逐步增大，驅(qū)動(dòng)力矩的補(bǔ)償效果就有所減小，因此造成不等驅(qū)動(dòng)力矩的下降趨勢(shì)。

表3 多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)姆抡媪嘏c位移

針對(duì)同步輻射光束線應(yīng)用的大尺寸光學(xué)元件壓彎面形，曲率可以反映真實(shí)的鏡面面形。理想的橢圓面形曲率是隨著自身尺寸的增加而不斷變化的，通過(guò)計(jì)算可以得出擬合的橢圓曲率變化情況。隨著補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)的增加，補(bǔ)償效果不斷優(yōu)化，對(duì)應(yīng)的壓彎曲率也與理論的相對(duì)差值不斷減小，變化趨勢(shì)隨著補(bǔ)償力度的增加逐漸接近理論橢圓曲率。圖12為多點(diǎn)補(bǔ)償壓彎的橢圓曲率對(duì)比。由圖12可知，多點(diǎn)補(bǔ)償壓彎后的橢圓曲率相對(duì)于理論橢圓曲率的差值可以較為直觀地觀察，在補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)增加的情況下，曲率差值逐漸趨近于0，且壓彎后的曲率差值沿著鏡子長(zhǎng)度方向均勻?qū)ΨQ分布，同時(shí)整條差值曲線界于0的上下區(qū)間，在擬合過(guò)程中經(jīng)調(diào)試后的壓彎曲率與理論曲率對(duì)稱相交，證明壓彎面形與理論面形最大程度擬合。單點(diǎn)補(bǔ)償壓彎的鏡面中心曲率誤差為4.33×10-6，四點(diǎn)補(bǔ)償壓彎的鏡面中心曲率誤差為2.63×10-7，由單點(diǎn)補(bǔ)償?shù)剿狞c(diǎn)補(bǔ)償橢圓壓彎中心曲率精度提升1個(gè)數(shù)量級(jí)。圖13為多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)臋E圓壓彎面形的矢量高度誤差對(duì)比。

圖12　多點(diǎn)補(bǔ)償壓彎的橢圓曲率及其差值對(duì)比 (a) 多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)臋E圓曲率，(b) 多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)那收`差

圖13　多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)臋E圓矢高誤差對(duì)比

由圖14可知，橢圓面形壓彎誤差隨著補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)的增加而逐漸減小，但減小趨勢(shì)逐漸放緩。當(dāng)單點(diǎn)補(bǔ)償時(shí)，橢圓壓彎面形相對(duì)于無(wú)補(bǔ)償壓彎整整降低了原面形誤差的56.41%，補(bǔ)償效果顯著，之后隨著補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)的增加，橢圓壓彎面形誤差降低趨勢(shì)逐漸減緩，雙點(diǎn)補(bǔ)償?shù)臋E圓面形誤差相較于無(wú)補(bǔ)償壓彎降低86.53%，三點(diǎn)補(bǔ)償壓彎相較于無(wú)補(bǔ)償壓彎降低94.35%，四點(diǎn)補(bǔ)償壓彎相較于無(wú)補(bǔ)償壓彎降低95.96%。在實(shí)際測(cè)量環(huán)境中，隨著多點(diǎn)重力補(bǔ)償?shù)倪M(jìn)行，橢圓壓彎面形受重力影響逐漸消除，其自身面形誤差的影響占比不斷增大。通常自身面形誤差越小，多點(diǎn)補(bǔ)償壓彎鏡面形誤差的下降趨勢(shì)越明顯。

圖14　橢圓面形誤差隨補(bǔ)償點(diǎn)數(shù)的變化趨勢(shì)

3 結(jié)語(yǔ)

大尺寸橢圓柱面聚焦鏡可以通過(guò)選取對(duì)應(yīng)的物距像距以及掠入射角參數(shù)，在鏡子兩端施加不等力矩來(lái)獲取?；? 200 mm×70 mm×50 mm尺寸的鏡子為研究對(duì)象，通過(guò)雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)非等力矩橢圓面形壓彎，在有限元分析的基礎(chǔ)上校驗(yàn)多點(diǎn)補(bǔ)償?shù)臋E圓壓彎面形變化。由于鏡子自身重力影響導(dǎo)致橢圓面形壓彎誤差偏大，增設(shè)補(bǔ)償裝置模擬多點(diǎn)重力補(bǔ)償，仿真計(jì)算的結(jié)果驗(yàn)證通過(guò)機(jī)構(gòu)兩端的力矩補(bǔ)償和補(bǔ)償裝置的多點(diǎn)補(bǔ)償可以有效降低重力影響的面形誤差，達(dá)到進(jìn)一步降低面形誤差的目的。得到與理論補(bǔ)償計(jì)算相對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果，由單點(diǎn)補(bǔ)償?shù)拿嫘握`差0.822 μrad下降到四點(diǎn)補(bǔ)償?shù)拿嫘握`差0.062 μrad。不斷調(diào)整壓彎力矩，使得與理想橢圓相比面形誤差最小。隨著增設(shè)補(bǔ)償?shù)难a(bǔ)償效果不斷優(yōu)化，壓彎的橢圓面形誤差逐漸減小，且減小趨勢(shì)由明顯趨于平緩。在物像比和掠入射角一定的情況下，橢圓面形誤差由單點(diǎn)補(bǔ)償壓彎的0.81 μrad降低到四點(diǎn)補(bǔ)償壓彎的0.075 μrad，由降低原面形誤差的56.41%上升到95.96%，驗(yàn)證了多點(diǎn)補(bǔ)償壓彎鏡自身重力對(duì)壓彎?rùn)E圓面形誤差降低的有效性。在三點(diǎn)補(bǔ)償下，相較于拉桿式機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)的橢圓鏡壓彎，面形誤差由0.45 μrad提升至0.105 μrad，證明通過(guò)雙驅(qū)動(dòng)四點(diǎn)滾柱壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)對(duì)進(jìn)一步提高橢圓鏡壓彎精度具有研究?jī)r(jià)值和借鑒意義，同時(shí)對(duì)豐富和加強(qiáng)同步輻射光束線壓彎技術(shù)具有理論指導(dǎo)作用。

致謝 在此感謝上海光源的王楠老師和任祖洋老師對(duì)論文思路的細(xì)心指導(dǎo)和幫助；同時(shí)感謝祝萬(wàn)錢老師的大力支持。

作者貢獻(xiàn)聲明 馬天宇：負(fù)責(zé)本論文方案設(shè)計(jì)，數(shù)據(jù)整理分析，論文撰寫和修改；盧啟鵬：負(fù)責(zé)方案提出，論文寫作與修改指導(dǎo)，研究經(jīng)費(fèi)的獲??；王大壯：負(fù)責(zé)仿真數(shù)據(jù)的驗(yàn)算及分析；彭忠琦、龔學(xué)鵬和宋源：參與方案設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)論證，論文的修改。

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Elliptic mirror finite element analysis of double drive compensated bending

MA Tianyu1,2LU Qipeng1WANG Dazhuang1PENG Zhongqi1GONG Xuepeng1SONG Yuan1

1()2()

In order to meet the technical requirements of synchrotron radiation beamlines for related optical components, a double-drive four-point roller bending mechanism is designed.This study aims to implement an unequal moment elliptical cylinder bending of high-precision large-size optical mirror through finite element analysis (FEA) simulation. [Methods] First of all, a reflector with an external dimension of 1 200 mm×70 mm×50 mm was taken as the research object. Based on the object distance of 26.5 m, the image distance of 13 m and the grazing incidence angle of 2.8 mrad, the pressure applied to the bending moment was calculated according to the theoretical ellipse shape equation and the beam deformation bending moment equation. Then, the FEA software was employed to simulate and analyze the double-drive four-point bending mechanism. The focusing mirror was subjected to single-point compensation, double-point compensation, three-point compensation and four-point compensation in the presence of gravity compensation torque. Finally, the simulation compensation surface results obtained by FEA were compared with the theoretical calculation results.The simulated application of unequal torque at both ends reduces the surface shape error from 0.81 μrad under single-point compensation to 0.075 μrad under four-point compensation, reducing 95.96% of the original error to the greatest extent. It can effectively reduce the elliptical bending surface shape error with theoretical value of 0.013 μrad, and the decreasing trend is gradually gentle.This study indicates that the double drive compensated bending mechanism is feasible and effective to improve the bending accuracy of large-scale elliptical mirrors under multi-point compensation, and has important theoretical guiding role and significance for the bending technology of synchrotron radiation beamlines.

Bending mechanism, Elliptical cylinder, Finite element analysis, Surface error, Synchrotron radiation

Supported by National Natural Science Foundation of China (No.11079035, No.61974142), Rising Light Talent Program, Changchun Institute of OpticsFine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences (No.E01672Y6Q0), State Key Laboratory of Applied Optics Open Fund (No.SKLA02020001A09)

MA Tianyu, male, born in 1996, graduated from Changchun University of Science and Technology in 2019, master student, focusing on the key technology of synchrotron beamline

LU Qipeng, E-mail: luqp@ciomp.ac.cn

2022-03-19

2022-01-06,

TL99

10.11889/j.0253-3219.2022.hjs.45.060101

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.11079035、No.61974142)、中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所旭光人才計(jì)劃(No.E01672Y6Q0)、應(yīng)用光學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(No.SKLA02020001A09)資助

馬天宇，男，1996年出生，2019年畢業(yè)于長(zhǎng)春理工大學(xué)，現(xiàn)為碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)橥捷椛涔馐€關(guān)鍵技術(shù)

盧啟鵬，E-mail：luqp@ciomp.ac.cn

2022-01-06，

2022-03-19