礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)多目標(biāo)模糊優(yōu)化

曹 陽(yáng)，馬 軍，李曉科，路 迪

（1.鄭州輕工業(yè)大學(xué)河南省機(jī)械裝備智能制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 鄭州 450002；2.河南北工機(jī)械制造有限公司，河南 商丘 476000）

1 引言

在機(jī)械傳動(dòng)中，齒輪傳動(dòng)是最主要、也是應(yīng)用最廣泛的一類傳動(dòng)，很多文獻(xiàn)對(duì)齒輪傳動(dòng)優(yōu)化進(jìn)行了深入的研究，出于節(jié)約資源，降低成本的目的，這些研究多以齒輪傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化作為目標(biāo)[1-4]。然而，現(xiàn)代機(jī)械系統(tǒng)是一個(gè)與工況環(huán)境密切相關(guān)的復(fù)雜性系統(tǒng)，具有多變量、強(qiáng)耦合及非線性的特點(diǎn)[5]，例如在礦山多粉塵、高溫高濕的惡劣工況下，礦用混凝土噴射機(jī)齒輪系統(tǒng)不僅受作業(yè)空間的限制，而且要有足夠的安全平穩(wěn)性，其約束指標(biāo)中往往存在大量模糊的因素，它們從完全容許到完全不容許是一個(gè)不確定的過渡過程，不考慮這些模糊不確定因素的優(yōu)化方法是不合理的，因此這是一個(gè)必須綜合考慮經(jīng)濟(jì)性和平穩(wěn)性的多目標(biāo)模糊優(yōu)化問題。針對(duì)齒輪傳動(dòng)多目標(biāo)模糊優(yōu)化，一般的處理方法是通過模糊規(guī)劃理論將其轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)確定性優(yōu)化問題，然后再進(jìn)一步應(yīng)用優(yōu)化算法來進(jìn)行求解，例如罰函數(shù)法、擬牛頓法、復(fù)合形法等，這些算法在理論上具有較好的成熟度，但都屬于局部?jī)?yōu)化算法，對(duì)于齒輪傳動(dòng)優(yōu)化問題只能獲得局部最優(yōu)解。

因此后來研究者更多的是將具備一定全局搜索能力的啟發(fā)式算法應(yīng)用在齒輪傳動(dòng)優(yōu)化中，其中，遺傳算法以其不依賴梯度信息，具有全局、并行的優(yōu)化性能而被廣泛采用[6-10]，但對(duì)于齒輪傳動(dòng)多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，基本的遺傳算法不僅收斂速度有限，而且還難以保證解的全局最優(yōu)性，需要結(jié)合優(yōu)化模型的具體特點(diǎn)提出有針對(duì)性的優(yōu)化求解方法。

根據(jù)礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的多目標(biāo)、模糊性特點(diǎn)，通過降半梯形隸屬度函數(shù)和二級(jí)模糊評(píng)判方法處理模糊性能約束，將多目標(biāo)模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題，在此基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的混合遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解，并通過與基本遺傳算法優(yōu)化結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證其有效性和實(shí)用價(jià)值。

2 礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)多目標(biāo)模糊優(yōu)化建模

礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)是一個(gè)二級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)。從減輕質(zhì)量、節(jié)省材料和降低成本的經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)考慮，要求該傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)緊湊，這就要求齒輪傳動(dòng)的徑向和軸向尺寸要最小，即兩齒輪中心距和齒輪分度圓柱體體積最小。同時(shí)在齒輪傳動(dòng)過程中經(jīng)常要正反轉(zhuǎn)，因此盡量小的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可有效保障傳動(dòng)平穩(wěn)性。基于上述考慮，礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化目標(biāo)如下：

其中兩齒輪中心距：

齒輪分度圓柱體體積：

結(jié)合文獻(xiàn)[10]，傳動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

其中：

式中：J1、J2、J3、J4—四個(gè)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m1、m2—一、二級(jí)齒輪法面模數(shù)；i1、i2—一、二級(jí)傳動(dòng)比；z1、z2—一、二級(jí)的小齒輪齒數(shù)；φ1、φ2—一、二級(jí)小齒輪的齒寬系數(shù)。

考慮到傳動(dòng)系統(tǒng)的平穩(wěn)性和空間布局，約束條件包含幾何約束與性能約束。幾何約束包括齒數(shù)、模數(shù)、傳動(dòng)比和齒寬系數(shù)約束。

性能約束包括齒面接觸與齒根彎曲疲勞強(qiáng)度約束。礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化中，準(zhǔn)確的齒面接觸疲勞許用應(yīng)力和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度很難獲得，一般都是模糊的，處于完全許用到完全不許用的中間過程。

①一、二級(jí)齒輪齒面接觸疲勞強(qiáng)度約束

②一、二級(jí)齒輪齒根彎曲疲勞強(qiáng)度約束

式中：K—載荷系數(shù)；T—傳遞的扭矩；YF—齒形系數(shù)；YS—齒根應(yīng)力修正系數(shù)；Yε—重和度系數(shù)。因性能約束要考慮約束的模糊性，式中：[σˉ?H]—模糊許用接觸應(yīng)力；[σˉ?F]—模糊許用彎曲應(yīng)力。以上約束條件中引用的符號(hào)“～”表示具有模糊性，引用的符號(hào)“ˉ”或“_”表示參數(shù)的上或下界。

不失一般性，礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)多目標(biāo)模糊優(yōu)化模型可以統(tǒng)一表示為求：

3 礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)性能約束的模糊性處理

3.1 模糊性能約束的隸屬度函數(shù)

對(duì)于礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)多目標(biāo)模糊優(yōu)化問題，引入模糊理論來處理性能約束中的模糊性問題，即把齒面接觸疲勞許用應(yīng)力和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度約束都處理為一個(gè)隸屬度函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)模糊多目標(biāo)優(yōu)化模型到確定性多目標(biāo)優(yōu)化模型的轉(zhuǎn)化，其原模型約束條件仍嚴(yán)格成立，從而在保證科學(xué)性的同時(shí)，很好地兼顧了礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)的經(jīng)濟(jì)性和平穩(wěn)性兩個(gè)目標(biāo)。隸屬度函數(shù)一般要根據(jù)問題的模糊性質(zhì)來具體確定，考慮到齒面接觸疲勞許用應(yīng)力和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的模糊性具有一定的相似性，因此統(tǒng)一采用降半梯形分布的隸屬度函數(shù)。齒面接觸疲勞許用應(yīng)力和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的隸屬度函數(shù)uσ(x)，如圖1所示。

圖1 降半梯形分布隸屬度函數(shù)uσ(x)Fig.1 The Semi-trapezoidal Membership Function uσ(x)

模糊性能約束的隸屬度函數(shù)表達(dá)為：

基于模糊數(shù)學(xué)分解定律，以一系列水平值截取模糊隸屬度函數(shù)uσ(x)，可獲得不同設(shè)防水平下的水平截集λ，即在上式中設(shè)：

從上式可得到：

因此，許用應(yīng)力由水平截集λ的值決定。水平截集λ值越大系統(tǒng)越安全平穩(wěn)，越小系統(tǒng)越經(jīng)濟(jì)。為了使系統(tǒng)即平穩(wěn)又經(jīng)濟(jì)，應(yīng)尋找一個(gè)最優(yōu)水平值λ*。

3.2 最優(yōu)化水平截集的模糊綜合評(píng)價(jià)

最優(yōu)水平值λ*可以采用兩級(jí)模糊綜合評(píng)判法來確定。所謂兩級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià)，首先對(duì)單個(gè)因素進(jìn)行評(píng)判，再對(duì)所有因素進(jìn)行綜合評(píng)判。

3.2.1 根據(jù)設(shè)計(jì)要求確定影響因素集及每個(gè)因素的等級(jí)

式中：Sk—第k個(gè)影響因素，k=1，2，…，m。因素等級(jí)可以表達(dá)為sk={sk1，sk2，…，skp}。其中，skl—第k個(gè)影響因素的第l個(gè)等級(jí)。l=1，2，…，p。

3.2.2 根據(jù)評(píng)判對(duì)象的取值范圍確定備擇集

由于評(píng)判對(duì)象必然包含在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，為了通過確定該評(píng)判對(duì)象的準(zhǔn)確值，可以將區(qū)間離散化后得到備擇集。

式中：Vj—第j個(gè)備擇集評(píng)判子對(duì)象，j=1，2，…，n

3.2.3 建立一級(jí)模糊評(píng)判矩陣

對(duì)每一個(gè)影響因素進(jìn)行評(píng)判，以確定影響因素對(duì)備擇集評(píng)判子對(duì)象的隸屬度。設(shè)備擇集V中第j個(gè)評(píng)判子對(duì)象Vj按因素集S中第k個(gè)影響因素Sk評(píng)判，Sk對(duì)評(píng)判子對(duì)象Vj的隸屬度為γkj，則評(píng)判結(jié)果可以用評(píng)判集合Rk表示，Rk是備擇集上的一個(gè)模糊子集，則單因素評(píng)判集合可表達(dá)為：

同理對(duì)每個(gè)影響因素進(jìn)行評(píng)判，獲得單因素隸屬度集合，構(gòu)成因素集的一級(jí)模糊評(píng)價(jià)矩陣：

3.2.4 建立因素權(quán)重集

在模糊多目標(biāo)優(yōu)化問題中，決策者的評(píng)價(jià)不僅具有不確定性，還往往具有一定的主觀性，各評(píng)價(jià)因素的重要程度一般是不同的，不可以等同對(duì)待。為了反映各個(gè)評(píng)價(jià)因素的差異性，決策者可以對(duì)分目標(biāo)的評(píng)價(jià)因素進(jìn)行賦權(quán)，即對(duì)各個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)設(shè)置不同的重要度。為反映各個(gè)因素的重要程度，對(duì)各因素賦予相應(yīng)權(quán)重，權(quán)重集為：

3.2.5 模糊綜合評(píng)判

綜合考慮所有因素對(duì)評(píng)判對(duì)象的影響，獲得模糊綜合評(píng)判集為：

式中：bi—模糊綜合評(píng)判指標(biāo)。

最后，用加權(quán)平均法得最優(yōu)水平截集為：

這樣就可以將模糊多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)水平截集上的確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題：

4 面向礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化求解的混合遺傳算法

對(duì)有一定復(fù)雜約束的優(yōu)化問題求解，基本遺傳算法面臨難以快速進(jìn)入可行域以及難以找到全局最優(yōu)解的問題。為了在擴(kuò)大解空間的同時(shí)提高求解搜索效率，在基本遺傳算法基礎(chǔ)上融入局部搜索過程，提出了改進(jìn)的混合遺傳算法，即在混合遺傳算法中，將每一代種群中的個(gè)體排列順序打亂，亂序之后種群中的所有個(gè)體就都有可能被選中。通過變量迭代和亂序操作方法，（1）增加了種群中所有個(gè)體適應(yīng)度，（2）可以使所有個(gè)體被選擇的概率均等。該算法步驟，如圖2所示。

圖2 混合遺傳算法流程Fig.2 The Flow Diagram of Hybrid Genetic Algorithm

（2）對(duì)種群所有個(gè)體進(jìn)行編碼，采用二進(jìn)制編碼的方法。

（3）在變量設(shè)定的范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生第一代種群，該種群中的第一個(gè)個(gè)體為x0。

（4）對(duì)種群中各個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)價(jià)。首先對(duì)種群各個(gè)體進(jìn)行解碼（采用二進(jìn)制解碼），并求出當(dāng)前種群中目標(biāo)函數(shù)最小值min(f(x)) 及其對(duì)應(yīng)的個(gè)體xb，并將它們保留。令fmin=min(f(x))，xmin=xb；最后對(duì)該種群中的各個(gè)體適應(yīng)度函數(shù)值進(jìn)行評(píng)價(jià)，fs(x)=max(f(x))-f(x)，若max(fs(x)≤κ，則計(jì)算結(jié)束，否則執(zhí)行（5）。

（5）按照式（1）進(jìn)行變量迭代操作，生成新一代種群。

（6）亂序和交叉操作。亂序操作可以通過調(diào)用randperm（）函數(shù)來完成；采用單點(diǎn)交叉的方式進(jìn)行交叉操作，即交換兩個(gè)染色體上隨機(jī)選定基因位置上的單個(gè)基因片段。依照給定的交叉概率pc進(jìn)行交叉操作。若是多維變量，則基因片段交換的位置是相互獨(dú)立并且隨機(jī)的。

（7）按照預(yù)先設(shè)定的變異概率pb進(jìn)行變異操作。同交叉操作類似，變異操作也采用隨機(jī)單點(diǎn)變異，即隨機(jī)選中個(gè)體，再對(duì)個(gè)體中某一位基因的0、1做更改。若是多維變量，則個(gè)體各分量基因變異是獨(dú)立和隨機(jī)進(jìn)行的。

（8）重復(fù)（1）到（8），計(jì)算達(dá)到最大遺傳代數(shù)km時(shí)停止計(jì)算，最終輸出最優(yōu)解。

上述步驟中，關(guān)鍵的選擇操作按下式進(jìn)行。

式中：λ—學(xué)習(xí)因子；xb—目標(biāo)函數(shù)最?。ɑ蜃畲螅┑娜旧w。對(duì)最小值問題，其適應(yīng)度值反而越大，以比例選擇的角度來說，目標(biāo)函數(shù)值越小，個(gè)體就越容易被選中。Δf(x，xb)—最大目標(biāo)函數(shù)差值，且：

5 實(shí)例分析

5.1 模糊性處理

某礦用混凝土噴射機(jī)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在一定強(qiáng)度和剛度條件下，要求傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)緊湊，總體積小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小。傳動(dòng)系統(tǒng)主傳動(dòng)功率為5.5kW，輸入軸轉(zhuǎn)速960r/min?？倐鲃?dòng)比i=25。按非對(duì)稱分布，高速級(jí)與低速級(jí)的齒寬系數(shù)分別為φ1=0.8、φ2=0.8。一級(jí)小齒輪45鋼調(diào)質(zhì)處理，大齒輪45鋼正火處理；二級(jí)大、小齒輪都為45鋼表面淬火處理。

齒輪傳動(dòng)中兩齒輪中心距、齒輪分度圓柱體體積和傳動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，受到齒輪的齒數(shù)、模數(shù)、齒寬、傳動(dòng)比等參數(shù)的影響。增加齒數(shù)m、模數(shù)z和傳動(dòng)比i都可以提高兩齒輪中心距，而齒寬增加會(huì)增大體積，因此優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為：

水平截集λ的取值按兩級(jí)模糊綜合評(píng)判確定。影響因素及其等級(jí)，如表1所示。

表1 因素集與因素等級(jí)Tab.1 The Factor Set and Its Grade

由于水平截集λ的取值區(qū)間為［0，1］，按步長(zhǎng)0.1將其離散后得到備擇集V=｛0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0｝。因素權(quán)重集為W=｛0.25，0.25，0.15，0.15，0.10，0.10｝。

經(jīng)過一級(jí)和二級(jí)模糊綜合評(píng)判，得到兩級(jí)模糊綜合評(píng)判集為：B=｛0，0.061，0.186，0.470，0.560，0.593，0.525，0.403，0.261，0.131，0.040｝。按加權(quán)平均求得最優(yōu)水平值：

將最優(yōu)水平值λ*代入各模糊性能約束的隸屬函數(shù)中，獲得各性能約束的取值范圍，這樣將多目標(biāo)模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)多目標(biāo)優(yōu)化問題。

5.2 優(yōu)化求解

使用混合遺傳算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，設(shè)種群數(shù)量Np=20，二進(jìn)制編碼長(zhǎng)度Nb=［8，8，8，8，8，8］，交叉概率pc=0.7，變異概率pb=0.1，最大遺傳代數(shù)為100，求解后的結(jié)果采用合成權(quán)重的比較選取一組解，經(jīng)圓整后為x1=3，x2=3，x3=20，x4=20，x5=4.3，x6=3.7。在種群進(jìn)化過程中，各個(gè)體均向著最優(yōu)適應(yīng)度方向進(jìn)化，直到達(dá)到最優(yōu)適應(yīng)度。如圖3（b）分析可知，隨著算法迭代次數(shù)的增加雖然最佳適應(yīng)度均值會(huì)有起伏波動(dòng)，但從全局趨勢(shì)來看最佳與平均適應(yīng)的平均值都在穩(wěn)步下降。

圖3 種群中個(gè)體平均適應(yīng)度Fig.3 Average Fitness Values of the Population Individuals

這表明算法的穩(wěn)定性較好同時(shí)可以看出算法的后期收斂速度較慢。對(duì)比圖3（a）的基本遺傳算法，可以看出混合遺傳算法的收斂速度要略大一些。

在種群進(jìn)化過程中，各個(gè)體均向著最優(yōu)適應(yīng)度方向進(jìn)化，如圖4所示。遺傳過程中各局部最優(yōu)值所對(duì)應(yīng)的個(gè)體數(shù)量，對(duì)比圖4（a）、圖4（b）可知，混合遺傳算法中最優(yōu)適應(yīng)度值區(qū)間中個(gè)體數(shù)量也要高于基本遺傳算法。

圖4 各局部最優(yōu)適應(yīng)度對(duì)應(yīng)種群個(gè)數(shù)Fig.4 The Population Size According to the Local Optimal Fitness Degree

將結(jié)果與遺傳算法得出的結(jié)果，如表2所示。從優(yōu)化的結(jié)果可以看出，采用的混合遺傳算法，其中心距減少16%，齒輪總體積減少32%，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減少27%，優(yōu)化效果較顯著。

表2 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Tab.2 The Comparison of the Optimization Results

6 總結(jié)

（1）采用降半梯形分布模糊隸屬度函數(shù)和兩級(jí)模糊評(píng)判法，可以有效的將礦用混凝土噴射機(jī)減速器齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)模糊優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為確定性優(yōu)化模型。

（2）在優(yōu)化模型的求解方面，對(duì)比基本遺傳算法，改進(jìn)后的混合遺傳算法穩(wěn)定性較好，收斂速度更快，而且更接近全局最優(yōu)解。

（3）采用混合遺傳算法，優(yōu)化后的礦用混凝土噴射系統(tǒng)其中心距減少16%，齒輪總體積減少32%，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減少27%，結(jié)構(gòu)更緊湊，經(jīng)濟(jì)性和平穩(wěn)性更優(yōu)。