趙富強，吳紅慶，杜鵬陽，牛志剛

（1.太原科技大學(xué)重型機械教育部工程研究中心，山西 太原 030024；2.太原理工大學(xué)極地工程與裝備研究院，山西 太原 030024）

1 引言

肢腿機構(gòu)是移動機器人運動和承載的關(guān)鍵部件，因其結(jié)構(gòu)和運動方式不同，具有較強的環(huán)境適應(yīng)性，現(xiàn)有的肢腿機構(gòu)常采用關(guān)節(jié)電機驅(qū)動，但其承受的外力矩較小，無法適用于重載場合[1]。雙推桿肢腿機構(gòu)作為南極科考機器人[2]構(gòu)型中連接履帶足和中心平臺的承載構(gòu)件組，既對極端地形具有良好的適應(yīng)性又兼?zhèn)淞己玫某休d能力。因此，有必要對雙推桿肢腿機構(gòu)開展運動學(xué)分析研究。

目前針對移動機器人的運動學(xué)已開展了大量研究，文獻[3]對一種三自由度六足腿式機器人并聯(lián)驅(qū)動機械腿機構(gòu)進行了運動學(xué)靜力學(xué)性能評價及幾何參數(shù)優(yōu)選。文獻[4]提出了一種基于3-UPS機構(gòu)的六自由度并聯(lián)機械腿，并進行了運動學(xué)分析與運動靈活性評價。文獻[5]提出了一種液壓驅(qū)動六足跳躍機器人模型，對該機器人側(cè)面雙腿和正面雙腿豎直跳躍進行了運動學(xué)分析。文獻[6]提出了一種通過輪式與足式相互切換實現(xiàn)多種操作模式的新型輪腿復(fù)合機器人，給出了機器人支鏈末端的可達工作空間與移動過程中的運動軌跡。文獻[7]針對同時具有被動關(guān)節(jié)和柔性桿的欠驅(qū)動平面機械臂，分析了系統(tǒng)的動力學(xué)耦合特性。文獻[8]研制開發(fā)了一種多運動模式的小型輪履腿復(fù)合式移動機器人，對其運動特性、越障性能、自動復(fù)位功能進行了詳細的分析。文獻[9]提出一種新型輪腿式移動機器人，將攀爬樓梯作為越障任務(wù)和設(shè)計目標，進行了力學(xué)分析和參數(shù)設(shè)計，研究了輪腿結(jié)構(gòu)參數(shù)對機器人抗沖擊能力和續(xù)航能力的影響規(guī)律。

文獻[10]分析了鏈驅(qū)動噴涂機器人的優(yōu)缺點和末端軌跡精度的影響狀況，并結(jié)合機器人本體的運動學(xué)參數(shù)，建立了基于隨機變量的噴涂機器人運動誤差模型。文獻[11]提出一種基于運動學(xué)分析的工業(yè)機器人軌跡精度補償方法，并建立了曲線運動軌跡偏差與運動學(xué)模型參數(shù)誤差映射的機器人運動軌跡誤差數(shù)學(xué)模型。文獻[12]以三自由度Delta并聯(lián)機械手為研究對象，對高速搬運作業(yè)下的操作空間和關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃策略進行了研究。文獻[13]基于機械臂關(guān)節(jié)空間和操作空間的速度映射關(guān)系，建立了機械臂末端運動學(xué)方程。上述研究主要集中在關(guān)節(jié)電機驅(qū)動下對開環(huán)機構(gòu)運動學(xué)特性的研究，對推桿驅(qū)動研究較少，因此研究雙推桿肢腿機構(gòu)可提高其承載能力，拓展其應(yīng)用領(lǐng)域。

以南極科考機器人雙推桿肢腿機構(gòu)為研究對象，對其在一級推桿獨立驅(qū)動、二級推桿獨立驅(qū)動、雙推桿同步驅(qū)動三種典型運動工況下，進行運動學(xué)分析和試驗研究，揭示各肢腿角度變化，下肢腿末端運動軌跡、速度和加速度運動特性變化規(guī)律。

2 雙推桿肢腿機構(gòu)

2.1 構(gòu)型分析

雙推桿肢腿機構(gòu)是南極科考機器人構(gòu)型中連接履帶足和中心平臺的承載構(gòu)件組。南極科考機器人主要由中心平臺和均布在中心平臺端角位置上的6條肢腿和履帶足組成，南極科考機器人通過各個雙推桿肢腿機構(gòu)這一運動單位協(xié)同運動實現(xiàn)抬腿、越壑和避障等功能，如圖1所示。

圖1 南極科考機器人Fig.1 Antarctic Research Robot

雙推桿肢腿機構(gòu)主要由支架、上肢腿、下肢腿、一級推桿和二級推桿組成，如圖2所示。其中，上肢腿上端與支架相連，下端與下肢腿上端相連，一級推桿安裝在支架與上肢腿之間，二級推桿安裝在上肢腿與下肢腿之間。雙推桿分別驅(qū)動上肢腿和下肢腿，使肢腿實現(xiàn)往復(fù)轉(zhuǎn)動，整個過程中雙推桿肢腿機構(gòu)始終保持在同一平面內(nèi)運動。

圖2 雙推桿肢腿機構(gòu)模型圖Fig.2 Double Push Rod Leg Mechanism Model

2.2 運動分析

雙推桿肢腿機構(gòu)以推桿收縮狀態(tài)為初始位置，主要分析三種典型運動工況下的運動，如圖3所示。

圖3 運動工況圖Fig.3 Motion Condition

（1）一級推桿獨立驅(qū)動：一級推桿從收縮狀態(tài)開始伸長，到達最頂端處停止，經(jīng)過換向后開始收縮，最后收縮到初始位置處停止，其中二級推桿在整個過程中保持收縮狀態(tài)不動，上肢腿先順時針轉(zhuǎn)動后逆時針轉(zhuǎn)動到初始位置，下肢腿與上肢腿之間的夾角保持不變。

（2）二級推桿獨立驅(qū)動：二級推桿從收縮狀態(tài)開始伸長，到達最頂端處停止，經(jīng)過換向后開始收縮，最后收縮到初始位置處停止，其中一級推桿在整個過程中保持收縮狀態(tài)不動，上肢腿與支架之間的夾角保持不變，下肢腿先順時針轉(zhuǎn)動后逆時針轉(zhuǎn)動到初始位置。

（3）雙推桿同步驅(qū)動：雙推桿同時從收縮狀態(tài)開始伸長，二級推桿先到達最頂端處停止，隨后一級推桿到達最頂端處停止，經(jīng)過換向后雙推桿同時開始收縮，二級推桿先收縮到初始位置處停止，最后一級推桿收縮到初始位置處停止，整個過程中上肢腿和下肢腿都是先順時針轉(zhuǎn)動后逆時針轉(zhuǎn)動到初始位置。

3 雙推桿肢腿機構(gòu)運動學(xué)數(shù)值分析

3.1 運動學(xué)方程

為揭示各肢腿角度，下肢腿末端運動軌跡、速度和加速度的變化規(guī)律，對雙推桿肢腿機構(gòu)進行運動學(xué)分析，推導(dǎo)下肢腿末端軌跡、速度和加速度方程。以O(shè)為原點建立全局坐標系OXY，如圖4所示。圖中：l1和l2—上、下肢腿的長度；θ1—上肢腿相對于X軸方向的角度；θ2—下肢腿相對于X軸方向的角度，其中肢腿角度在X軸上方為正，在X軸下方為負；l3、l4—雙推桿長度；lA—A、I之間距離；lK—A、J之間距離；lE—E、I之間距離；lF—F、J之間距離；lG—G、B之間距離；β—下肢腿∠GBC的夾角；hy—D、A之間距離。

圖4 雙推桿肢腿機構(gòu)尺寸參數(shù)Fig.4 Dimension Parameters of Double Push Rod Leg Mechanism

根據(jù)圖4得到上、下肢腿質(zhì)心和下肢腿末端在X、Y軸方向的位置坐標分別為：

對式（1）～式（3）求導(dǎo)得到上、下肢腿質(zhì)心和下肢腿末端在X、Y軸方向的速度分別為：

對式（1）～式（3）二次求導(dǎo)得到上、下肢腿質(zhì)心和下肢腿末端在X、Y軸方向的加速度分別為：

3.2 數(shù)值模擬

為得到雙推桿肢腿機構(gòu)在一級推桿獨立驅(qū)動、二級推桿獨立驅(qū)動、雙推桿同步驅(qū)動三種典型運動工況時上肢腿和下肢腿相對于X軸方向的角度，下肢腿末端運動軌跡、速度和加速度等動態(tài)特性曲線，對雙推桿肢腿機構(gòu)進行運動學(xué)數(shù)值模擬，如圖5所示。參數(shù)，如表1所示?？紤]測試過程中出現(xiàn)偏差和延遲，將試驗測得的三種典型運動工況下推桿驅(qū)動時間分別設(shè)置到仿真中得到其仿真結(jié)果，如表2所示。在初始時刻，雙推桿都處于初始位置。

表2 運動工況參數(shù)Tab.2 Parameters of Motion Condition

圖5 雙推桿肢腿機構(gòu)仿真模型Fig.5 Simulation Model of Double Push Rod Leg Mechanism

表1 雙推桿肢腿機構(gòu)仿真參數(shù)Tab.1 Simulation Parameters of Double Push Rod Leg Mechanism

雙推桿驅(qū)動主要由伸長、換向和收縮三個階段組成，具體如下。

（1）伸長階段：推桿從收縮狀態(tài)開始出發(fā)，伸長50mm后到達推桿最頂端處停止；

（2）換向階段：推桿在到達最頂端后開始換向為下一階段做準備；

（3）收縮階段：推桿從最頂端處開始收縮，收縮50mm后回到初始位置。

4 試驗研究

為驗證雙推桿肢腿機構(gòu)的運動學(xué)方程，對上述三種典型運動工況開展上肢腿和下肢腿相對于X軸方向的角度，下肢腿末端運動軌跡、速度和加速度試驗測試，如圖6所示。

圖6 雙推桿肢腿機構(gòu)試驗臺Fig.6 Double Push Rod Leg Mechanism Test-Bed

試驗測試平臺采用低通濾波算法對試驗數(shù)據(jù)進行噪聲處理，上肢腿和下肢腿分別由XTL100電動推桿驅(qū)動，其角度變化由HWT905-232角度傳感器實時測量，數(shù)據(jù)由USB3104A數(shù)據(jù)采集儀采集，如表3所示。通過式（3）、式（6）和式（9）得到雙推桿肢腿機構(gòu)末端運動軌跡、速度和加速度曲線。本試驗測試平臺在25dB、20℃干摩擦下進行，其中銷軸與軸套之間的動摩擦系數(shù)為0.25，靜摩擦系數(shù)為0.3。銷軸和軸套粗糙度為6.3，可通過加工滿足其精度要求。

表3 設(shè)備參數(shù)Tab.3 The Equipment Parameters

5 雙推桿肢腿機構(gòu)動態(tài)響應(yīng)分析

5.1 評價指標

對雙推桿肢腿機構(gòu)進行運動學(xué)仿真與測試，得到上肢腿和下肢腿相對于X軸方向的角度，下肢腿末端運動軌跡、速度和加速度等動態(tài)特性理論與試驗曲線，并對仿真與試驗結(jié)果進行一致性對比分析。受到機械結(jié)構(gòu)本體試驗條件限制，試驗與仿真結(jié)果誤差不可避免，采用相關(guān)系數(shù)(R)指標和平均相對誤差(AARE)指標評價理論與試驗中運動特征參數(shù)的一致性程度。其中，R用以反映變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計指標，R越高則試驗值與仿真值之間的擬合程度越好；AARE指的是所有測量點測量所造成的絕對誤差與被測量真值之比的平均值，AARE越小則測量數(shù)值越接近測量真值，其表達如下：

式中：XEi—試驗得到的實際測量值；XSi—仿真得到的數(shù)值模擬值；XE和XS—XEi和XSi的平均值；N—試驗數(shù)據(jù)的個數(shù)。

5.2 一級推桿獨立驅(qū)動運動特性

雙推桿肢腿機構(gòu)在一級推桿獨立驅(qū)動時，上肢腿和下肢腿相對于X軸方向的角度呈先減小后增大的變化規(guī)律，如圖7、圖8所示。在（0～5.7）s伸長階段和（6.8～15）s收縮階段，各肢腿角度呈線性減小和線性增大趨勢，此時下肢腿末端速度在一級推桿獨立驅(qū)動下做勻速運動。在（5.7～6.8）s換向階段，各肢腿角度保持不變，此時雙推桿肢腿機構(gòu)靜止。由表4可知，θ1的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.9988和16.69%，θ2的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.9954和5.68%。

圖7 上肢腿θ1角度Fig.7 Upper Limb Leg θ1 Angle

圖8 下肢腿θ2角度Fig.8 Lower Limb Leg θ2 Angle

雙推桿肢腿機構(gòu)在一級推桿獨立驅(qū)動時，下肢腿末端運動軌跡是平滑連續(xù)的二次函數(shù)曲線，如圖9所示。下肢腿末端運動軌跡從（720，100）開始出發(fā)，隨一級推桿伸長逐漸移動到（590，-425），經(jīng)過換向后在一級推桿收縮下回到初始位置。由于機械結(jié)構(gòu)限制的影響推桿未能到達最頂端，導(dǎo)致下肢腿末端不能在（590，-425）與（600，-410）之間運行，因此在這區(qū)域中只存在仿真值。由表4可知，下肢腿末端運動軌跡曲線試驗值與仿真值在X軸方向上的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.9995和0.77%，在Y軸方向上的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.9989和14.18%，表明雙推桿肢腿機構(gòu)在Y軸方向更易受到干擾。由于機構(gòu)在Y軸方向受到重力作用，當(dāng)推桿伸長時重力做正功，收縮時重力做負功，因此重力對雙推桿肢腿機構(gòu)具有較大影響。

圖9 下肢腿末端運動軌跡Fig.9 The Movement Track of End of Lower Limb

雙推桿肢腿機構(gòu)在一級推桿獨立驅(qū)動時，下肢腿末端速度、加速度變化曲線，如圖10、圖11所示。

圖10 下肢腿末端速度Fig.10 Velocity at the End of Lower Limb

圖11 下肢腿末端加速度Fig.11 Acceleration at the End of Lower Limb

下肢腿末端速度在0s、5.7s、6.8s 和14.9s 處出現(xiàn)階躍響應(yīng)，對應(yīng)其加速度出現(xiàn)峰值，這是因為推桿開始伸長和結(jié)束收縮時剛性沖擊造成的。在其他時間段內(nèi)下肢腿末端速度趨于穩(wěn)定狀態(tài)而加速度趨向于0值，表明下肢腿末端速度在一級推桿驅(qū)動下做勻速運動，這與圖7、圖8中得到的結(jié)論一致。另外下肢腿末端速度在伸長階段比在收縮階段高，對應(yīng)加速度數(shù)值也較高，這是推桿在運動過程中受重力影響導(dǎo)致的。由表4可知，下肢腿末端速度曲線試驗值與仿真值的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.9294和11.42%，下肢腿末端加速度曲線試驗值與仿真值的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.0912和89.88%。

表4 一級推桿獨立驅(qū)動下各參數(shù)相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差Tab.4 Correlation Coefficient and Average Absolute Relative Error of Each Parameter Under the First Push Rod Independent Drive

5.3 二級推桿獨立驅(qū)動運動特性

雙推桿肢腿機構(gòu)在二級推桿獨立驅(qū)動時，下肢腿相對于X軸方向的角度變化與一級推桿獨立驅(qū)動時趨勢相同，如圖12所示。在（0～5.1）s伸長階段和（5.6～11）s收縮階段，各肢腿角度呈逐漸減小和逐漸增大趨勢，此時下肢腿末端速度在二級推桿獨立驅(qū)動下做變速運動。在（5.1～5.6）s換向階段，各肢腿角度保持不變，此時雙推桿肢腿機構(gòu)靜止。由表5可知，θ2的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.9599和11.09%。雙推桿肢腿機構(gòu)在二級推桿獨立驅(qū)動時，下肢腿末端運動軌跡是平滑連續(xù)的二次函數(shù)曲線，如圖13所示。

表5 二級推桿獨立驅(qū)動下各參數(shù)相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差Tab.5 The Correlation Coefficient and Average Absolute Relative Error of Each Parameter Under the Secondary Push Rod Independent Drive

圖12 下肢腿θ2角度Fig.12 Lower Limb Leg θ2Angle

圖13 下肢腿末端運動軌跡Fig.13 The Movement Track of End of Lower Limb

下肢腿末端運動軌跡從（720，100）開始出發(fā)，隨二級推桿伸長逐漸移動到（560，-144），經(jīng)過換向后在二級推桿收縮下回到初始位置。由表4可知，下肢腿末端運動軌跡曲線試驗值與仿真值在X軸方向上的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別在0.9997 和1.71%，在Y軸方向上的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別在0.9992和28.16%，表明肢腿機構(gòu)在Y軸方向更易受到干擾，這與一級推桿獨立驅(qū)動時原因相同。

雙推桿肢腿機構(gòu)在二級推桿獨立驅(qū)動時，下肢腿末端速度、加速度變化曲線，如圖14、圖15所示。

圖14 下肢腿末端速度Fig.14 Velocity at the end of lower limb

圖15 下肢腿末端加速度Fig.15 Acceleration at the End of Lower Limb

發(fā)現(xiàn)下肢腿末端速度運行時間比一級推桿獨立驅(qū)動時短，這是因為一級推桿需要承受上、下肢腿共同重力的影響，而二級推桿只需要承受下肢腿重力的影響，導(dǎo)致其運行時間有所不同。下肢腿末端速度曲線在0s、5.1s、5.6s和11s處出現(xiàn)階躍響應(yīng)，對應(yīng)其加速度出現(xiàn)峰值，這與一級推桿獨立驅(qū)動時原因相同。

由圖14可知，下肢腿末端速度在二級推桿獨立驅(qū)動時做變速運動，這與圖12中得到的結(jié)論一致。由表5可知，下肢腿末端速度曲線試驗值與仿真值的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.9065和19.35%，下肢腿末端加速度曲線試驗值與仿真值的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.1322和76.46%。

5.4 雙推桿同步驅(qū)動運動特性

雙推桿肢腿機構(gòu)在雙推桿同步驅(qū)動時，上肢腿和下肢腿相對于X軸方向的角度變化與前兩種運動工況趨勢相同，如圖16、圖17 所示。一級推桿在（0～6.4）s 伸長階段和（7.2～15）s 收縮階段，上肢腿角度呈線性減小和線性增大趨勢，此時上肢腿做勻速運動。在（6.4～7.2）s換向階段，上肢腿角度保持不變，此時上肢腿靜止。二級推桿在（0～5.6）s伸長階段和（7.2～13.5）s收縮階段，下肢腿角度呈逐漸減小和逐漸增大趨勢，此時下肢腿做變速運動。在（5.6～7.2）s換向階段，下肢腿角度保持不變，此時下肢腿靜止。由于雙推桿運行時間不同，因此下肢腿末端速度在雙推桿同步驅(qū)動下做變速運動。由表6可知，θ1的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.9988 和6.94%，θ2的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.9866和8.03%。

圖16 上肢腿θ1角度Fig.16 Upper Limb Leg θ1 Angle

圖17 下肢腿θ2角度Fig.17 Lower Limb Leg θ2 Angle

雙推桿肢腿機構(gòu)在雙推桿同步驅(qū)動時，下肢腿末端運動軌跡是由多段二次函數(shù)曲線組成，如圖18所示。下肢腿末端運動軌跡從（720，100）開始出發(fā)，隨雙推桿伸長逐漸移動到（320，-480），經(jīng)過換向后在雙推桿收縮下回到初始位置，因雙推桿運行時間不同，下肢腿末端運動軌跡是一條封閉的曲線。由于機械結(jié)構(gòu)限制的影響推桿未能到達最頂端，使下肢腿末端運動軌跡的試驗值與仿真值存在誤差。由表6可知，下肢腿末端運動軌跡曲線試驗值與仿真值在X軸方向上的相關(guān)系數(shù)和誤差分別在0.9997和5.10%，在Y軸方向上的相關(guān)系數(shù)和誤差分別在0.9993 和14.20%，表明肢腿機構(gòu)在Y軸方向更易受到干擾，這與前兩種運動工況時的原因相同。

圖18 下肢腿末端運動軌跡Fig.18 The Movement Track of End of Lower Limb

雙推桿肢腿機構(gòu)在雙推桿同步驅(qū)動時，下肢腿末端速度、加速度變化曲線，如圖19、圖20所示。

圖19 下肢腿末端速度Fig.19 Velocity at the End of Lower Limb

圖20 下肢腿末端加速度Fig.20 Acceleration at the End of Lower Limb

下肢腿末端速度在0s、0.4s、5.6s、6.4s、7.2s、13.5s和15s處出現(xiàn)階躍響應(yīng)，對應(yīng)其加速度出現(xiàn)峰值，其中0.4s處的峰值是由于試驗過程中一級推桿出現(xiàn)延遲造成的，而5.6s和13.5s處的峰值是由于二級推桿到達最頂端和回到收縮狀態(tài)造成的，其他峰值出現(xiàn)原因與前兩種運動工況相同。另外從圖20可知，下肢腿末端加速度試驗值與仿真值差異較大，這是因為下肢腿末端加速度是由式（3）經(jīng)過二次求導(dǎo)得到，在實際測量中雙推桿肢腿機構(gòu)在運行過程中出現(xiàn)振動，導(dǎo)致上、下肢腿相對于X軸方向的角度不斷在仿真值上下波動，這種波動經(jīng)過二次求導(dǎo)后會使下肢腿末端加速度值不同于仿真值。由圖19可知，雙推桿肢腿機構(gòu)在雙推桿同步驅(qū)動下做變速運動，這與圖16、圖17中得到的結(jié)論一致。由表6可知，下肢腿末端速度曲線試驗值與仿真值的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.9540和13.72%，下肢腿末端加速度曲線試驗值與仿真值的相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差分別為0.1654 和82.67%。

表6 雙推桿同步驅(qū)動下各參數(shù)相關(guān)系數(shù)和平均相對誤差Tab.6 Correlation Coefficient and Average Absolute Relative Error of Each Parameter Under Double Push Rod Synchronous Drive

6 結(jié)論

針對雙推桿肢腿機構(gòu)一級推桿獨立驅(qū)動、二級推桿獨立驅(qū)動、雙推桿同步驅(qū)動三種典型運動工況，建立了南極科考機器人雙推桿肢腿機構(gòu)運動學(xué)方程，分析了上肢腿和下肢腿相對于X軸方向角度變化規(guī)律，下肢腿末端運動軌跡、速度和加速度運動特性曲線，并進行了仿真模擬和試驗研究，結(jié)論如下：

（1）上肢腿和下肢腿相對于X軸方向角度在三種典型運動工況下呈先減小后增大的變化規(guī)律，下肢腿末端運動軌跡是連續(xù)二次函數(shù)曲線，下肢腿在一級推桿驅(qū)動時末端速度為勻速運動，在二級推桿驅(qū)動時為變速運動，下肢腿末端加速度在推桿開始伸長和結(jié)束收縮時出現(xiàn)峰值，在其他時間段內(nèi)趨于0值。

（2）對比三種典型運動工況下的仿真值和試驗值，可得上肢腿和下肢腿相對于X軸方向角度相關(guān)系數(shù)在0.95以上，而平均相對誤差在16.69%以內(nèi)；下肢腿末端運動軌跡在X軸方向最大平均相對誤差遠小于Y軸方向，表明雙推桿肢腿機構(gòu)易受重力影響；下肢腿末端速度的相關(guān)系數(shù)在0.90 以上，平均相對誤差在19.35%以內(nèi)。