孫 杰，紀(jì) 穎,2

（1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093；2.上海大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200444）

0 引言

隨著國家經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，城鄉(xiāng)新起建筑如雨后春筍，廣泛分布于各個(gè)角落。在建筑工程發(fā)展的過程中，商品混凝土(商砼)的使用對提高建筑施工的效率起到了關(guān)鍵作用。商砼攪拌站的出現(xiàn)，使得建筑施工地和原料供給地分離開來，既節(jié)約了場地布局，又對原料的質(zhì)量起到了較好的保障作用。但同樣，由于施工方和原料供應(yīng)方的分離，而雙方又都處于市區(qū)，使得商砼攪拌站和需求節(jié)點(diǎn)間的路徑規(guī)劃的重要性日益凸顯。已有研究表明，科學(xué)有序的規(guī)劃路徑不但有利于節(jié)約商砼配送成本，還有利于提高工程施工的效率。在當(dāng)前針對商砼的研究中，較多的學(xué)者從商砼的物化性質(zhì)進(jìn)行了分析，涉及透水混凝土性能，混凝土斷裂性能，阻熱降溫性能，初始壓實(shí)階段應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，僅有較少的學(xué)者對商砼的配送規(guī)劃展開研究。商砼配送的研究涉及多個(gè)研究層面或者研究角度，現(xiàn)有的研究多數(shù)針對參數(shù)數(shù)據(jù)已知的情景，較少涉及不確定參數(shù)問題。相對于確定性條件下的規(guī)劃設(shè)計(jì)，不確定條件下的研究更加符合現(xiàn)實(shí)場景。國內(nèi)外專家學(xué)者做了大量研究。蔡煥芹，等通過遺傳算法對混凝土配送問題進(jìn)行研究，為現(xiàn)實(shí)場景提供決策支持。原野，等針對商品混凝土生產(chǎn)與調(diào)度問題展開研究以節(jié)約運(yùn)輸成本,。劉亞飛，等針對多攪拌站的配送問題提出了協(xié)同配送策略。林興強(qiáng)，等以基于行程時(shí)間的可靠性車輛調(diào)度方法研究商砼的配送問題。針對商砼配送的研究往往僅僅涉及單一供應(yīng)配送，或者單一需求站點(diǎn)的配送，較少的涉及多個(gè)供應(yīng)站點(diǎn)的協(xié)同作用。

針對不確定參數(shù)問題研究的較為深入，模型應(yīng)用領(lǐng)域也較多，包括應(yīng)急管理問題，冷鏈物流問題，城市救援問題和能源運(yùn)輸問題等，但幾乎沒有發(fā)現(xiàn)研究涉及商砼配送規(guī)劃的研究。最近不少學(xué)者援引魯棒優(yōu)化的方法處理不確定的參數(shù)規(guī)劃問題，且取得了較好的研究實(shí)證價(jià)值。通過梳理文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，針對商砼配送規(guī)劃的研究，還未發(fā)現(xiàn)學(xué)者通過魯棒優(yōu)化理論模型進(jìn)行分析和研究，這也是本文的創(chuàng)新和貢獻(xiàn)所在。

基于以上分析，提出了本研究的主要內(nèi)容。首先，根據(jù)現(xiàn)實(shí)需求，構(gòu)建多目標(biāo)規(guī)劃模型；其次，考慮到多目標(biāo)規(guī)劃模型間的相關(guān)性，本文將其歸納為兩階段線性優(yōu)化模型；但由于不確定參數(shù)的干擾，線性優(yōu)化模型在處理不確定參數(shù)問題時(shí)存在一定的弊端。因而，本文通過引入魯棒優(yōu)化的算法和理論，將TSLO模型拓展為TSRC模型，以抵御不確定性的影響，在不確定條件下展開研究。由于現(xiàn)實(shí)場景下的市場是充斥著隨機(jī)性和不確定性的，因而開展隨機(jī)不確定條件下的研究更具創(chuàng)新性。對于具體商砼配送管理企業(yè)而言，科學(xué)地規(guī)劃運(yùn)輸車的時(shí)間和路徑對于降低混凝土配送的成本具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1 問題描述和模型建立

1.1 問題描述

針對市區(qū)商砼配送問題，基于實(shí)際場景，本文構(gòu)建了由多個(gè)商砼攪拌站和多個(gè)需求節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，如圖1所示。其中，商砼攪拌站受產(chǎn)能約束的限制，僅僅可以為有限的需求節(jié)點(diǎn)提供配送服務(wù)，因此需要多個(gè)商砼攪拌站點(diǎn)的協(xié)同作業(yè)才能保障日常商砼需求。在綜合考慮商砼配送過程中商砼攪拌站的固定成本，攪拌車的運(yùn)輸成本以及碳排放成本后，本文通過構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型進(jìn)行理論分析。企業(yè)決策者往往面臨著多目標(biāo)決策問題：首先，從生存發(fā)展的角度分析，企業(yè)的首要目標(biāo)為追求既定成本情況下的收益最大化(或給定綜合效益情況下的支出費(fèi)用最小化)；其次，企業(yè)還需把控運(yùn)輸車隊(duì)的規(guī)模，提高運(yùn)載率；最后，企業(yè)還要考慮目標(biāo)客戶的服務(wù)滿意度，在既定現(xiàn)實(shí)資源約束的條件下追求最大化的服務(wù)滿意度。

圖1 多供應(yīng)點(diǎn)多需求點(diǎn)的路徑規(guī)劃示意圖

在普通車輛調(diào)度問題中加入時(shí)間窗約束，在客戶要求的時(shí)間范圍內(nèi)提供服務(wù)。根據(jù)現(xiàn)實(shí)場景，本文考慮軟、硬時(shí)間窗兩個(gè)維度，具體情景如圖2所示。軟時(shí)間窗僅跟目標(biāo)服務(wù)企業(yè)的規(guī)定有關(guān)，若規(guī)定時(shí)間為晚上的19:00-21:00，則提前送達(dá)會產(chǎn)生一定的等待成本，延遲送達(dá)會產(chǎn)生誤工費(fèi)用等，但這種風(fēng)險(xiǎn)較小因而稱之為軟時(shí)間窗，存在著上界和下界。硬時(shí)間窗受政策法規(guī)的限制，嚴(yán)禁違反。

圖2 時(shí)間窗示意圖

模型假設(shè)：結(jié)合現(xiàn)實(shí)場景和數(shù)學(xué)建模的可行性，假設(shè)：

（1）節(jié)點(diǎn)位置和候選商砼攪拌站的位置已知；

（2）不得超過商砼攪拌站的最大產(chǎn)能約束；

（3）車輛同質(zhì)，載貨量和單位油耗已知；

（4）時(shí)間窗口是已知的；

（5）車輛采用直達(dá)運(yùn)輸配送模式。

1.2 多目標(biāo)模型構(gòu)建

目標(biāo)1，整體運(yùn)營成本的最小化。具體如下，目標(biāo)表示為運(yùn)輸配送成本，分為固定成本c和可變成本，其中，可變成本包括能耗成本和碳排放成本。

約束條件函義，約束（4）表示所有目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的需求都必須滿足；約束（5）表示時(shí)間窗約束，嚴(yán)格隸屬于硬時(shí)間窗；約束（6）表示庫存容量約束，庫存不能高于上限；約束（7）表示僅有被選用的供應(yīng)中心才會參與后續(xù)調(diào)配工作；約束（8）表示配送車輛的碳排放約束；約束（9）表示相關(guān)變量約束。

1.3 基本符號

本文符號及變量見表1。

表1 基本符號變量涵義

2 模型拓展

考慮到多目標(biāo)模型中的目標(biāo)函數(shù)存在一定的關(guān)聯(lián)性，將以上提出的多目標(biāo)混合整數(shù)規(guī)劃模型整合為兩階段整數(shù)規(guī)劃模型。許多學(xué)者通過min-max 原則構(gòu)建雙目標(biāo)模型的聯(lián)立關(guān)系，并對模型的實(shí)用性進(jìn)行了驗(yàn)證。援引學(xué)者的相關(guān)研究成果，對本節(jié)模型進(jìn)行整合。其中，內(nèi)層最大化問題為目標(biāo)客戶滿意度最大化，外層問題為總體運(yùn)營成本的最小化。

2.1 內(nèi)層最大化問題

2.2 外層最小化運(yùn)營成本

企業(yè)運(yùn)營決策者作為理性的管理者，在保障了基本的基礎(chǔ)運(yùn)營平穩(wěn)后，追求成本的最小化往往是其首選目標(biāo)。外層最小化運(yùn)營成本問題綜合考慮企業(yè)的各項(xiàng)成本，包括固定成本，運(yùn)輸成本和碳排放成本與內(nèi)層最大化滿意度問題一樣，也同時(shí)滿足相應(yīng)的約束條件。此外，由于在多目標(biāo)混合整數(shù)規(guī)劃模型中的f與車輛成本相關(guān)，本節(jié)模型中將其歸為外層最大化問題的約束條件。

2.3 兩階段混合整數(shù)規(guī)劃模型

根據(jù)以上內(nèi)層最大化滿意度問題和外層最小化成本問題，本節(jié)將以上多目標(biāo)優(yōu)化模型整合為兩階段整數(shù)規(guī)劃模型，即：

外層最小化成本問題是在服務(wù)滿意度最大化的基礎(chǔ)上的決策，其中，式（11）為預(yù)算成本約束，式（12）為變量類型約束。

內(nèi)層問題的決策目標(biāo)式（13）是服務(wù)滿意度最大化的服務(wù)滿意度。式（14）是最低服務(wù)滿意度要求；式（15）是最大車隊(duì)數(shù)量規(guī)模約束；式（16）是時(shí)間窗約束；式（17）表示任意需求節(jié)點(diǎn)的需求都必須得到滿足；式（18）是庫存容量約束；式（19）是僅有被選中的倉庫才可以參與后續(xù)運(yùn)輸任務(wù)；式（20）表示碳排放約束；式（21）為相關(guān)變量參數(shù)約束。

2.4 兩階段魯棒優(yōu)化模型

內(nèi)層最大化滿意度問題為決策的第二階段，見式（25），其決策目標(biāo)是最大限度的提高需求滿意度。

具體約束涵義：式（26）表示任意決策值不能高于決策變量取得最優(yōu)時(shí)的取值；式（27）和式（28）分別表示基礎(chǔ)需求參數(shù)條件下的預(yù)算約束和不確定參數(shù)條件下的預(yù)算約束；式（29）表示最大車隊(duì)數(shù)量規(guī)模約束；式（30）是服務(wù)滿意度約束；式（31）表示時(shí)間窗約束；式（32）表示任意需求節(jié)點(diǎn)的需求都必須得到滿足；式（33）是名義需求參數(shù)和不確定需求參數(shù)影響下的庫存容量約束；式（34）是僅有被選中的供應(yīng)中心才可以參與后續(xù)運(yùn)輸任務(wù)；式（35）表示碳排放約束；式（36）為相關(guān)變量參數(shù)約束。

3 情景案例實(shí)驗(yàn)

商砼配送規(guī)劃的合理性對保障工程進(jìn)度起到了重要的作用。本文通過現(xiàn)實(shí)案例進(jìn)行情景再現(xiàn)，研究所提出的模型在商砼配送規(guī)劃中的實(shí)用性。根據(jù)實(shí)際場景，如圖3所示，本文選取了某市的商砼配送作為案例。首先，根據(jù)實(shí)際場景，選取了四個(gè)站點(diǎn)作為候選商砼供應(yīng)中心，分別為：恒基商砼、德濟(jì)商砼、眾誠砼業(yè)、天時(shí)商砼，用H1,H2,H3,H4 表示。需求節(jié)點(diǎn)為該市正在開發(fā)的商品房樓盤，分別為：寶龍世家、龍湖粼云上府、綠地映山風(fēng)華、玖瓏悅、梅里古都、新世界天悅、華潤公元九里、太湖雍華府、富力山，建發(fā)金玥灣和山河萬象樓盤，用Q1,Q2,...,Q11來表示。本節(jié)通過情景案例的形式檢驗(yàn)所提出模型的實(shí)用性，根據(jù)情景案例的結(jié)果對模型進(jìn)行分析，結(jié)果為相關(guān)決策者提供決策支持和管理發(fā)展建議。

3.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

基礎(chǔ)數(shù)據(jù)包括商砼攪拌站參數(shù)，運(yùn)輸車數(shù)據(jù)以及需求節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，見表2、表3。

圖3 商砼攪拌站和需求節(jié)點(diǎn)的地理區(qū)位

表2 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)信息

表3 商砼攪拌站及需求節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)

通過網(wǎng)頁數(shù)據(jù)爬取技術(shù)，可以從谷歌地圖直接獲取站點(diǎn)間的真實(shí)距離，見表4。

表4 供應(yīng)站與需求工地間距離

3.2 算法框架設(shè)計(jì)

基于以上基礎(chǔ)數(shù)據(jù)值，以Matlab(R2020a)為編程平臺設(shè)計(jì)求解框架，并且調(diào)用Gurobi(9.1.2)對模型進(jìn)行求解。

為了保證情景案例的科學(xué)性，通過控制變量法將控制計(jì)算的環(huán)境相同，即在同一計(jì)算機(jī)內(nèi)以相同運(yùn)行環(huán)境(Windows 10,Core(TM) i5-8300H CPU @2.3GHz,RAM8GB,512G SSD)運(yùn)行，具體算法步驟見表5。

表5 模型求解框架

4 模型參數(shù)分析

4.1 時(shí)間對比

圖4 描述了TSLO 模型和TSRC 模型的計(jì)算效率情況。為保證實(shí)驗(yàn)的科學(xué)性，每個(gè)模型在同一計(jì)算機(jī)環(huán)境下進(jìn)行100次運(yùn)行，取累積時(shí)間值作為結(jié)果，比較模型的運(yùn)行效率。可以發(fā)現(xiàn)，在求解器Gurobi的運(yùn)算時(shí)間較短時(shí)，運(yùn)行效率明顯優(yōu)于Cplex。數(shù)據(jù)對比可以發(fā)現(xiàn)，求解器Cplex 的平均時(shí)間約為Gurobi 的三倍。不同模型的運(yùn)行時(shí)間是不同的，受計(jì)算的復(fù)雜度影響。MILP 模型結(jié)構(gòu)簡單，運(yùn)行時(shí)間短，是固定的。由于隨機(jī)參數(shù)的影響，MISP模型效率低且不穩(wěn)定。值得注意的是，整體來看，在數(shù)據(jù)規(guī)模較小的情況下，MISP模型和MILP模型的總運(yùn)算時(shí)間都不長，可以在短時(shí)間內(nèi)解決運(yùn)算方案，不會影響管理者在時(shí)間方面的決策。由于本文構(gòu)建的案例結(jié)構(gòu)比較簡單，數(shù)據(jù)規(guī)模較小，時(shí)間長短差異不大。當(dāng)模型中的約束和變量增加時(shí)，模型的運(yùn)行效率可能會有所不同。因此，本文構(gòu)建的模型應(yīng)用于其他領(lǐng)域時(shí)，運(yùn)行效率會受到模型規(guī)模的影響?？梢钥闯?，TSLO 模型的運(yùn)行時(shí)間不受安全參數(shù)等級的影響，TSRC模型受影響較大，隨著安全參數(shù)等級的提高，不論在哪種求解器中，運(yùn)行的時(shí)間總是呈現(xiàn)出波動上升的趨勢，這說明安全參數(shù)等級的增加增大了計(jì)算的復(fù)雜度。

4.2 成本的影響因素分析

圖4 模型的時(shí)間效率對比(運(yùn)行100次)

圖5分析了不確定需求參數(shù)的波動對總成本的影響，以TSLO模型為參考基準(zhǔn)(成本為100%)?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著需求參數(shù)的波動性增大，也就是不確定集的邊界擴(kuò)大，與TSLO模型相比，TSRC模型的總成本呈現(xiàn)出不斷上升的趨勢(最大增幅約2%)，這就是魯棒優(yōu)化模型在處理不確定參數(shù)時(shí)所必須付出的魯棒代價(jià)，即需要更高的成本削弱不確定參數(shù)的影響。在現(xiàn)實(shí)管理決策的過程中，管理者可以憑借歷史數(shù)據(jù)估算相應(yīng)的隨機(jī)參數(shù)的分布情況，進(jìn)一步就可以估算相應(yīng)的運(yùn)營成本。

圖6從安全參數(shù)的角度分析了安全參數(shù)等級的提高對物流運(yùn)輸成本的影響，以TSLO模型的參數(shù)為基準(zhǔn)(成本為100%)?？梢园l(fā)現(xiàn)，TSLO 模型的參數(shù)不受安全參數(shù)等級變化的影響，當(dāng)然也無法解決不確定參數(shù)下的規(guī)劃問題。TSRC模型中，隨著參數(shù)等級的提高，模型的總成本呈現(xiàn)出嚴(yán)格單調(diào)遞增的趨勢，最大增幅約為4.2%，這是因安全參數(shù)等級的提高而付出的魯棒代價(jià)。在市場化運(yùn)作下的商砼配送企業(yè)中，由于不確定性信息的存在，使得成本的增長是在所難免的，企業(yè)決策者若能及時(shí)發(fā)現(xiàn)和規(guī)避不確定信息的干擾對成本的控制，則會起到較好的效果。

圖5 成本對不確定參數(shù)波動的響應(yīng)性

圖6 成本對安全參數(shù)等級變化的響應(yīng)性

4.3 商砼配送的路徑規(guī)劃設(shè)計(jì)

圖7是根據(jù)模型計(jì)算得出的路徑規(guī)劃方案。以最小化運(yùn)營成本為研究目標(biāo)，在綜合考慮了各項(xiàng)約束的情況下，路徑規(guī)劃示意圖以商砼攪拌站為中心，呈現(xiàn)放射狀的分布，每條線代表一條運(yùn)輸路徑，每條運(yùn)輸路徑上存在多輛車直達(dá)運(yùn)輸，由于單個(gè)車輛的運(yùn)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足不了需求節(jié)點(diǎn)的運(yùn)輸，因而路徑上不存在轉(zhuǎn)運(yùn)或者TSP(旅行商)問題。在時(shí)間場景下，運(yùn)輸路徑根據(jù)實(shí)際場景展開，圖中規(guī)劃僅顯示是點(diǎn)和終點(diǎn)的相對關(guān)系。

圖8描述了各個(gè)商砼攪拌站的服務(wù)占比情況。可以發(fā)現(xiàn)，在四個(gè)候選商砼攪拌站中，H3,H4 所承擔(dān)的服務(wù)供應(yīng)占比較大，在TSLO模型中，H3 和H4 供應(yīng)占比均為31.8%；在TSRC 模型中，H3 的供應(yīng)占比為34.1%，H4 的供應(yīng)占比為29.6%。這說明這兩個(gè)攪拌站的重要程度較高，與此同時(shí)，在TSRC模型中，H3 的比重有所增加而H4 的比重有所降低，從模型優(yōu)化的角度分析，原因在于考慮了不確定參數(shù)條件下的問題時(shí)，為抵抗不確定參數(shù)的干擾，需要調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，以達(dá)到降低成本的效果。由于H3 站點(diǎn)距離需求節(jié)點(diǎn)更近，因而適當(dāng)?shù)脑黾悠浞?wù)比重有利于優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，節(jié)約運(yùn)營成本。

4.4 服務(wù)滿意度

圖9分析了碳稅增加對服務(wù)滿意度的影響，服務(wù)滿意度以預(yù)設(shè)抵達(dá)時(shí)間和預(yù)設(shè)碳排放量的差額為基準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算，反映了各個(gè)模型的服務(wù)滿意度對碳稅波動的響應(yīng)性。以基準(zhǔn)碳稅為基礎(chǔ)，以10%為浮動區(qū)間，可以觀察到隨著碳稅額的增加，服務(wù)滿意度水平呈現(xiàn)出增加的趨勢。這說明碳排放成本的增加對企業(yè)優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和優(yōu)化運(yùn)營模式起到了較好的誘導(dǎo)作用。這一研究結(jié)論可以為相關(guān)決策者提供管理建議，即適當(dāng)?shù)奶岣咛寂欧懦杀居欣趯?shí)際運(yùn)作活動中主動選擇低碳發(fā)展路徑，主動改變和革新能耗較高的管理策略，這對商砼配送企業(yè)是較好的低碳轉(zhuǎn)型發(fā)展道路。

圖7 商砼配送的路徑規(guī)劃設(shè)計(jì)

圖8 四個(gè)商砼攪拌站供應(yīng)服務(wù)占比

圖9 碳稅波動對服務(wù)水平的影響

5 結(jié)語

本文針對商砼配送作業(yè)管理的協(xié)同問題，在充分分析了商砼攪拌站固定成本、車輛的綜合運(yùn)輸成本以及碳排放成本的基礎(chǔ)上，將其歸納為多目標(biāo)優(yōu)化模型，在分析了多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的關(guān)聯(lián)后，將其轉(zhuǎn)化為兩階段線性優(yōu)化模型。在考慮不確定參數(shù)的影響后，進(jìn)一步將兩階段線性優(yōu)化模型拓展為兩階段魯棒等價(jià)模型，并通過案例驗(yàn)證了本文所提出模型算法的實(shí)用性和有效性。

本文研究的不足在于，前提假設(shè)是資源滿足型企業(yè)的規(guī)劃問題，未考慮供給不足的情況。此外，現(xiàn)實(shí)市場中還存在自建商砼攪拌站的大型企業(yè)，這些問題或許是今后的研究重點(diǎn)。