一元一次不等式組的三種求解方法

吳雨桐

解一元一次不等式組的方法是：先求出每一個(gè)不等式的解集，再找出它們的公共部分.怎樣找公共部分是同學(xué)們求不等式組解集的一個(gè)難點(diǎn).突破這一難點(diǎn)的方法有三種：數(shù)軸法、圖象法、口訣法.下面結(jié)合例題進(jìn)行分析.同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)可以靈活選擇不同的解答方法.

一、數(shù)軸法

數(shù)軸在解一元一次不等式組中有著重要的作用.利用數(shù)軸法求解不等式組的解集時(shí)，首先確定出每一個(gè)不等式的解集，然后在數(shù)軸上分別表示出來.每個(gè)一元一次不等式的解集在數(shù)軸上的表示都是一條射線，這些射線都通過的部分就是這些不等式的解集的公共部分.如果公共部分不存在，那么不等式組就無解.

例1 已知 m 為任意實(shí)數(shù)，求不等式組{x（1） m（x）<-32（，），的解集.

解析：由不等式1-x <3化簡(jiǎn)得x >2，先在數(shù)軸上表示，如圖1所示，

接著，在數(shù)軸上表示出解集 x 2，解得 m >4時(shí)，該不等式組的解集為2

當(dāng)表示數(shù) m -2的點(diǎn)在表示2的點(diǎn)的左邊，或與2重合，即 m -2≤2，解得 m ≤4時(shí)，該不等式組無解

例2已知 m 為任意實(shí)數(shù)，求不等式組í ? x >2， x <5， x < m -2，的解集.

解析：和例1相比較，該不等式組中不等式的個(gè)數(shù)增加到3個(gè)，需求出這3個(gè)不等式解集的公共部分，此時(shí)借助數(shù)軸更能起到化抽象為直觀的作用.

先在數(shù)軸上表示出第一、二個(gè)不等式解集的公共部分，如圖2，

再借助數(shù)軸可直觀地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)表示數(shù) m -2的點(diǎn)在表示2的點(diǎn)上邊或左邊，即 m -2≤2，m ≤4時(shí)，3個(gè)不等式的解集沒有公共部分，原不等式組無解;

當(dāng)表示數(shù) m -2的點(diǎn)在2和5之間，即2< m -2<5，4< m < x < m -2;

當(dāng)表示數(shù) m -2的點(diǎn)在表示5的點(diǎn)上邊或右邊，即 m -2≥5，m ≥7時(shí)，原不等式組的解集為2< x <5 .

說明：利用數(shù)軸來確定解集時(shí)，要特別注意兩個(gè)端點(diǎn)處是空心還是實(shí)心.同時(shí)要牢記：大于向右畫，小于向左畫，有等號(hào)畫實(shí)心圓點(diǎn)，無等號(hào)畫空心圓圈.

二、圖象法

一元一次不等式與一次函數(shù)之間存在著密切聯(lián)系，因此，可根據(jù)一次函數(shù)圖象確定不等式組的解集，具體步驟如下：（1）在同一直角坐標(biāo)系中，把每個(gè)不等式的解集所確定的區(qū)間都表示出來;（2）利用函數(shù)圖象求出上述各解集的交集所確定的區(qū)間;（3）寫出不等式組的解集.

例3如圖3，觀察圖象，可以得出不等式ì3x +1>0，

A.x <

B.-

C.0

D. -

解析：由圖象知，函數(shù) y =3x +1與x 軸交于點(diǎn)（- ，0），

即當(dāng) x >時(shí)，函數(shù)值 y 的范圍是 y >0;

因而當(dāng) y >0時(shí)，x 的取值范圍是x >- ;

函數(shù) y =-0.5x +1與 x 軸交于點(diǎn)（2，0），

即當(dāng) x <2時(shí)，-0.5x +1>0，即0.5x -1<0;

因而當(dāng) y >0時(shí)，x 的取值范圍是 x <2;所以，原不等式組的解集是-

故選：D項(xiàng).

例4已知，函數(shù) y =kx + m 和 y =ax + b 的圖象交于點(diǎn) P ，則根據(jù)圖象可得不等式組

解析：由圖象知，當(dāng) kx+m >0時(shí)，x >-2.

當(dāng) ax + b > kx +m 時(shí)，x <-1.

∴不等式組的解集為：-2< x <-1.

說明：利用圖象法求解不等式組的解集，關(guān)鍵就要在圖象上找到對(duì)應(yīng)的部分，再由圖象確定對(duì)應(yīng)的 x 的取值范圍，即為不等式（組）的解集.

三、口訣法

由兩個(gè)一元一次不等式所組成的一元一次不等式組，變換為標(biāo)準(zhǔn)形式后，可分為以下表格所列出的四種基本類型，求不等式的解集即確定它們的公共部分.這時(shí)可利用口訣法，根據(jù)“同大取大，同小取小;大小小大中間找，大大小小解沒了”這四句口訣，快速確定不等式組的解集.

例5解不等式組

解析：解不等式①，得 x ≤3;

解不等式②，得 x >-2.

兩個(gè)不等式一個(gè)含有大于號(hào)，一個(gè)含有小于或等于號(hào)，并且是 x 大于兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)-2，小于等于較大的數(shù)3.根據(jù)“大小小大中間找”，這個(gè)不等式組的解集是-2

例6解不等式組〈

解析：解不等式①，得 x <-3;

解不等式②，得 x >.

兩個(gè)不等式的不等號(hào)方向相反，并且 x 是大于兩個(gè)數(shù)中的較大的數(shù)，同時(shí)小于較小的數(shù).根據(jù)“大大小小解沒了”，所以這個(gè)不等式組無解.

說明：在填空題、選擇題中運(yùn)用口訣法可以提高解題速度;在計(jì)算題等大題中口訣法可以起檢驗(yàn)的作用.所以，掌握好口訣法對(duì)同學(xué)們解答一元一次不等式組有著重要作用.