彈性力學(xué)與流體力學(xué)基本方程的統(tǒng)一性1)

黃忠文 張博文 唐明哲 王發(fā)達(dá) 徐欽旭

(武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430205)

彈性力學(xué)是研究彈性體在載荷作用下產(chǎn)生應(yīng)力和彈性變形規(guī)律的科學(xué)[1]，研究對(duì)象一般為彈性固體。流體力學(xué)是研究流體平衡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)，研究對(duì)象一般為易流動(dòng)且極易變形的流體[2]。目前，在眾多實(shí)際工程中普遍存在固體與流體相互作用的現(xiàn)象[3-4]，彈性力學(xué)與流體力學(xué)的交叉研究越來越深入[5]。彈性力學(xué)中的彈性固體與流體力學(xué)中的流體均為連續(xù)介質(zhì)模型[6-7]。流體力學(xué)中的流體微團(tuán)是基于流體質(zhì)點(diǎn)提出的一個(gè)重要概念，流體微團(tuán)是流體中任意小的微元體積[8]。流體微團(tuán)與彈性力學(xué)中的微元體相對(duì)應(yīng)，存在一定的共性，所以在一定程度上可以利用彈性力學(xué)的理論去推導(dǎo)流體力學(xué)的部分方程。

流體的平衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)彈性力學(xué)中彈性體的平衡狀態(tài)，流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)彈性力學(xué)中彈性體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。利用彈性力學(xué)的微元體平衡方程，并結(jié)合流體的平衡性質(zhì)，可以推導(dǎo)出流體靜力學(xué)的歐拉平衡方程。流體動(dòng)力學(xué)中的不可壓縮流體N–S方程具有極其重要的地位，20世紀(jì)就有學(xué)者針對(duì)N–S方程的求解進(jìn)行了研究[9-10]，但N–S方程的推導(dǎo)較為復(fù)雜，需要利用霍姆赫茲定理與斯托克斯假定進(jìn)行推導(dǎo)。本文直接利用彈性力學(xué)的微元體動(dòng)力學(xué)方程、幾何方程與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并結(jié)合不可壓縮黏性流體的性質(zhì)，推導(dǎo)出N–S方程。

1 流體靜力學(xué)的靜壓強(qiáng)

流體靜力學(xué)中，平衡流體的受力達(dá)到平衡，而彈性力學(xué)中，任意形狀的物體達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，同樣受力平衡。不難發(fā)現(xiàn)，平衡流體中的微元體主要受壓強(qiáng)影響，而彈性力學(xué)中的微元體受到了正應(yīng)力及切應(yīng)力的影響，那么彈性力學(xué)中的正應(yīng)力可對(duì)應(yīng)于流體力學(xué)中的壓應(yīng)力，但需要注意平衡流體具有不存在切應(yīng)力的特點(diǎn)[11]。

如圖1所示，在三個(gè)坐標(biāo)面均有垂直平面的正應(yīng)力及平行于平面的切應(yīng)力，斜截面用V表示，斜截面上的應(yīng)力為PV，該應(yīng)力可分解為三個(gè)沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量XV,YV,ZV，也可以分解為正 應(yīng) 力σV與 切 應(yīng) 力τV，斜 截 面 的 外 法 線單位矢量為λ(l,m,n) 。為考察一點(diǎn)處的受力情況，微元四面體的體積接近為0，相當(dāng)于縮小為一個(gè)點(diǎn)。

圖1 微元體各面受力分析

物體整體達(dá)到受力平衡時(shí)，微元體也會(huì)達(dá)到力的平衡。根據(jù)微元體在三個(gè)坐標(biāo)方向上的力平衡方程，可得到斜截面的三個(gè)應(yīng)力分量為

此公式稱為彈性力學(xué)中的柯西公式。

本文將柯西公式應(yīng)用于流體時(shí)，由于平衡流體的微元體此時(shí)不存在切應(yīng)力，故有

于是得到

流體微元的壓應(yīng)力對(duì)應(yīng)柯西公式中的正應(yīng)力，即

結(jié)合式（3）和式（4）可以推得

在流體力學(xué)中，式（5）表示從任何方向作用于一點(diǎn)上的流體靜壓強(qiáng)均是相等的，反映了流體靜壓強(qiáng)的概念。

2 流體靜力學(xué)的歐拉平衡微分方程

對(duì)于微元六面體進(jìn)行研究分析時(shí)，單位體積力分量用Fbi表示。

彈性力學(xué)中的平衡微分方程為

根據(jù)平衡流體的微元體中切應(yīng)力不存在的條件，得出

靜壓強(qiáng)用P表示，則平衡流體的微元體的正應(yīng)力為

單位質(zhì)量力的分量用fi表示，密度用ρ表示，則單位體積力與單位質(zhì)量力的關(guān)系為

再將式（8）和式（9）代入到式（7）中可以得到

式（10）即為歐拉平衡微分方程，該方程表明流體在靜平衡狀態(tài)時(shí)，其內(nèi)部的壓力分布情況僅與其體積力或質(zhì)量力有關(guān)。該推導(dǎo)過程也表明流體的靜平衡狀態(tài)與彈性體靜平衡狀態(tài)在本質(zhì)上是一樣的。

3 流體動(dòng)力學(xué)的N–S方程

流體動(dòng)力學(xué)問題主要研究不可壓縮黏性流體，黏性流體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，其內(nèi)部的切應(yīng)力不再為0。位移分量函數(shù)分別表示為

速度分量函數(shù)分別為

微元體不平衡時(shí)采用達(dá)朗貝爾原理，加上慣性力后，可以得到彈性體動(dòng)力學(xué)微分方程為

流體微元體所受到的正應(yīng)力σi為壓應(yīng)力pi，式（13）應(yīng)用到流體力學(xué)微元體中有

彈性力學(xué)靜力學(xué)幾何方程為

動(dòng)力學(xué)問題主要研究某個(gè)瞬時(shí)開始在dt時(shí)間段的動(dòng)力學(xué)方程，則動(dòng)力學(xué)的幾何方程為

該動(dòng)力學(xué)的幾何方程對(duì)彈性動(dòng)力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)都是適用的。

彈性力學(xué)靜力學(xué)的本構(gòu)方程為

式中，G為剪切模量，λ為拉梅常量，θ為體積應(yīng)變。

若體積不變，則式（17）中的體積應(yīng)變?chǔ)?0 ，得到

根據(jù)流體力學(xué)一維運(yùn)動(dòng)的牛頓內(nèi)摩擦定律，切應(yīng)力與速度梯度成正比[12]，即

又剪切角度即切應(yīng)變，為

由式（19）和式（20）得到切應(yīng)力為

即流體力學(xué)中運(yùn)動(dòng)變形產(chǎn)生的應(yīng)力與單位時(shí)間內(nèi)的應(yīng)變即應(yīng)變速度成正比。

彈性力學(xué)中的剪切模量G相當(dāng)于流體力學(xué)中的動(dòng)力黏度μ，根據(jù)式（18）和式（21），可以得到不可壓縮流體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

式（22）是不可壓縮流體流動(dòng)變形時(shí)由于黏性的影響而產(chǎn)生的應(yīng)力，再根據(jù)式（16）寫成直角坐標(biāo)形式的方程為

流體微元體與固體微元體不同，其本身還存在一個(gè)靜壓強(qiáng)p產(chǎn)生的應(yīng)力，那么流體微元體總應(yīng)力為

將式（24）中總應(yīng)力的應(yīng)力分量代入式（14）中第一個(gè)方程得到

再將式（23）代入式（25）中可以得到

整理得到

同理可得到y(tǒng),z方向上的公式

聯(lián)立式（28）和式（29）及式（30）并結(jié)合運(yùn)動(dòng)黏度υ為動(dòng)力黏度μ和密度ρ的比值，可以得到不可壓縮實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式為

式（31）為流體動(dòng)力學(xué)中不可壓縮黏性流體的N–S方程。

4 結(jié)論

彈性力學(xué)中的彈性體與流體力學(xué)中的不可壓縮流體具有相同的可變形性，且都符合連續(xù)介質(zhì)模型的假定，但流體的性質(zhì)與彈性體存在一定的差異。本文利用彈性力學(xué)中微元體的受力分析方法結(jié)合流體力學(xué)中流體在不同狀態(tài)下的條件，推導(dǎo)出流體力學(xué)中靜壓強(qiáng)概念、歐拉方程以及N–S方程，實(shí)際上是把流體微元看成固體微元的一種特殊情況。與彈性固體中體積可變化的微元體相比較，不可壓縮流體的微元體是一種體積不變的微元體，將不可壓縮流體的這種特性作為一種條件代入到彈性力學(xué)的基本方程中，并直接利用彈性力學(xué)中的動(dòng)力學(xué)微分方程，幾何方程，本構(gòu)方程，并結(jié)合不可壓縮流體微元體的特性，可以推導(dǎo)得出N–S方程。該推導(dǎo)過程相較傳統(tǒng)流體力學(xué)方法更好理解，并將兩種學(xué)科內(nèi)在的基本方程聯(lián)系起來，加深了對(duì)彈性體與不可壓縮黏性流體的交融程度的理解。由此表明，彈性力學(xué)與流體力學(xué)的基本方程具有高度的統(tǒng)一性，這種研究結(jié)果會(huì)極大地促進(jìn)彈性力學(xué)與流體力學(xué)兩種學(xué)科的深度融合統(tǒng)一與相互促進(jìn)發(fā)展，可以進(jìn)一步改善力學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容，加深理解力學(xué)基本原理，有效提高力學(xué)課程教學(xué)水平。