旋轉(zhuǎn)運動SMA層合梁動力學建模與非線性自由振動分析

王 航， 穆安樂， 黃澤波

(1.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院， 陜西 西安 710048；2.西安鐵路職業(yè)技術學院 機電工程學院， 陜西 西安 710026)

復合材料有著廣闊的應用前景。復合材料質(zhì)量輕，有很大的剛度和阻尼，其優(yōu)異的力學特性使得復合材料尤其是層合材料有著非常廣泛的應用前景。復合材料制成的旋轉(zhuǎn)結(jié)構在很多場合下均有使用，例如汽輪機葉片、壓縮機、風機葉片等。形狀記憶合金(SMA)是一種非常有應用前景的智能材料。SMA在受熱的情況下會表現(xiàn)出很大的恢復力，可以作為一種驅(qū)動器使用。這種驅(qū)動器可以制作成很小的體積，不但能省去電機驅(qū)動過程中的一些復雜的傳動機構，而且有研究表明，內(nèi)嵌SMA絲的層合材料制成的機械臂可以很好地抑制振動。

SMA的理論研究難點是如何建立精確的一維SMA本構關系。SMA的應變可以歸結(jié)為熱變形和馬氏體相變兩部分[1-2]。在此基礎之上，有不少文獻對內(nèi)嵌SMA絲的復合結(jié)構進行了分析。研究的對象主要是梁、板和殼。研究顯示，溫度變化時內(nèi)嵌SMA絲的復合梁，其自由振動的基頻是不同的，SMA的體積分數(shù)對后屈曲特性的影響也是顯著的，主要表現(xiàn)為降低熱屈曲響應。當SMA的體積分數(shù)、初始應變增大時，基頻的變化趨勢是上升的，基頻曲線同橫軸的交點后移[3-4]。內(nèi)力的變化趨勢同基頻曲線的變化趨勢是相同的，屈曲變形也隨著SMA體積分數(shù)的增大而減小，屈曲溫度低于奧氏體開始溫度時，SMA的存在可以使失穩(wěn)的梁結(jié)構處于穩(wěn)定狀態(tài)[5]。SMA的存在減小了層合板的變形撓度[6]。SMA層合板處于復雜的物理場中時，比如在熱場中受一階氣動活塞力作用時，系統(tǒng)的非線性顫振特性是不同的，主要表現(xiàn)為隨著SMA體積分數(shù)的增加，穩(wěn)定區(qū)域逐漸擴大，由此可得，SMA可以提高結(jié)構的穩(wěn)定性[7]。Dehkordi[8]用非線性有限元與增量迭代算法進行仿真計算，發(fā)現(xiàn)SMA的存在降低了板的振幅。Kumar等[9]用分層理論重新描述了位移場，得到SMA絲的鋪設角度越大，屈曲溫度越高。Karimi等[10]在分析SMA層合板時，沒有考慮系統(tǒng)的非線性特性，并發(fā)現(xiàn)板的長寬比增大時，基頻整體上是上升的。相應的，在大的長寬比時，記憶合金的恢復應力對基頻的影響作用下降了。文獻[11]使用遺傳算法獲得了最佳的SMA絲鋪設次序和敷設角度，獲得了不同邊界條件下SMA層合板的最優(yōu)固有頻率?？梢允褂脧V義微分求積法分析內(nèi)嵌SMA絲的圓柱殼的固有振動特性。SMA層越靠近圓柱殼的內(nèi)壁，系統(tǒng)的基頻越大[12]。對于圓錐殼而言，增大半頂角能有效地增加基頻；沿中性面對稱布置SMA層時，可以增加基頻，而單層布置時基頻變小了[13]。任勇生等[14]發(fā)現(xiàn)，SMA層合梁非線性固有頻率增大時，其振幅也是增大的，而對應線性系統(tǒng)沒有該特性。事實上，就目前的研究成果而言，記憶合金一維本構模型是所有內(nèi)嵌SMA絲層合結(jié)構的研究基礎，并且，研究對象的邊界條件也僅限于簡支和固支的情況。而關于大范圍旋轉(zhuǎn)運動梁的自由振動，也有著豐富的研究成果。黃意新等[15]通過與有限元結(jié)果對比，認為Chebyshev譜方法計算的旋轉(zhuǎn)梁固有頻率是正確的。此外，旋轉(zhuǎn)Rayleigh梁的長細比等相關參數(shù)會對臨界轉(zhuǎn)速產(chǎn)生影響，且臨界轉(zhuǎn)速隨著長細比的增大而減小[16]。范紀華等[17]使用Bezier曲線離散動力學方程，得到不同角速度下，旋轉(zhuǎn)梁厚度變化對固有頻率的影響將大于寬度的影響。旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁的頻率會隨著轉(zhuǎn)速的增加而增大，并隨著長厚比的增加而減小[18]。而且在分析旋轉(zhuǎn)結(jié)構的固有頻率時，總是認為系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)角速度是定值[19-21]。Aksencer等[22]研究了旋轉(zhuǎn)層合梁的固有頻率，輪轂比小于0.5時，轉(zhuǎn)速增加則固有頻率增加；輪轂比大于1時，會產(chǎn)生頻率為零的情況。

通過對現(xiàn)有文獻的總結(jié)可知，關于SMA層合結(jié)構的振動研究主要集中在基頻以及熱屈曲方面，而對于旋轉(zhuǎn)運動SMA層合梁的非線性自由振動，尚未被涉及。本文使用Von Karman大變形理論來描述梁位移與應變的關系，建立了層合梁任意質(zhì)點在慣性坐標系下的位移表達式，用Brinson模型描述了不同溫度下SMA的恢復應力和馬氏體體積分數(shù)。使用Hamilton原理建立了SMA層合梁大范圍旋轉(zhuǎn)運動的動力學方程。研究了系統(tǒng)參數(shù)變化時，SMA層合梁的動力學響應。基于內(nèi)力恒定的假設，得到了恒定轉(zhuǎn)速下，旋轉(zhuǎn)SMA層合梁橫向振動的動力學方程。研究了SMA在不同初始應變、體積分數(shù)、石墨纖維鋪設角度以及SMA所處鋪層不同時，固有頻率的變化。

1 系統(tǒng)建模

1.1 SMA本構方程

盡管有多種描述SMA本構關系的模型，但是Brinson模型是目前主流的分析方法，大部分研究SMA熱屈曲與自由振動的文獻都采用了該模型[3-7]。文獻[1]將SMA的變形視為由熱應力引起的變形和由馬氏體相變引起的形變兩部分組成。依據(jù)Brinson模型，SMA中馬氏體的體積分數(shù)為：

ξ=ξS+ξT

(1)

式中：ξS為應力誘發(fā)的馬氏體相變體積分數(shù)；ξT為溫度誘發(fā)的馬氏體相變體積分數(shù)。

相變轉(zhuǎn)變?yōu)閵W氏體時，馬氏體的體積分數(shù)為：

(2)

(3)

(4)

式中，ξ0為初始狀態(tài)時的馬氏體體積分數(shù)；σr是SMA恢復應力；T為溫度；ξS0為初始應力誘發(fā)的馬氏體體積分數(shù)；ξT0為初始溫度誘發(fā)的馬氏體體積分數(shù)；CA是應力影響系數(shù)。有關SMA的其他參量參考文獻[5]。

又可知，SMA楊氏模量為：

(5)

式中：EA和EM分別表示SMA在純奧氏體和純馬氏體相時的楊氏模量。假設SMA處于文獻[5]所述的零初始條件下，當溫度T>As，并且CA(T-Af)<σr

σr=ES(ξ)(ε-εLξS)+ΘΔT

(6)

通過求解式(2)、(5)、(6)聯(lián)立所得的非線性方程組，即可獲得溫度變化時SMA的恢復應力與馬氏體體積分數(shù)，如圖1所示。

圖1 溫度變化時SMA恢復應力與馬氏體體積分數(shù)Fig.1 Recovery stress and volume fraction of martensite under temperature change

由圖1可知，溫度低于奧氏體開始溫度時，馬氏體體積分數(shù)為定值。隨著溫度逐漸升高，圖1(a)中顯示SMA恢復應力有上升的趨勢，而圖1(b)中馬氏體體積分數(shù)是下降的，直至溫度達到某個值時，SMA中將不再含有馬氏體成分，變?yōu)榧儕W氏體，此時，SMA恢復應力曲線的上升趨勢變緩。此外，當初始應變增大時，轉(zhuǎn)變?yōu)榧儕W氏體的臨界溫度也隨之增大。

1.2 系統(tǒng)的動能和應變能

SMA絲和石墨纖維內(nèi)嵌在不同的環(huán)氧樹脂基底層中。做旋轉(zhuǎn)運動SMA層合梁示意圖，如圖2所示。其中，慣性坐標系為OXYZ，中心剛體的附體坐標系為O1X1Y1Z1，SMA層合梁的附體坐標系為O2X2Y2Z2。中心剛體的半徑為R，層合梁繞剛體中心軸線做旋轉(zhuǎn)運動的角位移為φ，角速度為Ω。

SMA層合梁的長度為L，寬度為B，總厚度為H，鋪層都是等厚的，總的層數(shù)為Nl。

圖2 系統(tǒng)簡圖Fig.2 System diagram

梁內(nèi)任意質(zhì)點P在慣性系OXYZ下的矢徑為：

(7)

令式(7)對時間求導，可得質(zhì)點的速度為：

(8)

質(zhì)點任意位移與中面位移有如下關系：

(9)

(10)

其中，u、w是梁的中面位移，f=-z。

由式(8)、(9)、(10)可知系統(tǒng)的動能為：

(11)

根據(jù)Von Karman大變形理論，應變?yōu)椋?/p>

(12)

(13)

這里的f同上。

可知正應力為：

(14)

應變能為：

(15)

整理得內(nèi)力和彎矩為：

(16)

其中，NT、MT是SMA的熱應力、熱彎矩；Nr、Mr是SMA的恢復力、恢復彎矩。具體表達式為：

同時，等效剛度為：

在低轉(zhuǎn)速的情況下，離心力不大，離心力產(chǎn)生的變形可忽略不計。因此，這里不考慮離心力勢能。

1.3 動力學方程

應用Hamilton原理建立系統(tǒng)的動力學方程。將式(11)、(15)代入式(17)。根據(jù)Hamilton變分原理：

(17)

其中，t0、t1為任意兩個固定時刻。旋轉(zhuǎn)SMA層合梁的運動方程為：

(18)

(19)

具體化簡過程見附錄2。

其中廣義慣量為：

對方程進行簡化，設軸向力N沿著x軸是恒定的[4]，即：

(20)

可知

(21)

經(jīng)過相應的積分運算可知：

(22)

(23)

(24)

又簡支-簡支梁的邊界條件為：u(0,t)=0，u(L,t)=0，u′′(0,t)=0，u′′(L,t)=0。

將邊界條件代入式(24)，可得：

(25)

(26)

將式(25)、(26)回代入式(24)、(19)，則系統(tǒng)方程可化簡為單自由度運動方程：

(27)

系統(tǒng)的振動方程整理為：

(28)

可知，系統(tǒng)簡化后是一個非線性方程。非線性系統(tǒng)固有頻率的求解有很多種方法，比如諧波平衡法、Ritz法等。

2 振動分析

使用振動分析中常用的Ritz法進行求解[23]，設橫向中面位移為：

w(x,t)=aW(x)cos(ωt)

(29)

(30)

將式(29)代入式(30)中，經(jīng)過運算，可得：

(31)

由于層合材料的鋪層沿中性面是對稱布置的，故等效慣量I1=0，式(31)可整理為：

(32)

構建方程如下：

(33)

其系數(shù)為：

式(33)為四階微分方程，其通解為：

(34)

式(34)中系數(shù)表達式為：

其中，W(x)滿足簡支-簡支梁邊界條件：W(0)=0，W(L)=0，W″(0)=0，W″(L)=0。由邊界條件可以得到關于系數(shù)的等式關系，并且由等式系數(shù)行列式為零，可得模態(tài)函數(shù)為：

W=C4sin(nπx)

(35)

(36)

其中，Ω為穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)角速度。計算上式即可獲得固有頻率。從非線性固有頻率的表達式可知，由于廣義慣量I2的值很小，故在低轉(zhuǎn)速的情況下，大范圍旋轉(zhuǎn)運動對系統(tǒng)固有頻率的影響不大。

3 數(shù)值計算

層合梁的長度L=1 m，寬度B=0.1 m，厚度H=0.01 m，每一鋪層的厚度均相等。SMA的相關參數(shù)如表1所示，石墨/環(huán)氧樹脂鋪層的物理參數(shù)如表2所示。層合梁的鋪層為8層，纖維絲鋪層沿中性面對稱布置，鋪層與坐標正方向夾角為[0°SMA/90°graphite/90°graphite/90°graphite]，鋪層是等厚的。初始情況下，ξT0=0，T0=20 ℃，SMA的初始應力σ0=0，ε0=0.2%，VS=3%。

表1 SMA參數(shù)Tab.1 SMA parameters

表2 石墨/環(huán)氧樹脂鋪層的物理參數(shù)Tab.2 Physical parameters of graphite / epoxy resin layer

求解式(36)可得不同角速度時的基頻，如圖3所示。由圖3可知，在其他條件不變的情況下，轉(zhuǎn)速增大時，系統(tǒng)的基頻減小，但是不同轉(zhuǎn)速下基頻的變化趨勢是一致的。

圖3 不同角速度時的基頻Fig.3 Fundamental frequency at different angular velocities

即隨著溫度上升，SMA轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷яR氏體時，基頻下降；溫度繼續(xù)上升，SMA轉(zhuǎn)變?yōu)轳R氏體時，基頻上升。在SMA轉(zhuǎn)變?yōu)榧儕W氏體的過渡階段，溫度持續(xù)上升，熱應力增加快于SMA的恢復應力，導致層合梁剛度減小，基頻也隨之減小。由圖可知，SMA轉(zhuǎn)變?yōu)榧儕W氏體的相變溫度為74 ℃，且不隨旋轉(zhuǎn)角速度的變化而變化。

圖4是不同初始應變時基頻的變化曲線。此時，設SMA層合梁的旋轉(zhuǎn)角速度恒定，Ω=40 rad·s-1。研究不同初始應變下基頻隨溫度的變化趨勢。

圖4 不同SMA初始應變時的基頻Fig.4 Fundamental frequency of SMA with different initial strains

圖4表明，當溫度高于奧氏體起始溫度34.5 ℃時，SMA產(chǎn)生的拉力變大，從而顯著增加了梁的剛度，導致基頻增加。奧氏體溫度結(jié)束之后，溫度升高對梁的膨脹作用大于SMA恢復應力的收縮作用，因此基頻降低。初始應變的增大可以顯著增加轉(zhuǎn)變?yōu)榧儕W氏體的溫度，最大的轉(zhuǎn)變溫度為101 ℃。

圖5是SMA體積分數(shù)對基頻的影響曲線。

圖5 不同SMA體積分數(shù)時的基頻Fig.5 Fundamental frequency of SMA with different volume fractions

當SMA絲的體積分數(shù)變大時，基頻的變化幅度更加顯著，即基頻曲線切線的斜率更大；而且，所有的基頻變化曲線都經(jīng)過了(49，223)這個點，該點處的橫坐標為奧氏體結(jié)束溫度。并且，不同體積分數(shù)下，SMA轉(zhuǎn)變?yōu)榧儕W氏體的溫度是相同的，均為68 ℃。

研究石墨纖維鋪設角度對自由振動的影響，如圖6所示。此時，轉(zhuǎn)速仍然為40 rad/s，SMA絲的鋪設角度為定值0 °，溫度為50 ℃。由圖可知，初始應變越大，系統(tǒng)固有頻率越大。

圖6 石墨纖維鋪設角度對基頻的影響Fig.6 Influence of laying angle of graphite fiber on fundamental frequency

圖6顯示，不同的初始應變下，基頻的變化趨勢是相同的，都是隨著角度的增加，基頻先減小后增大。

由圖7可知，隨著溫度上升，基頻整體呈現(xiàn)出減小的趨勢。

圖7 SMA所在層對基頻的影響Fig.7 Influence of SMA layer ordinal on fundamental frequency

當記憶合金所在的鋪層靠近中性面時，系統(tǒng)的基頻比SMA層位于外層時要大。這是由于記憶合金層位于內(nèi)層時系統(tǒng)的剛度上升所致，而且SMA越靠近內(nèi)層，基頻的變化趨勢就越緩慢。

在進行相關仿真時，除了長高比之外，其他參數(shù)如轉(zhuǎn)速等，是固定不變的。由圖8可知，隨著溫度的上升，基頻整體呈現(xiàn)出減小的趨勢。

圖8 長高比對基頻的影響Fig.8 Influence of aspect ratio on fundamental frequency

長高比增大時，層合梁的固有頻率是增大的。這是因為，厚度是不變的，而長度是厚度的整數(shù)倍，長度增加就使得廣義慣量的增幅比剛度的增幅小。

4 結(jié) 論

利用Hamilton變分原理，建立了大范圍旋轉(zhuǎn)運動SMA層合梁的動力學方程，研究了該系統(tǒng)的自由振動特性。

1) 在旋轉(zhuǎn)角速度一定的情況下，當系統(tǒng)處于馬氏體相變的階段時，系統(tǒng)的基頻隨著溫度的上升而增大，這是因為在該階段SMA恢復應力急劇增大，使得系統(tǒng)剛度增大所致。

2) 旋轉(zhuǎn)角速度增大時，基頻是減小的，但是旋轉(zhuǎn)運動對基頻的影響有限。

3) SMA鋪設角度不變而石墨纖維的角度變化時，固有頻率先減小后增大。

4) SMA鋪層靠近中性面時，系統(tǒng)剛度增大、固有頻率減小，隨著溫度增加，基頻更快地衰減為零。

5) 層合梁的長高比增大時，基頻是增大的。