基于飛蛾火焰優(yōu)化算法的改進(jìn)GM(1,1)模型

閆海霞， 王秋萍， 郭佳麗

(1.西安理工大學(xué)高科學(xué)院, 陜西 西安 710109； 2.西安理工大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710054)

灰色系統(tǒng)理論是我國(guó)學(xué)者鄧聚龍教授于1982年創(chuàng)立[1]，而灰色預(yù)測(cè)模型則是灰色系統(tǒng)理論中重要的部分之一?；疑A(yù)測(cè)模型主要通過累加生成來弱化序列的隨機(jī)波動(dòng)性，尋找其變化規(guī)律的基礎(chǔ)上，再經(jīng)過分析建模，一般具有較高的模擬和預(yù)測(cè)精度，能夠廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域[2]。GM(1,1)模型適用于有較強(qiáng)指數(shù)規(guī)律的序列，描述單調(diào)的變化過程。

灰色預(yù)測(cè)技術(shù)不同于傳統(tǒng)預(yù)測(cè)技術(shù)，它采用近似微分方程來描述一個(gè)時(shí)間序列的未來趨勢(shì)，它的優(yōu)勢(shì)是在一個(gè)預(yù)測(cè)過程中，可以用少到4個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)的情況下建立精度較高的動(dòng)態(tài)模型。這樣，克服傳統(tǒng)方法的局限性是方便的。正因?yàn)榇?，鄧聚龍教授[3]1985年提出了GM模型之后，GM(1,1)便成功地被應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、圖像處理，環(huán)境、農(nóng)業(yè)、林業(yè)等方面并取得了實(shí)效。2000年，劉思峰和鄧聚龍[4]研究了GM(1,l)模型的適用范圍，這為GM(1,l)模型的更加廣泛應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。經(jīng)過近40年的努力，對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型的研究和應(yīng)用取得了一系列豐碩的成果。本文簡(jiǎn)單綜述GM(1,1)模型初始值的優(yōu)化，模型參數(shù)的估計(jì)方法問題。在灰色預(yù)測(cè)模型中影響預(yù)測(cè)值的并不僅僅是辨識(shí)參數(shù)，初值項(xiàng)對(duì)預(yù)測(cè)值的影響同樣也是存在的?；疑獹M(1,1)模型的初始條件對(duì)其精度有著重要的影響,文獻(xiàn)[5]以x(1)(m)為初始條件改進(jìn)灰色預(yù)測(cè)公式，其中m可以根據(jù)實(shí)際情況從1, 2,…,n中選擇。根據(jù)灰色系統(tǒng)理論的新信息優(yōu)先原理，文獻(xiàn)[6-7]在建模過程中賦予新信息較大的權(quán)重，把X(1)的第n個(gè)分量x(1)(n)作為灰色微分模型的初始條件。文獻(xiàn)[8]利用最小二乘法確定GM(1,1)白化權(quán)函數(shù)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)中的常數(shù)C(灰色預(yù)測(cè)模型的邊值)，構(gòu)建了GM(1,1) 的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的最優(yōu)模型。文獻(xiàn)[9]以相對(duì)誤差平方和最小為目標(biāo)優(yōu)化GM(1,1)模型，分別對(duì)初始條件和初始點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，分別考慮原始序列和累加序列的誤差，給出優(yōu)化的計(jì)算公式。GM(1,1)模型的初始值優(yōu)化就是優(yōu)化指數(shù)模型的一個(gè)參數(shù)，這個(gè)參數(shù)不一定是某個(gè)原始數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[10]取1-AGO序列所有分量的加權(quán)平均作為初始條件，權(quán)重由各分量的大小決定，達(dá)到綜合考慮中各分量的作用的目的。文獻(xiàn)[11]針對(duì)GM(1,1)冪模型冪指數(shù)和初始條件優(yōu)化問題，提出了一種基于初始條件和冪指數(shù)協(xié)同優(yōu)化的方法，模型精度優(yōu)于對(duì)比模型。

傳統(tǒng)GM(1,1)模型估計(jì)參數(shù)采用最小二乘準(zhǔn)則，除了最小二乘準(zhǔn)則之外還有最小一乘準(zhǔn)則、極小極大準(zhǔn)則、平均相對(duì)誤差達(dá)到最小準(zhǔn)則和最大相對(duì)誤差達(dá)到最小準(zhǔn)則等。文獻(xiàn)[12]在灰色微分方程中分別采用向后差商、向前差商、中心差商代替導(dǎo)數(shù)的方法，并結(jié)合估計(jì)參數(shù)的不同極小化準(zhǔn)則，得到估計(jì)GM(1,1)模型中參數(shù)的一族算法。近年來，智能算法被用于改進(jìn)模型的精度，文獻(xiàn)[13]采用免疫進(jìn)化算法求解GM(1,1)模型參數(shù)。文獻(xiàn)[14]基于粒子群算法及最小一乘準(zhǔn)則估計(jì)灰色模型參數(shù)。文獻(xiàn)[15]采用加權(quán)最小二乘方法估計(jì)模型參數(shù)。文獻(xiàn)[16]用遺傳算法找最優(yōu)參數(shù)。文獻(xiàn)[17]采用粒子群算法求模型參數(shù)。文獻(xiàn)[18]將蟻獅優(yōu)化算法引入灰色預(yù)測(cè)模型，提出一種用于預(yù)測(cè)中國(guó)天然氣需求的新型自適應(yīng)智能灰色模型。文獻(xiàn)[19]雜合改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法與灰色季節(jié)變化指數(shù)模型，用于預(yù)測(cè)居民的用電量。

基于上述文獻(xiàn)綜述對(duì)GM(1,1)模型的初始值和參數(shù)優(yōu)化仍是一個(gè)值得研究的問題，如何采用算法簡(jiǎn)單、參數(shù)少、易調(diào)節(jié)、計(jì)算量小、尋優(yōu)精度較高的性能良好的智能算法優(yōu)化GM(1,1)模型的初值和模型的參數(shù)是一個(gè)值得研究的方向。本文在分析了GM(1,1)模型自身存在的擬合誤差問題的基礎(chǔ)上，提出飛蛾火焰優(yōu)化算法優(yōu)化的GM(1,1)模型，以期望減少GM(1,1)模型的擬合誤差，提高模擬和預(yù)測(cè)精度。

1 GM(1,1)模型的建模過程及其誤差分析

定義1[2]設(shè)x(0)為原始數(shù)據(jù)序列，x(1)為x(0)的一次累加序列，z(1)為x(1)的緊鄰均值生成序列，則稱：

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(1)

為GM(1,1)模型的基本形式。其中

(2)

定義2[2]稱：

(3)

為GM(1,1)模型的白化方程。式(3)中a,b為兩個(gè)待識(shí)別參數(shù)。

設(shè)x(0)，x(1)，z(1)如定義1所述，令

(4)

(5)

(6)

GM(1, 1)模型白化方程的解為：

(7)

灰色GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)式為：

(8)

(9)

式中：k= 1, 2, 3, …。

從式(9)中可以看出，在GM(1,1)預(yù)測(cè)模型中任意時(shí)刻k(k≥2)的預(yù)測(cè)值的偏差主要是由辨識(shí)參數(shù)和初值引起的，如果我們將灰色GM(1,1)模型和其它技術(shù)相結(jié)合進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，可以提高預(yù)測(cè)能力，改善預(yù)測(cè)精度。下面引入飛蛾火焰優(yōu)化算法對(duì)GM(1,1)模型進(jìn)行改進(jìn)。

2 飛蛾火焰優(yōu)化算法MFO優(yōu)化GM(1,1) 模型

2.1 飛蛾火焰優(yōu)化算法[20]

MFO算法是受飛蛾在夜間使用橫向定位(transverse orientation)飛行這一生物行為的啟發(fā)，利用飛蛾在人工火焰周圍的螺旋飛行軌跡而設(shè)計(jì)的一種元啟發(fā)式算法。其中飛蛾表示在搜索空間中移動(dòng)的搜索個(gè)體，而火焰是到目前為止飛蛾獲得的最佳位置。每只飛蛾以所對(duì)應(yīng)的火焰作為尋優(yōu)指導(dǎo)，不斷調(diào)整自己的飛行軌跡向全局最優(yōu)解靠攏。MFO算法具體描述見下。

1) 種群初始化

在MFO算法中，假設(shè)飛蛾是候選解，問題的變量是飛蛾在搜索空間中的位置。飛蛾種群在矩陣中表示如下：

(11)

在MFO算法中另一個(gè)關(guān)鍵的組成部分是火焰，火焰位置是與飛蛾位置相同維度的變量矩陣：

(12)

同樣對(duì)于所有火焰，用數(shù)組OF來存儲(chǔ)相應(yīng)的適應(yīng)度值，見式(13)。

(13)

2) 位置更新過程

MFO算法給每只飛蛾分配一個(gè)特定的火焰來更新位置，其位置更新的整個(gè)過程分為飛蛾圍繞火焰更新位置和火焰數(shù)量自適應(yīng)減少。

① 飛蛾圍繞火焰更新位置

MFO算法使用對(duì)數(shù)螺旋函數(shù)來更新飛蛾的位置，公式如下：

Mi=S(Mi,Fj)=Di·ect·cos(2πt)+Fj

(14)

式中：Di=|Fj-Mi|是飛蛾Mi與火焰Fj之間的距離；c是與螺旋形狀相關(guān)的常數(shù)；t∈[-1, 1]是隨機(jī)數(shù)，t=-1表示離火焰最近的位置，t=1表示離火焰最遠(yuǎn)的位置。在優(yōu)化過程中，為了進(jìn)一步增強(qiáng)開發(fā)能力，假定t是[r, 1]中的隨機(jī)數(shù)，r從-1線性遞減到-2。

②火焰數(shù)量自適應(yīng)減少

在迭代的初始階段有N個(gè)火焰，MFO算法自適應(yīng)減少火焰數(shù)量直到保留最后一個(gè)最優(yōu)火焰：

(15)

式中：l是當(dāng)前迭代次數(shù)，N是最大火焰數(shù)，T是最大迭代次數(shù)。

2.2 MFO優(yōu)化GM(1,1)模型參數(shù)和初值

基于飛蛾火焰優(yōu)化算法，在優(yōu)化GM(1,1)模型參數(shù)a和b的過程中，同時(shí)搜索最優(yōu)初值。本文在兩個(gè)方面對(duì)GM(1,1)模型改進(jìn)以達(dá)到提高預(yù)測(cè)精度的目的。MFO尋優(yōu)時(shí)需給出每個(gè)變量的上界、下界，下面討論之。

1) 用MFO算法優(yōu)化參數(shù)a,b

由文獻(xiàn)[4]知當(dāng)GM(1,1)發(fā)展系數(shù)|a|≥2時(shí)，GM(1,1)模型無意義，故使用MFO時(shí)，設(shè)置|a|<2。而由a的取值范圍以及x(0)(k)+az(1)(k)=b可得b的取值范圍。

2) 對(duì)于初始值的改進(jìn)，引入一個(gè)邊值修正量μ，記初值:

s=x(0)(1)+μ=x(1)(1)+μ

(16)

基本GM(1,1)模型[2]的初值s=x(1)(1)，文獻(xiàn)[5]中根據(jù)實(shí)際情況s在x(1)(1),x(1)(2), …,x(1)(n)中選擇其中之一，文獻(xiàn)[6]中依據(jù)新信息優(yōu)先原理取s=x(1)(n)。與上述文獻(xiàn)不同的是本文利用飛蛾火焰優(yōu)化算法在連續(xù)區(qū)間[x(1)(1),x(1)(n)]搜索得到最優(yōu)的s。

為了盡量減少原始序列的擬合值與實(shí)際值之間的相對(duì)誤差，最小化平均絕對(duì)相對(duì)誤差值，這樣GM(1,1)模型可以轉(zhuǎn)換為以下優(yōu)化模型：

(17)

3 MFO優(yōu)化GM(1,1)模型的算法

在灰色GM(1,1)模型求解過程中初值x(1)(1)與a,b的取值對(duì)預(yù)測(cè)公式(8)均有影響。所以為了減少影響，本文首先運(yùn)用飛蛾火焰優(yōu)化算法估計(jì)參數(shù)a,b，同時(shí)給邊值x(0)(1)一個(gè)修正μ，此時(shí)預(yù)測(cè)公式(8)變?yōu)椋?/p>

k=2, 3, …

(18)

本文采用飛蛾火焰優(yōu)化算法[20]求最優(yōu)的a,b, 和μ。

記x(0)(1)+μ=x(1)(1)+μ=s，采用平均絕對(duì)相對(duì)誤差達(dá)到最小的準(zhǔn)則，則適應(yīng)度函數(shù)為：

(19)

MFO優(yōu)化GM(1, 1)模型的算法的步驟如下所述。

步驟1 選擇原始數(shù)據(jù)序列為x(0)，然后對(duì)序列x(0)應(yīng)用一階累加生成算子得到序列x(1)。

步驟3 初始化位置。 隨機(jī)初始化種群，生成N個(gè)飛蛾，這些飛蛾可以作為問題的候選解。飛蛾在種群中的位置是

(20)

式中：-2

步驟6 計(jì)算所有飛蛾的適應(yīng)度值，比較適應(yīng)度的值，可得火焰的位置和適應(yīng)度值。

步驟7 進(jìn)行火焰的數(shù)目和飛蛾的位置更新迭代。

步驟8 如果迭代次數(shù)超過最大值T，則輸出解；否則返回步驟4。

在預(yù)試驗(yàn)中，筆者比較了不同體積分?jǐn)?shù)的甲醇（60%、70%、80%、90%）作為提取溶劑時(shí)的提取效率。結(jié)果，采用70%甲醇作為提取溶劑時(shí)，色譜峰數(shù)量較多，峰面積響應(yīng)好，故選擇70%甲醇作為提取溶劑。因丹皮酚為易揮發(fā)性物質(zhì)，故提取方法選擇超聲提取。筆者考察了不同超聲提取時(shí)間（15、30、45、60 min）對(duì)提取效率的影響，結(jié)果30 min的提取效率優(yōu)于15 min，而再延長(zhǎng)提取時(shí)間后提取效率無明顯差別，因此選擇30 min作為提取時(shí)間。

4 改進(jìn)GM(1,1)模型的應(yīng)用

下面分別利用基本灰色GM(1,1)模型，初值為x(1)(n)的GM(1,1)模型，和本文提出的MFOGM(1,1)模型，對(duì)南方電網(wǎng)某變電站SSP9-H-120000/220型220kV主變壓器為例進(jìn)行模擬，并比較其精度。從變電站在線監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中獲取該變壓器中-高低地繞組連同套管絕緣其中選取電阻近7年的數(shù)據(jù)為建模數(shù)據(jù)見表1。

表1 絕緣電阻歷史數(shù)據(jù)Tab.1 Historical data of insulation resistance

用最小二乘法得到辨識(shí)參數(shù)為：

a=0.20,b=7964.5

(21)

得基本GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)序列為：

(22)

以及在飛蛾火焰優(yōu)化算法取種群大小30，最大迭代代數(shù)500，可得改進(jìn)GM(1, 1)參數(shù)：

a=0.1959，b= 13333.082，s=31140

(23)

于是改進(jìn)的GM(1,1)預(yù)測(cè)序列為：

k=2, 3, …

(24)

預(yù)測(cè)精確性是評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)技術(shù)的重要準(zhǔn)則，本文采用兩個(gè)衡量指標(biāo)：相對(duì)誤差(RE)，平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)，它們的定義分別如下:

(25)

(26)

絕緣電阻擬合數(shù)據(jù)，模型的誤差見表2。由表2可以看出本文所給出的改進(jìn)GM(1,1)模型的擬合誤差既小于初值為x(1)(1)的GM(1,1)模型的擬合誤差也小于初值為x(1)(n)的GM(1,1)模型的擬合誤差。

表2 絕緣電阻的擬合值與其相對(duì)誤差Tab.2 Fitted value and its relative error of insulation resistance

本文所提出的MFOGM(1,1)模型的使用條件和GM(1,1)模型一樣都是適應(yīng)于非負(fù)的時(shí)間序列，但MFOGM(1,1)模型有如下優(yōu)勢(shì)。

1) 本文利用MFO算法識(shí)別GM(1,1)模型的參數(shù)a，b時(shí)，設(shè)置了參數(shù)a的取值范圍|a|<2，確保了所建立的GM(1,1)模型是有意義的[3]。

2) 初值是影響GM(1,1)模型精度的因素之一，因此，探尋合理的初值可以改進(jìn)GM(1,1)模型的精度?；綠M(1,1)模型的初值為x(1)(1)=x(0)(1)，本文在連續(xù)區(qū)間[x(1)(1),x(1)(n)]搜索最佳初值，較已有的改進(jìn)：取x(1)(n)或在x(1)(1),x(1)(2), …,x(1)(n)中選擇其中之一，更為合理。

3) 現(xiàn)有的改進(jìn)GM(1,1)模型的工作著重于改善模型精度，很少考慮模型的擬合和預(yù)測(cè)速度。本文使用MFO算法時(shí)，飛蛾Mi=(ai,bi,si)是一個(gè)3維向量，這樣識(shí)別GM(1,1)模型參數(shù)a，b的同時(shí)，搜索到了最佳的初值。將飛蛾火焰優(yōu)化算法(MFO)與GM(1,1)模型相結(jié)合，本文改進(jìn)GM(1,1)模型精度的同時(shí)，提高了算法的速度。

5 結(jié) 語

本文在已有研究的基礎(chǔ)上，從優(yōu)化GM(1,1)模型中的兩個(gè)參數(shù)和修正微分方程解初始值兩個(gè)角度去改進(jìn)GM(1,1)模型。不是采用先驗(yàn)信息x(1)(1)，x(1)(2),…,x(1)(n)，而是在連續(xù)區(qū)間[x(1)(1),x(1)(n)]搜索最優(yōu)初值代替?zhèn)鹘y(tǒng)模型GM(1,1)微分方程解的初始值x(0)(1)。以平均相對(duì)誤差達(dá)到最小為適應(yīng)度函數(shù)，利用飛蛾火焰優(yōu)化算法優(yōu)化GM(1, 1)模型中的參數(shù)和最優(yōu)初值，得到更高精度的改進(jìn) GM(1,1)模型。選取絕緣電阻的歷史數(shù)據(jù)，分別采用基分別采用基本形式灰色GM(1,1)(以x(1)(1)為初值條件)、以x(1)(n)為初值條件的改進(jìn)灰色GM(1,1)模型，基于飛蛾火焰優(yōu)化算法改進(jìn)GM(1,1)模型進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)。結(jié)果表明基于飛蛾火焰優(yōu)化算法改進(jìn)的灰色GM(1,1)模型能利用歷史數(shù)據(jù)的固有信息，提高模型精度。

然而，飛蛾火焰優(yōu)化算法改進(jìn)的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)仍然是指數(shù)增長(zhǎng)曲線，這樣就決定了改進(jìn)的模型仍然在短期預(yù)測(cè)中使用，對(duì)于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)仍會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，因此，還需要進(jìn)一步改進(jìn)預(yù)測(cè)模型，以促進(jìn)灰色系統(tǒng)理論的發(fā)展。