（1. 西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031；2. 浙江大學(xué)流體動(dòng)力與機(jī)電系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027；3. 四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610065；4. 重慶遨博智能科技研究院有限公司，重慶 400050；5. 衢州學(xué)院浙江省空氣動(dòng)力裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 衢州 324000）

1 引 言

機(jī)床作為制造業(yè)生產(chǎn)的“母機(jī)”，其發(fā)展程度直接影響著國家工業(yè)的發(fā)展水平［1］。提高機(jī)床的加工精度，對發(fā)展高精密數(shù)控加工技術(shù)和制造業(yè)具有重要意義。影響機(jī)床加工精度的因素主要有以下幾方面：由機(jī)床本身設(shè)計(jì)缺陷或零部件相對運(yùn)動(dòng)引起的幾何誤差、機(jī)床受熱變形影響導(dǎo)致的熱誤差、加工過程中切削力變化導(dǎo)致的切削力誤差以及其它誤差［2］。在這些誤差中，熱誤差是導(dǎo)致機(jī)械零部件幾何誤差的主要原因，約占總誤差的40%～70%［3-5］。

熱誤差補(bǔ)償法是提高機(jī)床加工精度的經(jīng)濟(jì)有效的手段，其核心在于建立具有強(qiáng)魯棒性和高預(yù)測性能的熱誤差模型對熱誤差進(jìn)行預(yù)測和補(bǔ)償［6-9］。熱誤差模型以溫度敏感點(diǎn)處測得的溫度變量為輸入，以熱變形量為輸出，其中溫度敏感點(diǎn)組合的選取直接影響著模型的訓(xùn)練精度和預(yù)測效果。溫度變量過多，會(huì)加大實(shí)驗(yàn)成本與工作量，同時(shí)溫度變量間的耦合現(xiàn)象會(huì)影響建模精度；溫度變量過少，則會(huì)由于缺乏引起熱誤差的關(guān)鍵信息而削弱模型的魯棒性、降低模型的預(yù)測性能。因此，在熱誤差建模之前進(jìn)行溫度敏感點(diǎn)的選取是至關(guān)重要的一步［10］。

多種方法可用于溫度敏感點(diǎn)的選取，Abdulshahed 等［11］基于灰色模型和模糊C-均值聚類算法，采用一種像素的局部平均模式從熱圖像中識別不同組的溫度敏感點(diǎn)，從而提高模型輸入的質(zhì)量。Longstaff 等［12］采用自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)將溫度數(shù)據(jù)空間劃分為多個(gè)矩形子空間，并根據(jù)灰色理論得出所有的溫度傳感器對熱誤差的影響排序，然后基于模糊C-均值聚類方法對各溫度的影響權(quán)重進(jìn)行分類。Tsai 等［13］首先采用奇異值分解方法過濾各溫度測點(diǎn)，消除溫度測點(diǎn)之間共線性的影響。然后根據(jù)主成分分析方法計(jì)算的溫度點(diǎn)和熱誤差之間的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行排序和篩選得到溫度敏感點(diǎn)組合。Tan 等［14］提出一種最小絕對收縮算子選擇法直接選取溫度敏感點(diǎn)集合。Liu 等［15］使用相關(guān)系數(shù)法選取溫度敏感點(diǎn)組合，提升了熱誤差模型的魯棒性與預(yù)測精度。

近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法以其良好的非線性映射能力與較強(qiáng)的計(jì)算能力被廣泛應(yīng)用于熱誤差建模研究中，多種參數(shù)優(yōu)化算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的熱誤差建模方法應(yīng)運(yùn)而生［16］。Ma 等［17］結(jié)合模糊聚類和相關(guān)分析對典型溫度變量進(jìn)行了分組優(yōu)化，采用遺傳算法和粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）對反向傳播（Back Propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。Santos 等［7］使用變分模式將誤差數(shù)據(jù)分解為幾個(gè)固有的模態(tài)函數(shù)組件，并使用灰狼算法對長短時(shí)記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的超參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，經(jīng)驗(yàn)證，提出的VMD-GW-LSTM 熱誤差模型具有較強(qiáng)的魯棒性和較優(yōu)的泛化能力；此外，Liu 等［18］利用遺傳算法優(yōu)化小波層數(shù)和乘積層數(shù)以及自回歸小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值。Yin 等［19］人將物理模型與數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型相結(jié)合，從預(yù)測的溫度場出發(fā)，設(shè)計(jì)了一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，以提高主軸熱誤差預(yù)測的精度。Liu 等［20］提出了使用深度信念網(wǎng)絡(luò)和蒙特卡羅方法計(jì)算模型可靠性的方法，使用深度信念網(wǎng)絡(luò)替代了隱函數(shù)，確定了單參數(shù)、多參數(shù)波動(dòng)模型的可靠性和殘差預(yù)測，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的魯棒性和所提出的可靠性計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

上述溫度敏感點(diǎn)選取方法普遍將溫度變量優(yōu)化至10 個(gè)以內(nèi)，有效地精簡了溫度敏感點(diǎn)數(shù)量，提高了建模效率與預(yù)測精度。但其中溫度敏感點(diǎn)數(shù)目皆憑借研究者的工程經(jīng)驗(yàn)直接指定，難以自動(dòng)確定。針對上述問題，本文以VMC850 五軸立式數(shù)控加工中心為對象進(jìn)行熱誤差實(shí)驗(yàn)以及溫度場與熱誤差的測量；提出一種通用性溫度敏感點(diǎn)組合選取方法，從一系列包含不同聚類數(shù)目的溫度變量組合中自動(dòng)選取適用于熱誤差預(yù)測的最優(yōu)的溫度敏感點(diǎn)組合。經(jīng)過驗(yàn)證，選取的最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)同時(shí)適用于不同工況下主軸各項(xiàng)熱誤差的預(yù)測，且在不同的熱誤差模型中具有良好的通用性。首先介紹了溫度敏感點(diǎn)組合選取的相關(guān)理論以及機(jī)床溫度場和主軸熱誤差的測量實(shí)驗(yàn)，包括測量儀器的安裝和數(shù)據(jù)的獲取；其次提出了基于數(shù)目自動(dòng)確定的通用型溫度敏感點(diǎn)組合選取方法，并以某一工況下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例選取最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合；然后對最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合在不同工況下主軸各項(xiàng)熱誤差的預(yù)測中的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，并建立RBF、SVM 與MLR 熱誤差模型，對最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)在不同類型的熱誤差模型中的通用性進(jìn)行驗(yàn)證。

2 溫度敏感點(diǎn)選取相關(guān)理論與熱誤差實(shí)驗(yàn)

2.1 溫度敏感點(diǎn)選取相關(guān)理論

2.1.1 K-Means 聚類算法

傳統(tǒng)的K-Means 聚類算法因其在數(shù)據(jù)處理中的高效性而被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)聚類中，但該算法隨機(jī)選取初始聚類中心的方式會(huì)導(dǎo)致聚類結(jié)果不穩(wěn)定。針對這一情況，Arthur 等［21］首次提出一種改進(jìn)的K-Means++聚類算法。相比于K均值算法，其最大的特點(diǎn)是初始聚類中心的選取方式不同：首先確定聚類數(shù)目K并隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為第一個(gè)初始聚類中心；其余初始聚類中心由剩余數(shù)據(jù)點(diǎn)與當(dāng)前已有初始聚類中心的歐式距離決定，距離越遠(yuǎn)者被選作下一聚類中心的概率越大。這一改進(jìn)有效提升了聚類結(jié)果的穩(wěn)定性。本文采用K-Means++算法對溫度測點(diǎn)進(jìn)行聚類，主要步驟如下：

（1）指定聚類數(shù)目K并隨機(jī)選取一個(gè)溫度變量作為第一個(gè)初始聚類中心I1；

（2）計(jì)算每個(gè)溫度變量離當(dāng)前聚類中心的最遠(yuǎn)距離，用D（Xi，Ij）表示；采用輪盤法選取下一個(gè)聚類中心，D（Xi，Ij）越大，該溫度變量越容易被選擇為下一個(gè)聚類中心；

其中：Xit為溫度變量，Ijt為當(dāng)前距X最近的初始聚類中心，m為溫度數(shù)據(jù)的樣本數(shù)，i=1，2…29，j=1，2…k。

（3）重復(fù)（2），直至選出K個(gè)初始聚類中心｛I1，I2，…Ik｝。

（4）剩余算法步驟與標(biāo)準(zhǔn)的K-Means 算法一致。

2.1.2 相關(guān)性分析

相關(guān)系數(shù)反映了變量間的相關(guān)程度。本文采用皮爾遜（Pearson）相關(guān)系數(shù)來衡量各溫度變量與熱誤差的相關(guān)程度。兩個(gè)連續(xù)變量的皮爾遜相關(guān)系數(shù)等于它們之間的協(xié)方差除以它們各自標(biāo)準(zhǔn)差的乘積。系數(shù)的取值總是在-1 到1 之間，其絕對值越接近1，變量間的相關(guān)性越強(qiáng)。Pearson 相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下：

其中：RXY表示樣本的Pearson 相關(guān)系數(shù)，SXY表示X與Y之間的協(xié)方差；SX表示溫度樣本X的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，SY表示熱變形量樣本Y的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，N為樣本數(shù)量，Xˉ表示各溫度變量的平均值，Yˉ表示各熱誤差變量的平均值。

2.1.3 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種按誤差反向傳播訓(xùn)練的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。近年來，由于其具有任意復(fù)雜的模式分類能力和優(yōu)良的多維函數(shù)映射能力在機(jī)床主軸熱誤差建模中應(yīng)用廣泛且效果較好［22-24］。從結(jié)構(gòu)上來看，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隱藏層和輸出層組成。從算法本質(zhì)上講，BP 算法以誤差為目標(biāo)函數(shù)、采用梯度下降法來計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的最小值。本文將使用具有一層輸入層，一層隱含層和一層輸出層的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差模型進(jìn)行最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)的選取與最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合有效性的驗(yàn)證，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1 所示，將敏感點(diǎn)溫度數(shù)據(jù)和各項(xiàng)熱誤差作為輸入X1，X2，…，Xn，經(jīng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，測試得到各項(xiàng)熱誤差預(yù)測結(jié)果Y1，Y2，…，Yk。

圖1 反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of BP neural network

2.2 熱誤差實(shí)驗(yàn)

熱誤差測量是熱誤差建模的前提和基礎(chǔ)。本文的熱誤差測量實(shí)驗(yàn)在VMC850 五軸立式數(shù)控加工中心進(jìn)行，參照ISO 230-3 中的五點(diǎn)法［25］進(jìn)行測量儀器的布置安裝與數(shù)據(jù)采集。圖2 為VMC850 數(shù)控加工中心實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場圖。

圖2 VMC850 加工中心實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場Fig.2 VMC850 machining center test site

2.2.1 實(shí)驗(yàn)儀器布置

實(shí)驗(yàn)器材選用標(biāo)準(zhǔn)均按照ISO 230-3 國際標(biāo)準(zhǔn)中的熱誤差實(shí)驗(yàn)部分設(shè)定。采用PT100 溫度傳感器和DAM-PT16 溫度采集板卡獲取機(jī)床溫度。為了完整地獲取機(jī)床溫度場信息，實(shí)驗(yàn)中將29 個(gè)溫度傳感器分布在機(jī)床的各個(gè)溫度場區(qū)域，包括主軸區(qū)域、主軸箱區(qū)域、工作臺(tái)區(qū)域與箱體區(qū)域，具體分布如表1 和圖3（a）所示：T1、T2 與T4、T6 對稱安裝在主軸左右兩邊的上部與下部，T3 和T5 安裝在主軸前后的中部；T7、T9～T13、T20～T22、T27 分布在主軸箱區(qū)域；T15、T17、T24 布置在箱體的后側(cè)；T23、T28 安裝在機(jī)床箱體左右兩側(cè)；T14、T16、T18、T19、T25、T26、T29 布置在工作臺(tái)上的不同部位；T8 用于測量實(shí)驗(yàn)場地的環(huán)境溫度。位移傳感器采用Lion Precision 電容式位移傳感器，安裝位置如圖3（b）所示。

圖3 傳感器布置Fig.3 Sensor location

表1 溫度傳感器具體分布Tab.1 Specific distribution of temperature sensors

2.2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取

機(jī)床熱特性試驗(yàn)中主軸轉(zhuǎn)速類型可分為主軸轉(zhuǎn)速變化圖譜形式和與最大轉(zhuǎn)速成一定比例的恒定轉(zhuǎn)速形式［14］。為獲取機(jī)床在多種工況下的熱誤差數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)按照設(shè)定轉(zhuǎn)速進(jìn)行熱誤差測量，實(shí)驗(yàn)工況設(shè)計(jì)如表2 所示。測量實(shí)驗(yàn)共分為四組，在主軸空轉(zhuǎn)的狀態(tài)下分別按照恒定轉(zhuǎn)速2 000 r/min、2 500 r/min、3 000 r/min與5 000 r/min進(jìn)行。在實(shí)驗(yàn)過程中溫度測量值與主軸熱變形量實(shí)時(shí)同步采集，采集時(shí)間從機(jī)床冷態(tài)開始至機(jī)床達(dá)到熱平衡狀態(tài)結(jié)束，采樣間隔設(shè)置為5 s。本文主要針對實(shí)驗(yàn)中機(jī)床溫升階段進(jìn)行研究。

表2 熱誤差實(shí)驗(yàn)工況設(shè)計(jì)Tab.2 Design of thermal error experimental conditions

圖4（a）為2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下采集的某組數(shù)據(jù)的部分溫度測量值變化趨勢，圖像呈現(xiàn)了機(jī)床在前210 min 內(nèi)從冷態(tài)開始的溫度升高階段的部分溫度傳感器的數(shù)據(jù)，不同曲線代表不同區(qū)域的溫度變化趨勢。圖4（b）為同轉(zhuǎn)速下與溫度數(shù)據(jù)同步采集的主軸5 項(xiàng)熱變形數(shù)據(jù)。從圖中可以看出，在開始測量的前210 min 內(nèi)，主軸五項(xiàng)熱誤差都隨著溫度的升高而增大，其中Y2 和Z方向的熱誤差變化最明顯。

圖4 2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下的部分溫度數(shù)據(jù)與熱變形Fig.4 Partial temperature data and thermal deformation at 2 500 r/min

3 基于數(shù)量自動(dòng)確定的通用溫度敏感點(diǎn)組合選取方法

本節(jié)詳細(xì)介紹基于數(shù)量自動(dòng)確定的通用溫度敏感點(diǎn)組合選取方法，通過建立基于BP 熱誤差模型的絕對均方根誤差與絕對殘差均值評價(jià)指標(biāo)從一系列不同數(shù)量的溫度敏感點(diǎn)組合中自動(dòng)選取性能最優(yōu)的組合。以2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下采集的溫度數(shù)據(jù)與Z向熱誤差數(shù)據(jù)為例對最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)進(jìn)行選取。

通用型溫度敏感點(diǎn)組合自動(dòng)選取法流程圖如圖5 所示。具體步驟如下：

圖5 最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)綜合選取法流程圖Fig.5 Flow chart of comprehensive selection method for optimal temperature sensitive points

（1）建立各溫度變量與所有熱誤差項(xiàng)的絕對平均相關(guān)系數(shù)。

每個(gè)溫度變量與五項(xiàng)熱誤差均存在一定相關(guān)性。若僅僅考慮溫度變量與某一項(xiàng)熱誤差的相關(guān)性，可能會(huì)降低后期熱誤差模型預(yù)測性能的泛化性，故在進(jìn)行相關(guān)性分析時(shí)應(yīng)綜合考慮各溫度變量與五項(xiàng)熱誤差的相關(guān)程度。本文建立絕對平均相關(guān)系數(shù)（AR），即溫度變量與五項(xiàng)熱誤差的皮爾遜相關(guān)系數(shù)的平均值表示該溫度變量與五項(xiàng)熱誤差的相關(guān)程度。計(jì)算公式如式（3）所示。

其中：Rm，X1，Rm，X2，Rm，Y1，Rm，Y2，Rm，Z分別代表第m個(gè)溫度變量與五項(xiàng)熱誤差的皮爾遜相關(guān)系數(shù)值，在本實(shí)驗(yàn)中m=1，2，3，…，29。

表3 所示為2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下29 個(gè)溫度變量與五項(xiàng)熱變形量的絕對平均相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果。如表所示，在實(shí)驗(yàn)所布置的29 個(gè)溫度傳感器中，絕對平均相關(guān)系數(shù)最大值對應(yīng)的溫度變量為離加工區(qū)域較近的溫度傳感器T26，最小值對應(yīng)箱體左側(cè)區(qū)域的T23 傳感器。

表3 2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下溫度與熱誤差的絕對平均相關(guān)系數(shù)Tab.3 Absolute average correlation coefficient of temperature and thermal error data at 2 500 r/min speed

（2）設(shè)置溫度傳感器聚類數(shù)目范圍［Kmin，Kmax］，根據(jù)絕對平均相關(guān)系數(shù)選取首個(gè)初始聚類中心，獲取一系列K-Means++溫度聚類組合。

根據(jù)機(jī)床機(jī)構(gòu)特性的不同，參考ISO 230-7中熱誤差實(shí)驗(yàn)部分對溫度傳感器進(jìn)行布置。為避免模型出現(xiàn)欠擬合現(xiàn)象，聚類數(shù)目不能過少；為有效消除溫度傳感器間的耦合現(xiàn)象以保證模型預(yù)測精度，聚類數(shù)目不能過多。本文根據(jù)實(shí)驗(yàn)中機(jī)床的溫度場分布特性以及傳感器布置情況，將最小聚類數(shù)設(shè)置為3，即Kmin=3。最大聚類數(shù)目分以下兩種情況：當(dāng)溫度測點(diǎn)n的取值范圍為（3，9）時(shí)，Kmax=n；當(dāng)溫度測點(diǎn)不小于9 個(gè)時(shí)，選取個(gè)位數(shù)最大值9 與（n/4）向下取整結(jié)果中的最大值為最大聚類數(shù)目，即Kmax=max｛9，E（n/4）｝。這一方式能夠?qū)ψ畲缶垲悢?shù)進(jìn)行合理取值。綜上，本文K的取值范圍如式（4）所示。

測量實(shí)驗(yàn)中布置了29 個(gè)溫度傳感器，因此K=［3，9］。

在設(shè)置好聚類數(shù)目K值范圍后，使用KMeans++算法對溫度變量進(jìn)行聚類，得到一系列K值對應(yīng)的溫度變量初始聚類中心；在此過程中，由于K-Means++聚類算法中，首個(gè)初始聚類中心為隨機(jī)方式選取，因此聚類結(jié)果會(huì)受到影響。為提高聚類結(jié)果的穩(wěn)定性和有效性，選取絕對平均相關(guān)系數(shù)指標(biāo)最大的溫度變量作為首個(gè)初始聚類中心，此溫度變量與五項(xiàng)熱誤差的平均相關(guān)性在所有溫度變量中最大。結(jié)合表3 可知首個(gè)初始聚類中心I1=T26。表4 為2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下聚類數(shù)目K值為［3，9］對應(yīng)的溫度變量聚類結(jié)果。

表4 不同K 值對應(yīng)的溫度變量聚類結(jié)果Tab.4 Clustering results of temperature variables corresponding to different K values

（3）根據(jù)絕對平均相關(guān)系數(shù)確定各聚類中關(guān)鍵溫度敏感點(diǎn)，獲取一系列溫度敏感點(diǎn)組合。

根據(jù)表3 中溫度與熱誤差的絕對平均相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果，將表格4 中各K值包含的K組聚類中絕對平均相關(guān)系數(shù)最大值對應(yīng)的溫度變量作為該類的溫度敏感點(diǎn)，得到不同聚類數(shù)目對應(yīng)的包含相同數(shù)目溫度變量的溫度敏感點(diǎn)組合，如表5 所示，K=3 對應(yīng)的3 個(gè)溫度敏感點(diǎn)精簡為T26，T25，T15，以此類推。由于T26 作為K-Means 算法的首個(gè)初始聚類中心，與五項(xiàng)熱誤差的相關(guān)性最大，表格5 中每組溫度敏感點(diǎn)組合均包含了溫度點(diǎn)T26。

表5 2 500 r/min轉(zhuǎn)速下不同K值對應(yīng)的溫度敏感點(diǎn)組合Tab.5 Combination of temperature sensitive points corresponding to different K values at 2 500 r/min speed

為綜合評估模型對五項(xiàng)熱誤差的預(yù)測性能，提高最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合的通用性，建立絕對均方根差A(yù)M與絕對殘差均值A(chǔ)S評估指標(biāo)即各項(xiàng)熱誤差預(yù)測結(jié)果的均方根差平均值與殘差平均值，用于評價(jià)不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)熱誤差模型的預(yù)測性能。AM與AS計(jì)算公式如下：

其中：N表示預(yù)測樣本總樣本數(shù)量；Pi和Mi分別表示第i個(gè)樣本的熱誤差預(yù)測值與實(shí)際測量值；S表示熱誤差預(yù)測值與測量值的殘差均值；M表示熱誤差預(yù)測值與測量值的均方根差，下標(biāo)對應(yīng)熱誤差項(xiàng)；AS為絕對均方根差，AM表示絕對殘差均值。

（5）計(jì)算評估指標(biāo)，選取預(yù)測性能最優(yōu)模型對應(yīng)的溫度敏感點(diǎn)組合作為最優(yōu)組合。

以表5 中不同K值對應(yīng)的溫度敏感點(diǎn)作為輸入，對應(yīng)五項(xiàng)熱誤差為輸出建立BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對熱誤差進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測。其中訓(xùn)練集為計(jì)算絕對平均相關(guān)系數(shù)所用的某組2 500 r/min 數(shù)據(jù)的前80%數(shù)據(jù)，預(yù)測集為后20%數(shù)據(jù)。不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)BP 熱誤差模型的預(yù)測性能評估指標(biāo)計(jì)算結(jié)果如表6 所示。其中AS的范圍為2.642～2.796 μm，AM的范圍為2.677～2.855 μm，K=4 時(shí)兩者最小，表示此時(shí)的熱誤差模型預(yù)測性能最優(yōu)。為避免圖像中曲線過多顯得繁瑣復(fù)雜，同時(shí)在保證不影響圖像分析結(jié)果的前提下，文中的圖像均只展示包含最優(yōu)K值在內(nèi)的均方根差與殘差均值評估結(jié)果相差不大的部分K值對應(yīng)的殘差或預(yù)測曲線。圖6 所示為K=3，4，5，6，7，8，9 對應(yīng)的溫度敏感點(diǎn)組合作為輸入時(shí)各模型對隨機(jī)選取的X2 項(xiàng)熱誤差預(yù)測的殘差曲線。其中K=4 對應(yīng)的殘差曲線整體更接近于0，表明該曲線對應(yīng)的預(yù)測效果最佳。最終選取K=4時(shí)包含的T1，T15，T25，T26 為最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合。

表6 絕對殘差與絕對均方根差計(jì)算結(jié)果Tab.6 Absolute residual and absolute root mean square deviation calculation results（μm）

圖6 2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下不同K 值對應(yīng)的X2 項(xiàng)熱誤差殘差曲線Fig.6 Thermal error residual curve of X2 corresponding to different K values at 2 500 r/min

4 最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合有效性驗(yàn)證

4.1 相同工況下不同誤差項(xiàng)有效性驗(yàn)證

使用最優(yōu)敏感點(diǎn)組合選取所用的相同工況下采集的2 500 r/min 轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)對最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合進(jìn)行相同工況不同誤差項(xiàng)的有效性驗(yàn)證。以表5 中不同K值對應(yīng)的溫度敏感點(diǎn)組合作為輸入，建立BP 熱誤差模型對X1、X2、Y1、Y2 項(xiàng)熱誤差項(xiàng)進(jìn)行預(yù)測。均方根差M與殘差均值S用于評估不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)模型的預(yù)測性能。圖7（a）～7（d）分別展示了不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)的BP 模型對X1、X2、Y1、Y2 項(xiàng)熱誤差的預(yù)測評估結(jié)果。如圖所示，在對各方向熱誤差的預(yù)測性能評估結(jié)果中，柱形圖均在K=4 時(shí)達(dá)到最低點(diǎn)。表明在不同溫度敏感點(diǎn)組合中，K=4 代表的溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)的熱誤差模型對各項(xiàng)熱誤差的預(yù)測性能最優(yōu)。

圖7 BP 模型對各項(xiàng)熱誤差的預(yù)測性能評估結(jié)果Fig.7 Prediction performance evaluation results of various thermal errors of BP model

表7 詳細(xì)展示了圖7（a）中不同溫度變量組合對應(yīng)的X1 項(xiàng)熱誤差的預(yù)測性能評估值計(jì)算結(jié)果。如表所示，均方根差M的最小值為0.088 μm，最大值為0.227 μm；殘差均值S的最小值為0.075 μm，最大值為0.162 μm。其中M與S最小值對應(yīng)的輸入均為K值為4 對應(yīng)的溫度敏感點(diǎn)組合。圖8 描述了K=3，4，5，6 時(shí)，對X1方向熱誤差的預(yù)測殘差。從圖中可以看出，K=4代表的殘差曲線相較于其他三條曲線整體更收斂接近于0，此時(shí)的熱誤差模型預(yù)測性能相對更優(yōu)。以上表明選取的溫度敏感點(diǎn)組合在相同工況不同誤差項(xiàng)中同樣有效。

表7 X1 項(xiàng)熱誤差的預(yù)測性能評估結(jié)果Tab.7 Prediction performance evaluation results of thermal error of X1（μm）

圖8 2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下部分K 值對應(yīng)X1 項(xiàng)熱誤差預(yù)測殘差Fig.8 Thermal error prediction residual of X1 corresponding to part of K values at 2 500 r/min

4.2 不同工況下同一誤差項(xiàng)有效性驗(yàn)證

在機(jī)床實(shí)際加工工程中往往包含多種工況，本節(jié)驗(yàn)證最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合在不同工況下同一熱誤差項(xiàng)中的有效性。分別以表5 中不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)的三組不同工況下的采集數(shù)據(jù)作為輸入，建立BP 熱誤差模型對Z向熱誤差進(jìn)行預(yù)測。同樣，均方根誤差M與殘差均值S用于評估不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)模型的預(yù)測效果。

4.2.1 2 000 r/min 轉(zhuǎn)速下有效性驗(yàn)證

首先，對2 000 r/min 轉(zhuǎn)速下的熱誤差數(shù)據(jù)的最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合進(jìn)行有效性驗(yàn)證。按照表5中不同溫度敏感點(diǎn)組合在2 000 r/min 轉(zhuǎn)速下采集的前80%數(shù)據(jù)作為BP 模型的輸入，相應(yīng)的Z向熱誤差數(shù)據(jù)作為輸出進(jìn)行訓(xùn)練，預(yù)測后20%的Z向熱誤差。不同K值溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)的BP 熱誤差模型預(yù)測性能評估結(jié)果如表8 所示。

法國強(qiáng)調(diào)藝術(shù)與文化教育的公平性，認(rèn)為不應(yīng)該讓藝術(shù)與文化教育成為只是為社會(huì)中部分階層孩子服務(wù)的“奢侈品”，而是所有孩子都能學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。家庭文化藝術(shù)教育的政策應(yīng)該確保所有的孩子，包括身體殘疾、住院醫(yī)療，以及家庭條件差的孩子。特別是社會(huì)困難階層的孩子，由于父母文化知識的局限，缺乏文化生活習(xí)慣，往往使其子女遠(yuǎn)離藝術(shù)文化環(huán)境。由于資源本身的平等性（如免費(fèi)政策）并不能保證資源獲取的平等性，法國更強(qiáng)調(diào)要保證100%的孩子能夠“平等”地獲得藝術(shù)與文化教育資源。

表8 2 000 r/min 轉(zhuǎn)速下Z項(xiàng)熱誤差的不同K值評估結(jié)果Tab.8 Evaluation results of different K values of thermal error of Z at 2 000 r/min（μm）

從表8 中可以看出，在不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)的評估結(jié)果中，M的最小值為0.149 μm，最大值為1.844 μm；S的最小值為0.122 μm，最大值為1.615 μm。其最小值對應(yīng)的K值均為4。圖9 展示了2 000 r/min 轉(zhuǎn)速下，K=3，4，5，6，7，8，9 時(shí)對應(yīng)的Z向熱變形值的殘差曲線。觀察圖9 可知，在所有殘差曲線中K=4 的對應(yīng)的殘差曲線整體更加平緩與收斂，預(yù)測結(jié)果相對于其他曲線更優(yōu)，表明最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合在2 000 r/min轉(zhuǎn)速熱誤差數(shù)據(jù)有效性良好。

圖9 2 000 r/min 轉(zhuǎn)速下不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)Z 項(xiàng)熱誤差預(yù)測結(jié)果Fig.9 Thermal error prediction result of Z corresponding to the combination of different temperature sensitive points at 2 000 r/min

4.2.2 3 000 r/min 轉(zhuǎn)速下最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合有效性驗(yàn)證

同樣，使用3 000 r/min 轉(zhuǎn)速下采集的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以不同溫度敏感點(diǎn)組合數(shù)據(jù)為輸入，對應(yīng)的Z向熱誤差數(shù)據(jù)為輸出建立BP 模型，驗(yàn)證最優(yōu)K值溫度敏感點(diǎn)組合的有效性。數(shù)據(jù)的前80%用于訓(xùn)練，后20%用于預(yù)測。不同K值溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差模型的預(yù)測評估結(jié)果如表9 所示。分析表9 內(nèi)容可知，在不同K值溫度變量組合對應(yīng)的熱誤差模型預(yù)測性能評估結(jié)果中，評估值M與S在K=4 處最低，分別為0.129 μm 與0.107 μm；在K=8 處最高，分別為0.268 μm 與0.247 μm。同時(shí)，圖10 展示了K=3，4，5，6 對應(yīng)的BP 模型的預(yù)測殘差曲線。如圖所示，K=4 代表的殘差曲線整體更靠近零，表明此時(shí)對應(yīng)的熱誤差模型的總體預(yù)測性能相對最優(yōu)。最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合在3 000 r/min 轉(zhuǎn)速下采集的數(shù)據(jù)中同樣適用。

圖10 3 000 r/min 轉(zhuǎn)速下部分溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)Z 項(xiàng)熱誤差的預(yù)測殘差Fig.10 Prediction residual of thermal error of Z corresponding to part temperature sensitive points combination at 3 000 r/min

表9 3 000 r/min 轉(zhuǎn)速Z 向熱誤差不同K 值評估結(jié)果Tab.9 Evaluation results of different K values of Z directions at 3 000 r/min（μm）

4.2.3 5 000 r/min 轉(zhuǎn)速下最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合有效性驗(yàn)證

驗(yàn)證最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合在5 000 r/min 轉(zhuǎn)速下的有效性。本組數(shù)據(jù)的采集樣本數(shù)為2 334，采集時(shí)間約為3.2 h。以不同K值溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)的溫度數(shù)據(jù)作為輸入，Z向熱誤差作為輸出建立BP 熱誤差模型。數(shù)據(jù)的前80%作為訓(xùn)練集，后20%作為測試集。5 000 r/min 轉(zhuǎn)速下不同K值對應(yīng)的Z向熱誤差預(yù)測結(jié)果評估結(jié)果如表10 所示。其中均方根差M的最小值為0.157 μm，殘差均值的最小值為0.137 μm，對應(yīng)的K值均為4。圖11 為不同K值對應(yīng)的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測Z向熱誤差的殘差曲線。從圖中可以看出，K=3 與K=4 對應(yīng)的殘差曲線整體更接近于0，預(yù)測效果較其他組合更優(yōu)。結(jié)合表10 中的評估指標(biāo)與圖10 中不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)的殘差曲線，可知K=4 對應(yīng)的溫度敏感點(diǎn)組合預(yù)測效果最優(yōu)。最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合在5 000 r/min 轉(zhuǎn)速下仍然有效。

圖11 5 000 r/min 轉(zhuǎn)速不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)Z 項(xiàng)熱誤差預(yù)測殘差Fig.11 Prediction residual of part temperature sensitive point combination corresponding to thermal error of Z at 5 000 r/min

表10 5 000 r/min 轉(zhuǎn)速下Z 項(xiàng)熱誤差不同K 值評估結(jié)果Tab.10 Evaluation results of different K values of thermal error of Z at 5 000 r/min（μm）

綜上所述，使用由本文提出的最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)綜合選取法在2 500 r/min 工況下選取的最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合在相同工況下不同誤差項(xiàng)以及不同工況下同一誤差項(xiàng)中同樣有效。

5 最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合通用性驗(yàn)證

驗(yàn)證最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合在不同熱誤差模型中的通用性。使用2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下采集的數(shù)據(jù)，以表格5 中不同K值對應(yīng)的溫度敏感點(diǎn)組合作為輸入，以變化最明顯的Z方向的熱誤差數(shù)據(jù)作為輸出，分別建立RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、SVM 模型與MLR 熱誤差模型。數(shù)據(jù)的前80%用于模型的訓(xùn)練，后20%用于預(yù)測。均方根誤差M與殘差均值S用于評估不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)的熱誤差模型對Z向熱誤差的預(yù)測效果。為更方便地對比以及分析不同溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)模型的預(yù)測效果，圖12～14 僅呈現(xiàn)了K=4，5，6，7 對應(yīng)的部分殘差曲線或預(yù)測值曲線，由于其它K值的均方根誤差與殘差均值評估結(jié)果與這四組結(jié)果相差較大，故不在圖中呈現(xiàn)。

圖12 2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下部分溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)RBF 模型的Z 項(xiàng)熱誤差預(yù)測結(jié)果Fig.12 Thermal error predictive results of thermal error of Z of RBF model corresponding to part of sensitive temperature points at 2 500 r/min

圖12（a）展示了K=4，5，6，7 對應(yīng)的RBF 模型對Z向熱誤差的預(yù)測結(jié)果，其中K=4 對應(yīng)的Z向熱誤差預(yù)測曲線與實(shí)驗(yàn)測量曲線整體更為接近；圖12（b）為圖12（a）中預(yù)測結(jié)果對應(yīng)的殘差曲線，其中K=4 對應(yīng)的殘差曲線相對于其余三條曲線整體更靠近0。表11 所示為不同K值溫度敏感點(diǎn)組合作為輸入對應(yīng)的RBF 模型預(yù)測性能評估結(jié)果，其中M與S的最小值分別為0.357 μm 與0.323 μm，對應(yīng)的K值為4；最大值分別為1.824 μm 與1.625 μm，對應(yīng)的K值為3。結(jié)合圖12 與表11 可以看出K=4 代表的溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)的RBF 熱誤差模型預(yù)測效果最佳。

表11 2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下不同K 值對應(yīng)RBF 模型預(yù)測性能評估結(jié)果Tab.11 Evaluation results of RBF model prediction performance corresponding to different K values at 2 500 r/min（μm）

表12 與圖13，表13 與圖14 分別展示了不同K值對應(yīng)的溫度敏感點(diǎn)組合作為輸入時(shí)SVM 與MLR 熱誤差模型的評估結(jié)果。同理分析，K=4對應(yīng)的M與S在不同的熱誤差模型中均為最小，對應(yīng)的模型預(yù)測性能仍為最優(yōu)。表明本文選取的最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合對熱誤差模型的依賴性較弱，在不同的熱誤差模型中具有良好的通用性。

圖13 2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下部分溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)SVM 模型的Z 項(xiàng)熱誤差預(yù)測結(jié)果Fig.13 Thermal error predictive results of thermal error of Z of SVM model corresponding to part of sensitive temperature points at 2 500 r/min

圖14 2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下部分溫度敏感點(diǎn)組合對應(yīng)MLR 熱誤差模型Z 項(xiàng)熱誤差預(yù)測結(jié)果Fig.14 Thermal error predictive results of thermal error of Z of MLR model corresponding to part of sensitive temperature points at 2 500 r/min

表12 2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下不同K 值對應(yīng)SVM 模型預(yù)測性能評估結(jié)果Tab.12 Evaluation results of SVM model prediction performance corresponding to different K values at 2 500 r/min（μm）

表13 2 500 r/min 轉(zhuǎn)速下不同K 值對應(yīng)MLR 模型預(yù)測性能評估結(jié)果Tab.13 Evaluation results of SVM model prediction performance corresponding to different K values at 2 500 r/min（μm）

6 結(jié) 論

本文提出了一種數(shù)量自動(dòng)確定的熱誤差通用型溫度敏感點(diǎn)組合選取方法。所選擇的最優(yōu)敏感點(diǎn)組合適用于不同工況下的熱誤差預(yù)測且對模型的依賴性不大，在不同熱誤差模型中的通用性良好。

首先，計(jì)算各溫度變量與五項(xiàng)熱誤差之間的絕對均相關(guān)系數(shù)。其次，選取絕對均相關(guān)系數(shù)最大的溫度點(diǎn)作為K-Means++算法的首個(gè)初始聚類中心并設(shè)置K值的范圍對各溫度變量進(jìn)行聚類。選擇各聚類中絕對相關(guān)系數(shù)最大的關(guān)鍵溫度變量，得到對應(yīng)不同聚類數(shù)目的溫度敏感點(diǎn)組合。然后，建立BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差模型，并提出絕對均方根誤差與絕對殘差均值評估指標(biāo)來獲取預(yù)測性能最優(yōu)的溫度敏感點(diǎn)組合。

最后，在VMC850 數(shù)控機(jī)床上對本文所提的方法進(jìn)行驗(yàn)證。通過對不同工況相同誤差項(xiàng)和相同工況不同誤差項(xiàng)的預(yù)測驗(yàn)證了最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合的有效性；通過建立三種熱誤差模型驗(yàn)證了最優(yōu)溫度敏感點(diǎn)組合在不同熱誤差模型中的通用性。