秦俊怡
[摘要]從學生的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā),設(shè)計章起始課教學的情境、問題、活動,引導學生類比思考與探索,幫助學生在不等式及其解集知識學習中科學建構(gòu)、適切運用、有效優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu),提升數(shù)學思維,發(fā)展數(shù)學能力.
[關(guān)鍵詞]認知結(jié)構(gòu);章起始課;不等式;概念
數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學生獲得數(shù)學知識后,在頭腦中形成的概念系統(tǒng)、表征系統(tǒng)和加工系統(tǒng).就其機能而言,包括兩個方面:理解數(shù)學問題和解決數(shù)學問題[1].即通過學習思路與方法的有效引領(lǐng),學生的數(shù)學新概念得以產(chǎn)生、理解、再現(xiàn)、發(fā)展,知識架構(gòu)逐步完善,實現(xiàn)以不同方式解決數(shù)學問題的目標.而章起始課多為概念課型,是數(shù)學教學的重心任務(wù),具有統(tǒng)攝全章、提綱挈領(lǐng)的作用,能讓學生在新舊知識和經(jīng)驗間架起溝通的橋梁,突破認知限制,“上一層樓,窮千里目”.2020年,筆者積極參加廣州市越秀區(qū)教師研討課活動,執(zhí)教課題是人教版教材七年級下冊第九章“不等式與不等式組”第1課時——不等式及其解集,在章起始概念課的背景下,開展建構(gòu)、運用和優(yōu)化學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的教學探索.現(xiàn)將教學主要環(huán)節(jié)及相關(guān)分析撰寫成文,以期同行之斧正.
明確學習目標
《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》涉及本課時內(nèi)容的目標要求:體驗從具體情境中抽象出數(shù)學符號的過程,理解不等式;探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,掌握用不等式進行表述的方法;通過用不等式表述數(shù)量關(guān)系的過程,體會模型的思想,建立符號意識[2].因此,本節(jié)課的學習既要關(guān)注短期目標,更要重視長期目標.
短期目標:(1)了解不等式的概念,會用不等式表示簡單的數(shù)量關(guān)系;(2)理解不等式的解的概念,會判斷某個數(shù)是否為某個不等式的解;(3)理解不等式的解集的概念,會直接寫出簡單的不等式的解集,并在數(shù)軸上表示.
長期目標:通過分析問題情境中的數(shù)量關(guān)系,經(jīng)歷“數(shù)學抽象”的過程,體會不等式是刻畫現(xiàn)實世界的一種有效數(shù)學模型.
設(shè)計學習路徑
1.分析學情
學生完成一次方程(組)的學習后,對一次方程(組)的認識已經(jīng)具備一定的積累,包括知道一次方程(組)的相關(guān)概念,解一次方程(組)的步驟,以及會用一次方程(組)表示問題情境中的等量關(guān)系,但對不等關(guān)系的了解不夠深入,處于認知的朦朧階段.此時,在學生已有的認知基礎(chǔ)上,通過類比方式引入新知識——不等式及其解集,充分發(fā)揮章起始課統(tǒng)整引領(lǐng)和心理學正向遷移的積極作用,鋪設(shè)一條明確、合理、高效的學習之路,助力學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的自然生長.
2.診斷困惑
初學列不等式表示問題中的不等關(guān)系時,有些學生會因認知慣性列出表示等量關(guān)系的方程,甚至用小學列算式的方法解決問題.能用算式或方程得到問題的結(jié)論,為什么還要列不等式?要擺脫上述的學習干擾和困惑,教師必須引導學生正確理解問題情境,分析其中的不等關(guān)系,將符號化、模型化思想進一步加固和發(fā)展,即承認和尊重數(shù)學認知結(jié)構(gòu)存在的事實,重整和優(yōu)化學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).
3.確立架構(gòu)
如何引導學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)由等量關(guān)系發(fā)展到不等關(guān)系,從算術(shù)思維轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)思維?創(chuàng)設(shè)數(shù)學情境、組織數(shù)學活動、提煉數(shù)學概念、解決數(shù)學問題是一種行之有效的策略,如圖1所示的教學框架應運而生.
實施教學過程
1.探索不等式的概念
教師展示圖片,以問題組的形式呈現(xiàn)情景1:
(1)姚明的身高xm高于劉翔的身高1.89m,如何表示x與1.89之間的大小關(guān)系?
(2)小紅和背著書包的小軍玩蹺蹺板,當大家都不用力時,小軍在下,小紅在上.已知小紅的身體質(zhì)量為pkg,小軍的身體質(zhì)量為qkg,書包的質(zhì)量為2kg,如何表示p與q之間的大小關(guān)系?
(3)慶祝中華人民共和國成立70周年國慶閱兵的預計費用和實際支出是不相等的,預計費用是m萬元,而實際支出是n萬元,如何表示m與n之間的大小關(guān)系?
生1:(1)x>1.89;(2)p 追問1:上述式子分別用了什么符號表示大小關(guān)系? 生2:分別用了符號“>”“<”“≠”. 追問2:像這樣的式子,你能給出它的定義嗎? 生3:用符號“>”“<”“≠”表示大小關(guān)系的式子,叫不等式. 追問3:像-1>-2,3<4這樣的式子,是否也叫不等式? 生4:是,因為這些式子是用符號“>”“<”來表示大小關(guān)系的. 教學說明創(chuàng)設(shè)問題組情境1,把教材中引入不等式的概念的實際問題后置為下文的情境2,原因在于不等式的概念作為章起始課的首個概念,開展探索時應以“學”定“問”.情境1問題組的設(shè)計充分考慮學生的已有經(jīng)驗、學習基礎(chǔ)、思維特點,由淺入深,由感性到理性,更符合學生的認知水平.通過教師連串追問的引導,學生在理解的基礎(chǔ)上經(jīng)歷數(shù)學概念的抽象過程,構(gòu)筑自己的“認知新區(qū)”,感受成功的喜悅. 2.探索不等式的解及解集的概念 教師呈現(xiàn)問題情境2: 上午11:20,大頭兒子一家人駕車從家里出發(fā),勻速開往離家50km的游樂場,要在12:00之前到達,車速應滿足什么條件? 師:如果先從時間的角度來思考,如何求車速應滿足的條件? 追問1:以上兩種解法都忽視了問題中的什么數(shù)量關(guān)系?有什么關(guān)鍵詞可以體現(xiàn)這種關(guān)系? 生(齊):忽視了問題中的不等關(guān)系,從關(guān)鍵詞“之前”可以看出. 追問2:如何用數(shù)學語言表示不等關(guān)系? 追問3:如果再從路程的角度來思考,又如何求車速應滿足的條件? 追問4:能更明確得出x應取哪些值嗎? 生(齊):x=80,x=78,x=76,x=75.5等(學生回答不一) 追問5:那x=75符合題意嗎? 生(齊):這不就是一元一次方程的解的問題嘛?。▽W生自發(fā)展開討論) 教學說明學生的熱議切合教師的課堂預設(shè).教師適時引導學生類比一元一次方程的解的概念,讓學生通過比較來發(fā)現(xiàn)規(guī)律,繼而師生共同歸納不等式的解及解集的概念.若把一元一次不等式中未知數(shù)的最高次數(shù)升為2,就是以后將在高中學習的一元二次不等式.通過新舊知識的橫縱聯(lián)系、邏輯連貫,學生新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)不斷搭建,極大增強數(shù)學學習的內(nèi)驅(qū)力. 3.探索不等式的解集的數(shù)軸表示方法 教師呈現(xiàn)問題情境3: 在如圖2所示的數(shù)軸上,實數(shù)x表示的點向右平移3個單位長度,得到的點在表示6的點的右側(cè),用含x的不等式表示上述問題. 生10:x+3>6. 追問1:請直接說出該不等式的解集. 生11:x>3. 追問2:能用另一種形式表示該不等式的解集嗎? 生12:借助數(shù)軸,標出數(shù)軸上的某一部分,其中的點對應的數(shù)值都是該不等式的解,那么該不等式的解集就在數(shù)軸上表示出來了.(學生畫圖,教師點評) 教學說明教材對于“不等式的解集在數(shù)軸上表示”的處理一帶而過,學生未必能很好理解和接受.教師以數(shù)軸為背景設(shè)計問題情景3,通過追問1和追問2,引導學生由“數(shù)”向“形”過渡,使教學活動更為自然合理.學生從中感悟“數(shù)”的嚴謹與“形”的直觀,實現(xiàn)抽象思維與形象思維的交互運用,強化對數(shù)形結(jié)合思想的認知. 反思教學所得 1.科學定位,建構(gòu)數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的概念系統(tǒng) 教師必須厘清數(shù)學教材的結(jié)構(gòu)和學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的辯證關(guān)系,站在“高處”整體布局,精心設(shè)計每一節(jié)課.本節(jié)課的教學設(shè)計和實踐按照數(shù)學概念形成和發(fā)展的三個階段,調(diào)整了教材的結(jié)構(gòu),更符合學生認知發(fā)展的規(guī)律.第一階段,是新概念的產(chǎn)生,在學生的知識發(fā)展還不充分的前提下,通過創(chuàng)設(shè)簡單的實際問題情境(情景1問題組),引導學生思考并探索,收獲不等式的概念的“雛形”;第二階段,是新概念的掌握和整合,在學生產(chǎn)生了不等式的概念的基礎(chǔ)上,通過類比方程的解的概念加深理解,進一步得到不等式的解及解集的概念,整合為概念域;第三階段,是概念(域)的精化發(fā)展,此時學生對概念(域)的認知進入新的發(fā)展階段,通過不等式的解集的數(shù)軸表示由“數(shù)”及“形”的思維轉(zhuǎn)變,提升學生解決較難問題的關(guān)鍵能力.如此下來,學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的概念系統(tǒng)得以自然且高質(zhì)量地建構(gòu). 2.適切選材,活用數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的表征系統(tǒng) 數(shù)學先驅(qū)們通過創(chuàng)造直觀教學用具,如數(shù)軸、坐標系、圖表等,為概念和概念系統(tǒng)提供有力的認知工具,實現(xiàn)數(shù)學知識在頭腦中的再現(xiàn),形成表征系統(tǒng).在章起始課“概念系統(tǒng)”的統(tǒng)領(lǐng)下,選取合適、貼切的素材,幫助學生直觀、形象理解數(shù)學知識,改變機械記憶數(shù)學知識的學習方式.如本節(jié)課情境2中改編教材后的實際問題更貼近學生生活,情景3中創(chuàng)設(shè)的數(shù)軸情景問題更適合、貼切教材,這些示例正是靈活運用數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的表征系統(tǒng)的“鮮活”說明.但在學習數(shù)學的過程中,舊的認知結(jié)構(gòu)往往會干擾新的認知結(jié)構(gòu)的建立和表征.如在本節(jié)課情景2的教學環(huán)節(jié)中,教師的連串追問引起了學生列算式和列方程兩種舊的思維模式,在解決問題時與列不等式產(chǎn)生了矛盾.因此,教師對學生表征新舊認知的對比引導顯得尤為重要(如表1和表2所示),而學生的認知結(jié)構(gòu)在教師的對比引導下不斷推陳出新、自我完善. 3.有效整合,優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的加工系統(tǒng) 數(shù)學知識具備解決問題的智力性力量,如把帶方向的折線加工在數(shù)軸上,就能直觀表示不等式的解集.由此可見,數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的加工系統(tǒng)可聯(lián)動數(shù)學概念系統(tǒng)和表征系統(tǒng),以較高的適應性動態(tài)解決不同的數(shù)學問題(如圖3所示). 如何在教學中優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的加工系統(tǒng)?從橫向看,加強知識間的內(nèi)在聯(lián)系和有效整合,如方程、不等式與函數(shù),三角形、四邊形與圓,統(tǒng)計與概率等,促進學生建構(gòu)“面面俱到”的數(shù)學認知結(jié)構(gòu);從縱向看,遵循學生認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展規(guī)律,啟發(fā)和引導學生經(jīng)歷從算術(shù)思維到代數(shù)思維、從實驗幾何到論證幾何、從常量數(shù)學到變量數(shù)學的質(zhì)變,不斷深化學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu). 綜上,數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的三種“成分系統(tǒng)”在學習新知與解決問題時,是緊密連接、相輔相成的,在章起始課的教學中更能凸顯其作用.學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程中主動建構(gòu)起來的,教師應有序地、整體地、系統(tǒng)地發(fā)揮主導作用,促進學生數(shù)學思維和能力的發(fā)生與發(fā)展. 參考文獻: [1]孫昌識,姚平子.兒童數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與教育[M].北京:人民教育出版社,2004. [2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)[M].北京:北京師范大學出版社,2012.