基于力致誤差建模的工業(yè)機(jī)器人銑削加工工件位姿優(yōu)化

張家豪,段現(xiàn)銀 ,陳 晨,張 樵 ,朱澤潤(rùn)

(1.武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；2.華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢，430074；3.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；4.深圳市匯川技術(shù)股份有限公司研發(fā)管理部技術(shù)中心，廣東 深圳，518109)

工業(yè)機(jī)器人具有靈活性好、工作空間大、設(shè)備成本相對(duì)低等諸多優(yōu)勢(shì)，且便于布置傳感器實(shí)現(xiàn)智能化升級(jí)[1-2]，從而被廣泛應(yīng)用于加工制造領(lǐng)域[3]，其加工應(yīng)用范圍也從低材料去除率加工(如磨削、拋光和去毛刺等)擴(kuò)展到高材料去除率加工(如鉆孔、銑削等)。特別是在航空航天[4]、國(guó)防、船舶等領(lǐng)域，工業(yè)機(jī)器人在艦船螺旋槳葉片銑削、飛機(jī)蒙皮切邊銑削[5]、飛行器殼體銑削[6]等加工中能夠使得加工從車間到現(xiàn)場(chǎng)，顯著提升加工效率。雖然工業(yè)機(jī)器人越來越多地應(yīng)用于螺旋槳銑削中，但由于其具有多關(guān)節(jié)串聯(lián)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和相對(duì)于機(jī)床的強(qiáng)柔度特性[7]，以及銑削加工的高材料去除率引起的高負(fù)載特性，切削力導(dǎo)致的讓刀變形使得工件在表面法線方向產(chǎn)生較大誤差，給工件加工精度控制帶來較大挑戰(zhàn)，因此，工業(yè)機(jī)器人銑削加工中的力致誤差控制是其在工程應(yīng)用中面臨的關(guān)鍵問題。

研究人員針對(duì)工業(yè)機(jī)器人在笛卡爾空間柔度或剛度的問題開展了大量的研究。在笛卡爾空間中，機(jī)器人柔度隨著姿態(tài)的變化而改變，優(yōu)化機(jī)器人的姿態(tài)可以改善其柔度特性。Lin等[8]根據(jù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)性能和形變?cè)u(píng)估指標(biāo)，繪制加工性能圖進(jìn)行鉆孔姿態(tài)優(yōu)化。Bu等[9]考慮到鉆孔機(jī)器人法蘭位置和刀具中心點(diǎn)處剛度橢球的差異性，提出以鉆孔刀具軸向變形為參考的加工性能指標(biāo)，用于優(yōu)化機(jī)器人姿態(tài)，保證了埋頭孔深度和孔軸向上的精度。Guo等[10]提出坐標(biāo)依賴的剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，研究了冗余軸相關(guān)的剛度值變化規(guī)律，用于優(yōu)化機(jī)器人姿態(tài)。Xiong等[11]通過考慮機(jī)器人末端執(zhí)行器上三個(gè)點(diǎn)處位移，開發(fā)了一種基于剛度的姿態(tài)優(yōu)化方法。Chen等[12]研究了不同姿態(tài)和進(jìn)給方向機(jī)器人的剛度特性，提出綜合剛度性能指標(biāo)和表面法向剛度性能指標(biāo)，通過機(jī)器人姿態(tài)優(yōu)化來提高機(jī)器人銑削加工精度。

上述研究通過優(yōu)化機(jī)器人姿態(tài)改善其末端柔度特性，取得了較多進(jìn)展。然而，機(jī)器人的剛性較好時(shí)其姿態(tài)可能處于奇點(diǎn)位置，或使其末端執(zhí)行器位于不方便加工的位置，因此，為了進(jìn)一步優(yōu)化工件與機(jī)器人的相對(duì)位姿，除了考慮機(jī)器人的姿態(tài)，還可通過優(yōu)化工件位姿實(shí)現(xiàn)。研究人員對(duì)機(jī)床加工的工件位姿優(yōu)化進(jìn)行了研究，Yang等[13]使用Brute-Force搜索算法優(yōu)化工件在五軸機(jī)床工作臺(tái)上的放置位置，以減小旋轉(zhuǎn)伺服驅(qū)動(dòng)器的輪廓誤差。Lin等[14]改進(jìn)了粒子群算法辨識(shí)RT型機(jī)床的最優(yōu)工件裝夾位置，以減少由旋轉(zhuǎn)軸非線性運(yùn)動(dòng)引起的誤差。Campatelli等[15]采用改變工件在機(jī)床工作臺(tái)上姿態(tài)來減少銑削過程中的能量消耗。Pessoles等[16]通過優(yōu)化工件的位姿減小運(yùn)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)行程，以提高加工效率。這些研究進(jìn)展對(duì)于機(jī)床加工中的驅(qū)動(dòng)器輪廓誤差控制、非線性誤差控制、能量消耗控制和加工效率提升等方面有推進(jìn)作用，但未涉及切削力導(dǎo)致的加工誤差控制，并且，工業(yè)機(jī)器人相對(duì)于機(jī)床具有更多的自由度，其笛卡爾空間以及關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系更加復(fù)雜，有必要針對(duì)機(jī)器人加工中工件位姿優(yōu)化進(jìn)行研究。

在工業(yè)機(jī)器人銑削中的工件位姿優(yōu)化方面，也有少量文獻(xiàn)報(bào)道。Caro等[17]在自定義的機(jī)器人銑削加工準(zhǔn)則下通過計(jì)算機(jī)器人末端變形優(yōu)化固定刀具姿態(tài)工況下的工件位置，僅針對(duì)末端走直線軌跡工況，且僅給出變形的定義公式，未構(gòu)建切削力模型、機(jī)器人剛度模型或末端變形模型。Qin等[18]通過數(shù)值模擬的方法研究了機(jī)器人銑削加工中通過最小化刀具振動(dòng)引起的偏移以實(shí)現(xiàn)工件位姿優(yōu)化。Schnoes等[19]針對(duì)機(jī)器人銑削提出了以可達(dá)性為幾何約束、以工件位姿為優(yōu)化變量來優(yōu)化機(jī)器人末端平均變形的思路。Li等[20]從機(jī)器人的刀具軌跡及工件夾緊位置兩個(gè)方面對(duì)機(jī)器人加工過程中的顫振問題開展研究，為減小顫振和提高加工質(zhì)量提供了新的方向。這些研究?jī)H針對(duì)簡(jiǎn)單軌跡加工或未涉及刀具姿態(tài)因素，且沒有涉及工件表面法向力致誤差這一顯著影響加工精度的因素；在實(shí)際的工業(yè)機(jī)器人銑削加工中，機(jī)器人的柔度對(duì)加工精度影響也非常明顯[21]，是需要在優(yōu)化模型中考慮的重要因素，因此，有必要在構(gòu)建機(jī)器人柔度模型和切削力模型基礎(chǔ)上，建立工業(yè)機(jī)器人法向力致誤差模型，為此，本文針對(duì)工業(yè)機(jī)器人銑削加工過程中力致誤差問題，以工件位姿為優(yōu)化變量、工件表面法向力致誤差為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建工業(yè)機(jī)器人銑削加工力致誤差模型及工件位姿優(yōu)化模型，通過算法設(shè)計(jì)對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，以確定最優(yōu)工件位姿，并在ABB IRB6660工業(yè)機(jī)器人銑削加工平臺(tái)上對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，以期為控制工業(yè)機(jī)器人銑削加工中的力致誤差并提高其加工精度提供參考。

1 工件位姿優(yōu)化建模

在工業(yè)機(jī)器人的銑削加工中，機(jī)器人與工件的相對(duì)位姿不僅影響機(jī)器人末端工具與工件的接觸關(guān)系，使切削力發(fā)生改變，并且對(duì)機(jī)器人的柔度產(chǎn)生一定影響。在機(jī)器人位姿調(diào)整受限情況下(如奇點(diǎn)位置、不便加工位置等)，有必要通過調(diào)整工件位姿進(jìn)行加工優(yōu)化。

1.1 基于力致誤差的優(yōu)化建模

工業(yè)機(jī)器人的多臂桿和多關(guān)節(jié)串聯(lián)結(jié)構(gòu)使其具有典型的強(qiáng)柔度特性，而銑削加工通常具有相對(duì)較大切除余量，使得刀具與工件材料之間發(fā)生較大作用力，機(jī)器人末端在弱剛性和大負(fù)載作用下會(huì)導(dǎo)致不可忽略的變形，這一變形在切削時(shí)會(huì)映射到工件表面，產(chǎn)生力致誤差。工件表面法向的誤差最終決定其加工精度，因此，本文選擇工件表面法向力致誤差作為優(yōu)化目標(biāo)。

(a)機(jī)器人末端在Pj處法向力致誤差 (b)法向力致誤差建模思路

綜上所述，可得出機(jī)器人末端在點(diǎn)Pj處的法向力致誤差enj為

(1)

式中，npj為刀觸點(diǎn)Pj處法向矢量；Cttj為Pj處機(jī)器人平移柔度子矩陣；Ffj為機(jī)器人在點(diǎn)Pj處銑削加工時(shí)的切削力矢量。

(2)

式中，Δlj為刀觸點(diǎn)第j點(diǎn)與第j+1點(diǎn)之間的步距。

以上述建立的法向力致誤差作為優(yōu)化目標(biāo)，以工件位姿坐標(biāo)w(x,y,θ)作為優(yōu)化變量，以機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)約束作為約束條件，建立基于力致誤差模型的工件位姿優(yōu)化模型，通過最小化優(yōu)化目標(biāo)力致誤差確定最優(yōu)工件位姿，其中，關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)約束需滿足：工件位姿選擇區(qū)域需在機(jī)器人的可達(dá)區(qū)域內(nèi)，即機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)限制在一定范圍內(nèi)，并且該區(qū)域應(yīng)在工作臺(tái)中心位置一定范圍內(nèi)，避免導(dǎo)致機(jī)器人加工時(shí)過于貼近邊界位置使其發(fā)生奇異問題。工件位姿優(yōu)化模型為

(3)

式中，qi為機(jī)器人第i關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角；Ax，Ay，Aθ和Aq分別為工件位姿(x,y,θ)和關(guān)節(jié)角q的范圍集合。

1.2 工件位姿與機(jī)器人姿態(tài)的映射關(guān)系建立

工件位姿與機(jī)器人姿態(tài)的映射關(guān)系是建立機(jī)器人柔度及力致誤差模型的前提，是描述工件姿態(tài)到機(jī)器人姿態(tài)的轉(zhuǎn)換方法。本文以ABB IRB6660/1.9工業(yè)機(jī)器人為研究對(duì)象，其加工平臺(tái)現(xiàn)場(chǎng)及運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖2所示，ABB IRB6660機(jī)器人D-H參數(shù)如表1所示。ABB IRB6660/1.9工業(yè)機(jī)器人的定位誤差為0.05 mm，重復(fù)定位誤差為0.08 mm，根據(jù)此機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)，運(yùn)用D-H法建立機(jī)器人各臂桿的坐標(biāo)系，見圖2(b)。

(a)加工平臺(tái)現(xiàn)場(chǎng) (b)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

表1 ABB IRB6660機(jī)器人D-H參數(shù)

(4)

式中，αi-1為機(jī)器人臂桿角度；qi為i關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角。

(5)

圖3 不同坐標(biāo)系以及刀具路徑上的刀觸點(diǎn)示意圖

(6)

式中，x0，y0和z0為初始工件坐標(biāo)系CSW0坐標(biāo)原點(diǎn)在基坐標(biāo)系BCS下的坐標(biāo)值。

(7)

式中，θ為工件繞初始工件坐標(biāo)系CSW0上ZW軸的旋轉(zhuǎn)角。

(8)

式中，θf為刀具進(jìn)給方向角；c1和c2為中間變量，計(jì)算式為

(9)

(10)

式中，θR為機(jī)器人冗余角；(Txp,Typ,Tzp)為刀觸點(diǎn)P在刀具坐標(biāo)系CST下的描述，可通過刀具幾何參數(shù)和刀具姿態(tài)確定，具體為

(11)

式中，D和r分別為刀具的直徑和圓角半徑，mm；κCC和φCC為刀觸點(diǎn)處的刀具接觸角，即

(12)

由式(5)和式(12)，建立工件位姿與機(jī)器人姿態(tài)的映射關(guān)系為

(13)

1.3 機(jī)器人銑削加工切削力建模

根據(jù)五軸銑削加工過程切削力理論模型[22-23]預(yù)測(cè)機(jī)器人切削力，其在刀具坐標(biāo)系CST下的表示為

Fx,y,z(α,β)

(14)

式中，f為每齒進(jìn)給量，mm；N為刀具齒數(shù)；κ為刀具軸向接觸角；z1,j和z2,j分別為第j切削刃上參與切削微元的下限和上限;A為切削力系數(shù)和刀具接觸角的中間變量矩陣，表示為

(15)

式中，φ為刀具徑向接觸角；Kr、Kt和Kα分別為刀具徑向、切向和軸向的切削力系數(shù)。

對(duì)于機(jī)器人銑削，還需將上述切削力預(yù)測(cè)模型轉(zhuǎn)換到機(jī)器人基坐標(biāo)系CSB下進(jìn)行描述，CSB下切削力模型Ff表示為

(16)

(17)

1.4 機(jī)器人柔度及力致變形建模

當(dāng)機(jī)器人臂桿和末端刀具具有較好剛度特性時(shí)，其末端變形主要由各運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)在末端負(fù)載作用下的變形決定，在此情況下機(jī)器人剛度模型為K=JT(Kq-Kc)J-1，其中Kc為補(bǔ)償剛度矩陣。對(duì)于具有良好運(yùn)動(dòng)性能的機(jī)器人，Kc對(duì)K的影響很小，通常忽略不計(jì)[24]，本文基于此進(jìn)行剛度建模。柔度矩陣C為剛度矩陣K的逆，采用柔度矩陣C代替剛度矩陣K可避免求解雅可比矩陣J的逆。機(jī)器人的柔度矩陣C、雅可比矩陣J和關(guān)節(jié)剛度矩陣Kq為6×6矩陣，按照矩陣元素的物理意義，可將其分為四個(gè)3×3的子矩陣，即

(18)

式中，Ctt為平移柔度子矩陣；Crr為旋轉(zhuǎn)柔度子矩陣；Ctr為耦合柔度子矩陣；雅可比矩陣J由表1中的機(jī)器人D-H參數(shù)計(jì)算得到；對(duì)角矩陣Kq為機(jī)器人的關(guān)節(jié)剛度，各關(guān)節(jié)剛度值如表2所示[12]；雅可比矩陣J和對(duì)角矩陣Kq的矩陣分別描述為

(19)

表2 機(jī)器人ABB IRB6660關(guān)節(jié)剛度值

基于柔度矩陣C，可得機(jī)器人末端變形ΔX與其作用力F之間的關(guān)系為

(20)

式中，ΔX為機(jī)器人末端上的平移(mm)和旋轉(zhuǎn)位移(rad)；F為作用在末端上的廣義力，包括力(N)和力矩(N·m)。ΔX、F矩陣分別描述為

(21)

假設(shè)作用在刀具上力矩很小，引起的旋轉(zhuǎn)變形微小，可忽略作用力矩及其引起的旋轉(zhuǎn)變形，將式(20)轉(zhuǎn)換為

(22)

式中，ΔXt= [dxdydz]T為ΔX中的平移位移部分，即為機(jī)器人末端力致變形；Ff=[Fx

FyFz]T為F中作用力部分，由切削力模型確定。

將式(18)代入式(22)，得到力致變形ΔXt為

(23)

2 優(yōu)化模型求解

本文選取工件沿機(jī)器人基坐標(biāo)系CSB的XB軸和YB軸方向平移位置(x,y)及繞Z軸方向旋轉(zhuǎn)角度θ作為優(yōu)化變量，故可在XBOYB平面上將工件的可達(dá)區(qū)域進(jìn)行離散化，如圖4所示。圖4中，在XB軸方向上離散為m2個(gè)工件平移位置，在YB軸方向上離散為m1個(gè)工件平移位置，在繞ZB軸旋轉(zhuǎn)方向上離散為m3個(gè)工件旋轉(zhuǎn)位置，則可在所選取空間內(nèi)離散出m1×m2×m3個(gè)位姿點(diǎn)，圖中圓點(diǎn)及其上箭頭分別表示工件位置與朝向。m1×m2×m3個(gè)位姿點(diǎn)組成了工件位姿優(yōu)化模型的搜索空間w，該空間中的某位姿點(diǎn)k處工件位姿坐標(biāo)可表示為

圖4 工件位姿搜索空間示意

w(k1,k2,k3)=(xk1,yk2,θk3)

(24)

設(shè)計(jì)優(yōu)化模型求解方法，通過輸入工件位姿坐標(biāo)值，計(jì)算工件平均法向力致誤差的最小值，并確定工件位姿搜索空間內(nèi)最優(yōu)工件位姿wopt，其求解流程圖如圖5所示。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

本實(shí)驗(yàn)所選用加工平臺(tái)的工作臺(tái)尺寸范圍為1500 mm×1000 mm，因此，設(shè)計(jì)了工件加工位置空間范圍的尺寸為1400 mm×800 mm×90°。設(shè)置初始工件坐標(biāo)系CSW0的坐標(biāo)原點(diǎn)在基坐標(biāo)系BCS下的坐標(biāo)值(x0,y0,z0)為(0,0,0)，根據(jù)工作臺(tái)相對(duì)于機(jī)器人的實(shí)際位置，工件位姿的搜索范圍為

(25)

實(shí)驗(yàn)設(shè)置現(xiàn)場(chǎng)如圖6所示。圖6中長(zhǎng)方體工件的尺寸為1000 mm×100 mm×100 mm，工件材料為Al6065。從圖6中可以看出，在長(zhǎng)方體工件上進(jìn)行連續(xù)銑削加工的過程相當(dāng)于對(duì)若干個(gè)不同位置處的小工件進(jìn)行加工(見圖6(a))；同時(shí)，對(duì)這些小工件都設(shè)置了90°、60°和45°的旋轉(zhuǎn)角度，如圖6(a)～圖6(d)所示。

(a)工件旋轉(zhuǎn)姿態(tài)θ=90° (b)工件旋轉(zhuǎn)姿態(tài)θ=0°

實(shí)驗(yàn)中設(shè)置了20組工件位姿點(diǎn)，這些位姿點(diǎn)的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)和θ旋轉(zhuǎn)角如表3所示，z坐標(biāo)均為1170 mm，其中，前5組位姿點(diǎn)的設(shè)置為：x坐標(biāo)為1400 mm、姿態(tài)角θ為90°、y軸坐標(biāo)分別為200、300、400、500、600 mm；然后，再將工件分別旋轉(zhuǎn)60°、45°和0°，設(shè)置6～20組位姿。

表3 實(shí)驗(yàn)中設(shè)置的位姿點(diǎn)

實(shí)驗(yàn)中通過超高速激光位移檢測(cè)儀測(cè)量機(jī)器人末端力致變形，如圖6(a)所示，其中所用的傳感器測(cè)頭(Keyence LK-H050)固定于機(jī)器人銑削主軸末端，激光點(diǎn)射在工作臺(tái)面上，獲取到的末端變形數(shù)據(jù)經(jīng)由控制器連接到PC端進(jìn)行采集，如圖6(e)所示。為避免銑削加工前系統(tǒng)誤差及安裝誤差等的影響，如傳感器測(cè)頭發(fā)射激光在ZB方向的傾斜所引入的誤差及工作臺(tái)面的平面度誤差，分別在切削和空走刀兩種狀態(tài)下采集機(jī)器人末端在相同路徑上沿加工面法向力致變形，兩次采集數(shù)據(jù)的差值在工件表面法向的投影即為法向力致誤差。

將機(jī)器人冗余角θR、刀具進(jìn)給方向角θf、刀具前傾角α和刀具側(cè)傾角β均設(shè)定為零，加工路徑分別為垂直于基坐標(biāo)系XW軸和垂直于YW軸方向的直線，加工路徑上刀觸點(diǎn)Pj處法矢與基坐標(biāo)系ZB軸平行。設(shè)置加工路徑上刀觸點(diǎn)Pj間距Δl為10 mm、刀觸點(diǎn)數(shù)量Np為5個(gè)。實(shí)驗(yàn)中所選取的刀具參數(shù)和所設(shè)置的切削參數(shù)表4所示。

表4 工業(yè)機(jī)器人主要刀具參數(shù)和切削參數(shù)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

工作表面平均法向力致誤差和機(jī)器人法向柔度如圖7所示，其中法向柔度計(jì)算公式為

(26)

從圖7(a)中可以看出，工件表面法向力致誤差預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值具有相同的變化趨勢(shì)，且法向力致誤差的預(yù)測(cè)值均小于其實(shí)測(cè)值，這主要是因?yàn)樵跈C(jī)器人末端柔度建模中未考慮臂桿等非關(guān)節(jié)柔性部件的影響以及在力致變形建模中忽略了扭矩的作用。對(duì)比圖7(a)和圖7(b)可以發(fā)現(xiàn)，工件表面法向力致誤差在不同工件位姿下的變化規(guī)律呈現(xiàn)出與機(jī)器人法向柔度變化趨勢(shì)一致，這是由于在整個(gè)切削過程中，工件材料、刀具幾何參數(shù)和切削參數(shù)等加工條件保持不變，所以切削力的變化規(guī)律保持不變；由式(23)可知，機(jī)器人的柔度是其變形改變的影響因素，而且實(shí)驗(yàn)中設(shè)置的是采用固定刀具姿態(tài)加工平面工件，法向誤差即為法向變形，因此，工件表面法向力致誤差與機(jī)器人法向柔度具有相同變化趨勢(shì)。從圖7(a)中還可以看出，1～5組工件表面法向力致誤差值均明顯大于6～15組工件表面法向力致誤差值，這是因?yàn)?～5組機(jī)器人法向柔度值均明顯大于6～15組機(jī)器人的法向柔度值(見圖7(b))。

(a)力致誤差 (b) 法向柔度

4 結(jié)語

(1)針對(duì)工業(yè)機(jī)器人銑削加工過程的大負(fù)載和弱剛性帶來的較大力致誤差問題，以工件位姿為優(yōu)化變量、工件表面法向力致誤差為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建工業(yè)機(jī)器人銑削加工力致誤差模型及工件位姿優(yōu)化模型，通過算法設(shè)計(jì)對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，以確定最優(yōu)工件位姿。

(2)采用優(yōu)化模型求解確定的最優(yōu)工件位姿處的平均法向力致誤差相比優(yōu)化前降低61.0%，應(yīng)用優(yōu)化方法能夠有效地控制工業(yè)機(jī)器人銑削加工中的力致誤差，提高工業(yè)機(jī)器人的加工精度。