王 坤，金曉宏,2，陶 平,2，黃 浩

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081)

電液負(fù)載模擬器是一種半實(shí)物仿真平臺(tái)，它能在實(shí)驗(yàn)條件下通過所建立的模型，對(duì)飛行器舵機(jī)等設(shè)備在實(shí)際工況下所受的干擾力進(jìn)行模擬，并對(duì)受控對(duì)象進(jìn)行檢測(cè)，其主體是電液力加載系統(tǒng)[1-2]。為了能夠真實(shí)模擬被加載對(duì)象在實(shí)際使用過程中的負(fù)載規(guī)律，電液力加載系統(tǒng)必須能快速地復(fù)現(xiàn)各種復(fù)雜多變的載荷且要有足夠的精度，因此對(duì)電液力加載系統(tǒng)頻寬進(jìn)行拓展具有重要意義。

電液力加載系統(tǒng)頻寬的相關(guān)研究成果有不少。Heuvelman等[3]設(shè)計(jì)了一種由直流電機(jī)減速齒輪、輸出扭矩傳感器和微型計(jì)算機(jī)組成的負(fù)載模擬器，提高了伺服系統(tǒng)的頻寬。Shamisa等[4]將基于定量反饋理論(QFT)的設(shè)計(jì)方法和被動(dòng)容錯(cuò)控制(passive FTC)結(jié)合起來，提出了一種QFT-FTC方法應(yīng)用于存在傳感器和執(zhí)行器故障的電力負(fù)載模擬器。Karpenko等[5]為用于半實(shí)物飛行仿真實(shí)驗(yàn)的電液負(fù)載模擬器設(shè)計(jì)了一種魯棒力控制系統(tǒng)，并采用非線性定量反饋理論來擴(kuò)展力跟蹤頻寬。李朝朝等[6]提出了一種基于主導(dǎo)極點(diǎn)參考模型的自適應(yīng)控制策略，拓展了電液力加載系統(tǒng)頻寬；該方法采用的是定質(zhì)量分析，未討論質(zhì)量力在負(fù)載力中的占比問題。何龍飛[7]針對(duì)被動(dòng)式電液力加載系統(tǒng)的頻寬問題，設(shè)計(jì)了一種基于力反饋的反步滑模變結(jié)構(gòu)控制器；但該控制器僅在負(fù)載較小時(shí)才能高精度、穩(wěn)定地跟蹤指令力信號(hào)，當(dāng)負(fù)載質(zhì)量達(dá)到100 kg以上時(shí)，系統(tǒng)的輸出力含有較大誤差。針對(duì)重載航空負(fù)載模擬器在進(jìn)行大載荷加載時(shí)多余力較大、加載精度低等問題，歐陽小平等[8]設(shè)計(jì)了一種非線性最優(yōu)前饋補(bǔ)償控制器，使系統(tǒng)的多余力抑制能力和加載精度相比傳統(tǒng)的前饋補(bǔ)償控制器提高了50%以上；該控制器在實(shí)驗(yàn)過程中的負(fù)載力為50 kN，負(fù)載質(zhì)量為50 kg，質(zhì)量力最大僅為5 N，質(zhì)量力與負(fù)載力的比值約為1∶10 000，系統(tǒng)慣性負(fù)載的占比非常小。姚建勇等[9]基于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)逆模型設(shè)計(jì)出復(fù)合控制器，提高了系統(tǒng)控制精度，增強(qiáng)了系統(tǒng)抑制外干擾的能力，并拓展了系統(tǒng)雙十頻寬。李建雄等[10]提出一種基于非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)的自適應(yīng)反步滑?？刂品椒?，有效解決了軋機(jī)液壓伺服系統(tǒng)中存在的非線性及參數(shù)時(shí)變性問題，不僅提高了系統(tǒng)魯棒性而且使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了快速跟蹤。

對(duì)于質(zhì)量力在負(fù)載力中占比較大的場(chǎng)合，要想較好地控制電液力加載系統(tǒng)快速復(fù)現(xiàn)各種復(fù)雜多變的載荷且保持足夠精度是有較大難度的；同時(shí)，在電液力加載系統(tǒng)中還存在一些不確定因素，會(huì)對(duì)系統(tǒng)的加載精度、穩(wěn)定性等產(chǎn)生不利影響?，F(xiàn)有文獻(xiàn)大多集中針對(duì)上述問題中的一個(gè)進(jìn)行研究，而本文擬設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)反步滑?？刂破?，既適用于質(zhì)量力在負(fù)載力中占比較大的場(chǎng)合，同時(shí)還綜合考慮電液力加載系統(tǒng)中多種不確定性因素的影響，最后利用MATLAB/Simulink仿真軟件進(jìn)行系統(tǒng)特性分析。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

電液力加載系統(tǒng)有主動(dòng)和被動(dòng)兩種加載方式。本文研究對(duì)象為被動(dòng)式電液力加載系統(tǒng)(以下簡稱力系統(tǒng))，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，圖中僅示出了力系統(tǒng)中的動(dòng)力元件和負(fù)載，其輸出為力Fg；左側(cè)位置控制系統(tǒng)(以下簡稱位置系統(tǒng))是力系統(tǒng)的承載裝置，其位移xp是力系統(tǒng)的指令信號(hào)，同時(shí)也是位置干擾量。

圖1 電液力加載系統(tǒng)示意圖

2 系統(tǒng)建模

根據(jù)力系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)方程，電液伺服閥采用零開口四邊滑閥，本研究中的伺服閥固有頻率為1242 rad/s，系統(tǒng)的綜合固有頻率為531.12 rad/s。文獻(xiàn)[11]指出，如果伺服閥的固有頻率高于動(dòng)力元件的固有頻率，伺服閥的傳遞函數(shù)可以用一階慣性環(huán)節(jié)表示，故這里將力系統(tǒng)中的伺服閥視為一階慣性環(huán)節(jié)，其閥芯位移方程為：

(1)

式中：xv為伺服閥閥芯位移，m；τv為伺服閥響應(yīng)時(shí)間，s；kv為電流-閥芯位移增益系數(shù)，m/A；u為伺服閥輸入電流，A。

電液伺服閥閥口的流量方程為：

(2)

式中：q1、q2分別為通過伺服閥進(jìn)入(流出)液壓缸左、右兩腔的流量，m3/s；Cd為薄壁小孔流量系數(shù)；w為閥口面積梯度，m；ρ為液壓油密度，kg/m3；ps為供油壓力，Pa；p0為回油口壓力，Pa；p1、p2分別為液壓缸左、右兩腔的壓力，Pa。

液壓缸兩腔的壓力動(dòng)態(tài)方程式為：

(3)

式中：Ee為油液有效體積彈性模量，Pa；A為液壓缸活塞的有效面積，m2；xf為力加載系統(tǒng)活塞桿位移，活塞桿因剛度足夠大而被視為剛體，故活塞桿位移等于活塞位移，m；Cip為液壓缸內(nèi)泄漏系數(shù)，(m3/s)/Pa；pL為負(fù)載壓力，pL=p1-p2，Pa；V1、V2為液壓缸左、右兩腔有效容積，m3，V1=V01+Axf，V2=V02-Axf，其中，V01、V02為液壓缸左、右兩腔初始有效容積，m3。

由式(3)可得：

CippL(1/V1+1/V2)]

(4)

系統(tǒng)的負(fù)載力平衡方程式為：

(5)

式中：Fk為活塞桿受到的力，F(xiàn)k=K(xp+xf)，N，其中K為結(jié)構(gòu)剛度，N/m；M為折合在活塞桿上的綜合質(zhì)量，kg；Bp為黏性阻尼系數(shù)，N/(m/s)；Ff為非線性摩擦力，N。

摩擦力采用非線性連續(xù)可微函數(shù)逼近[12]：

Ff=a1[tanh(b1xf)-tanh(b2xf)]+

a2tanh(b3xf)+a3xf

(6)

式中：a1、a2、a3為各類摩擦特性的幅值大小；b1、b2、b3為與摩擦特性形狀相關(guān)的系數(shù)，其取值大小決定了摩擦力變化規(guī)律。

將力系統(tǒng)中液壓缸兩腔壓差作用在活塞桿上的力定義為輸出力Fg，F(xiàn)g=ApL；同時(shí)，因活塞桿為剛體，為了簡化控制器的設(shè)計(jì)，可將活塞桿和活塞的質(zhì)量等效到負(fù)載質(zhì)量M中。定義組合參數(shù)θ1、θ2、θ3、θ4、θ5，其中，θ1=AkqEe，θ2=EeA2，θ3=ACipEe，θ4=1/τv,θ5=kv/τv。

由式(1)、式(2)和式(4)可得力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

(7)

其中，函數(shù)f1、f2分別為：

f1=R1/V1+R2/V2

(8)

f2=1/V1+1/V2

(9)

函數(shù)R1、R2分別為：

(10)

考慮電液伺服閥的工作死區(qū)、電信號(hào)的偏差等不確定量以及位置干擾，式(7)可以改寫為：

(11)

式中：Δ1和Δ2為力系統(tǒng)參數(shù)不確定部分；d(t)為位置干擾。

在實(shí)際控制中，不確定量及位置干擾通常未知，故其上界很難確定，可采用自適應(yīng)方法進(jìn)行估計(jì)?？紤]各種不確定因素的力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為：

(12)

式中：Y代表總不確定性，其表達(dá)式為：

Y=Δ1·xv+Δ2·u+d(t)

(13)

3 控制器的設(shè)計(jì)

本節(jié)借鑒文獻(xiàn)[13]中的自適應(yīng)反步滑?？刂品椒?，以力系統(tǒng)為研究對(duì)象，綜合考慮力系統(tǒng)的非線性摩擦和液壓缸容腔效應(yīng)、電液伺服閥的工作死區(qū)和電信號(hào)偏差等不確定因素以及位置干擾，推導(dǎo)包含Y的自適應(yīng)控制律，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論進(jìn)行設(shè)計(jì)求解。

3.1 反步滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

記指令力為Fd，則控制器的目標(biāo)就是使輸出力Fg跟蹤指令力Fd。

定義輸出誤差為z1，有

z1=Fg-Fd

(14)

對(duì)式(14)求導(dǎo)可得：

(15)

第一步：

定義穩(wěn)定項(xiàng)

α1=c1z1

(16)

式中：c1為正常數(shù)。

定義Lyapunov函數(shù)

(17)

定義誤差

(18)

則

(19)

第二步：

(20)

定義Lyapunov函數(shù)

(21)

式中：σ為切換函數(shù)，其定義為：

σ=k1z1+z2

(22)

其中k1>0，則有

(23)

設(shè)計(jì)反步滑?？刂破鳛椋?/p>

(24)

式中：h、β為正常數(shù)。

3.2 自適應(yīng)控制律設(shè)計(jì)

為了避開Y的上界，采用自適應(yīng)算法對(duì)Y進(jìn)行估計(jì)。

定義Lyapunov函數(shù)

(25)

對(duì)式(25)求導(dǎo)得：

(26)

設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器為：

(27)

力系統(tǒng)不確定性Y的自適應(yīng)控制律為

(28)

3.3 穩(wěn)定性證明

將式(27)和式(28)代入式(26)得

(29)

取

(30)

令zT=[z1z2]，則有

(31)

根據(jù)式(29)和式(31)，有

(32)

又由于

|Q|=h(c1+k1)-0.25

(33)

4 仿真及結(jié)果分析

根據(jù)上文設(shè)計(jì)得出的力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB/Simulink進(jìn)行力系統(tǒng)特性分析，自適應(yīng)反步滑模控制器的Simulink模型如圖2所示。

圖2 自適應(yīng)反步滑?？刂破鞯腟imulink模型

采用ode23s求解算法，步長設(shè)置為可變，其中最大步長為1×10-1s、最小步長為1×10-6s，計(jì)算相對(duì)誤差為1×10-7s，仿真時(shí)間設(shè)為1 s。參照文獻(xiàn)[14]設(shè)置仿真計(jì)算所用參數(shù)，如表1所示，為了討論負(fù)載質(zhì)量變化對(duì)系統(tǒng)的影響，將其調(diào)整為50～200 kg。

表1 電液力加載系統(tǒng)參數(shù)

式(6)中各摩擦特性相關(guān)參數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[15]取值為：a1=177，a2=63，a3=4000，b1=500，b2=80，b3=900；式(16)中的參數(shù)c1=100。在仿真實(shí)驗(yàn)中經(jīng)過調(diào)試得出以下參數(shù)的取值：式(22)中的參數(shù)k1=500；式(24)中的參數(shù)h=200，β=15；式(25)中的參數(shù)γ=300。

在仿真過程中，本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)反步滑?？刂破饔洖閡a，其實(shí)際輸出力記為Fa，文獻(xiàn)[7]中基于力反饋的反步滑模控制器記為ub，其實(shí)際輸出力記為Fb，將兩種控制器的輸出進(jìn)行對(duì)比分析。

4.1 系統(tǒng)響應(yīng)速度和加載精度

對(duì)采用控制器ua和ub的力系統(tǒng)進(jìn)行加載，設(shè)定負(fù)載質(zhì)量為200 kg，力系統(tǒng)指令力分別為階躍信號(hào)Fd=3000 N、正弦信號(hào)Fd=3000+500·sin(16πt) N。階躍信號(hào)下力系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖3所示，正弦信號(hào)下力系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖3 階躍信號(hào)下電液力加載系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

圖4 正弦信號(hào)下電液力加載系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

由圖3可以看出，當(dāng)指令力為階躍信號(hào)時(shí)，控制器ua的上升時(shí)間為0.004 s，控制器ub的上升時(shí)間為0.055 s，即本文控制器相較對(duì)比控制器的響應(yīng)速度提高了約92.7%。當(dāng)t=0.020 s時(shí)，采用控制器ua的力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.02 N；當(dāng)t=0.250 s時(shí)，采用控制器ub的力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2.53 N。由圖4可以看出，當(dāng)指令力為正弦信號(hào)時(shí)，控制器ua在0.009 s后能較好地跟蹤指令信號(hào)，控制器ub在0.104 s后能較好地跟蹤指令信號(hào)，本文控制器相較對(duì)比控制器的響應(yīng)速度提高了約91.3%。

位置擾動(dòng)是造成力系統(tǒng)加載精度不夠的主要原因之一，同時(shí)又會(huì)使力系統(tǒng)的液壓缸活塞行程發(fā)生變化。文獻(xiàn)[16]研究表明，液壓缸活塞行程變化過程中，液壓彈簧剛度會(huì)發(fā)生改變；在液壓缸活塞處于行程中間點(diǎn)左右0.01 m時(shí)，液壓彈簧剛度變化僅占其總變化量的4%，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性最差，但同時(shí)這也是最常用的工作點(diǎn)。

對(duì)力系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)加載仿真，負(fù)載質(zhì)量M分別設(shè)置為50、100、200 kg，將力系統(tǒng)的指令信號(hào)設(shè)為Fd=3000+500sin(16πt) N，位置系統(tǒng)的位置干擾信號(hào)設(shè)為xp=0.01sin(6πt) m。負(fù)載質(zhì)量為50 kg時(shí)，力系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖5所示，誤差曲線如圖6所示。

圖5 負(fù)載質(zhì)量為50 kg時(shí)電液力加載系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

圖6 負(fù)載質(zhì)量為50 kg時(shí)輸出力的誤差曲線

由仿真結(jié)果可知，當(dāng)負(fù)載質(zhì)量為50 kg時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，F(xiàn)a的最大誤差為41.77 N，F(xiàn)b的最大誤差為214.20 N；當(dāng)負(fù)載質(zhì)量為100 kg時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，F(xiàn)a的最大誤差為41.74 N，ub控制器不能使系統(tǒng)收斂到穩(wěn)態(tài)；當(dāng)負(fù)載質(zhì)量為200 kg時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，F(xiàn)a的最大誤差為41.81 N，表明控制器ua在質(zhì)量為200 kg時(shí)仍能保持較高加載精度，而ub控制器不能使系統(tǒng)收斂到穩(wěn)態(tài)。

4.2 負(fù)載質(zhì)量對(duì)力系統(tǒng)頻寬的影響

設(shè)定負(fù)載質(zhì)量分別為50、100、200 kg，力指令信號(hào)為Fd=3000+500sin(16πt) N，位置干擾信號(hào)為xp=0.01sin(6πt) m，此時(shí)ua所控制的力系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖7所示。

圖7 負(fù)載質(zhì)量不同時(shí)電液力加載系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

當(dāng)負(fù)載質(zhì)量為200 kg時(shí)，系統(tǒng)最大質(zhì)量力為710.61 N，最大負(fù)載力為3.5 kN，質(zhì)量力與負(fù)載力的比值約為1∶5，由仿真結(jié)果可知，自適應(yīng)反步滑模控制器ua能較好地抑制質(zhì)量力對(duì)輸出的影響，力系統(tǒng)在正弦力指令信號(hào)下的輸出誤差在1 N之內(nèi)。

4.3 液壓缸活塞行程點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)頻寬的影響

所設(shè)計(jì)力系統(tǒng)的液壓缸有效行程為0.1 m，所以在實(shí)驗(yàn)過程中活塞桿位移xf的變化范圍為[-0.05 m，0.05 m]。初始狀態(tài)時(shí)，力系統(tǒng)和位置系統(tǒng)的活塞桿同軸對(duì)頂并將負(fù)載置于行程中間點(diǎn)，即xf=0 m。

為探究力系統(tǒng)的活塞桿行程點(diǎn)對(duì)其頻寬的影響，設(shè)定負(fù)載質(zhì)量為200 kg，力指令信號(hào)為Fd=3000+500sin(24πt) N，位置干擾指令信號(hào)為xp=0.01sin(6πt)+x0m，其中x0的取值分別為-0.03、0、0.03，位置干擾信號(hào)如圖8所示。仿真得到x0取值不同時(shí)力系統(tǒng)的響應(yīng)曲線,如圖9所示。

圖8 位置干擾信號(hào)

圖9 x0取值不同時(shí)電液力加載系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

由仿真結(jié)果可知，x0=0時(shí)，力系統(tǒng)在輸出穩(wěn)定后的最大誤差約為3.91 N；x0=0.03時(shí)，力系統(tǒng)在輸出穩(wěn)定后的最大誤差約為3.90N；x0=-0.03時(shí)，力系統(tǒng)在輸出穩(wěn)定后的最大誤差約為3.90 N。因此，行程點(diǎn)的變化對(duì)力系統(tǒng)的頻寬基本不產(chǎn)生影響。

4.4 力系統(tǒng)的頻寬探究

為了衡量力系統(tǒng)的性能，采用系統(tǒng)輸出力信號(hào)的幅值大小和相位誤差進(jìn)行綜合評(píng)判。設(shè)定負(fù)載質(zhì)量為200 kg，力系統(tǒng)正弦指令信號(hào)為Fd=3000+500sin(2πft)N，位置干擾信號(hào)為xp=0.01sin(6πt) m，逐步提高力信號(hào)的變化頻率f，在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，通過觀測(cè)輸出信號(hào)的幅值誤差和相位滯后來探究力系統(tǒng)的頻寬。

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。當(dāng)力系統(tǒng)的正弦指令信號(hào)頻率為12 Hz、質(zhì)量力與負(fù)載力的比值約為1∶5時(shí)，力系統(tǒng)的輸出力幅值最大誤差為62.36 N，相對(duì)誤差約為1.8%，輸出力的相位誤差均值為-7.164°，故本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)反步滑?？刂破髂軐⒘ο到y(tǒng)的頻寬有效提升到12 Hz。

表2 不同頻率正弦信號(hào)下的電液力加載系統(tǒng)性能對(duì)比

5 結(jié)論

(1)本文設(shè)計(jì)的電液力加載系統(tǒng)自適應(yīng)反步滑模控制器適用于質(zhì)量力在負(fù)載力中占比較大的場(chǎng)合，并且綜合考慮了系統(tǒng)的非線性摩擦和液壓缸容腔效應(yīng)、電液伺服閥的工作死區(qū)和電信號(hào)偏差等不確定因素以及位置干擾的影響。

(2)力系統(tǒng)的響應(yīng)速度得到大幅提升。指令力為階躍信號(hào)時(shí)，該控制器的上升時(shí)間為0.004 s；指令力為正弦信號(hào)時(shí)，該控制器在0.009 s后就能較好地進(jìn)行跟蹤。

(3)所設(shè)計(jì)的控制器能較好地抑制質(zhì)量力的不利影響。系統(tǒng)負(fù)載中質(zhì)量力與負(fù)載力的比值最大為1∶5，在正弦力指令信號(hào)輸入時(shí)，力系統(tǒng)的輸出誤差在1 N之內(nèi)。

(4)當(dāng)力系統(tǒng)的行程點(diǎn)變化時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定輸出后的最大誤差均小于4 N，力系統(tǒng)行程點(diǎn)的變化對(duì)力系統(tǒng)的頻寬基本不產(chǎn)生影響。

(5)所設(shè)計(jì)的控制器有效拓展了力系統(tǒng)的頻寬。進(jìn)行12 Hz的正弦指令力加載時(shí)，系統(tǒng)輸出力幅值最大誤差為62.36 N，相對(duì)誤差約為1.8%，相位誤差均值為-7.164°。