變式課本習(xí)題提升思維能力

孫文靜

例如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，BC=21cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s.那么運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，它們相距15cm？

解設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)相距15厘米，則有CP=BQ=1×t=t厘米，

所以CQ=21-t，

在Rt△PCQ中，由勾股定理可得

CP²+CQ²=PQ²，

即t²+（21-t）²=15²，

整理，化簡(jiǎn)得t²-2t+108=0，

解之，得t₁=9，t₂=12，

答：運(yùn)動(dòng)9秒或12秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)相距12厘米.

反思探究本題是以幾何圖形（直角三角形）為載體，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在直角邊上運(yùn)動(dòng)，探究?jī)蓜?dòng)點(diǎn)之間的長(zhǎng)度符合某個(gè)條件時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間問(wèn)題，解決此類問(wèn)題首先我們要搞清動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向、時(shí)間和速度，以便根據(jù)“路程=時(shí)間×速度”表示出相關(guān)的線段的長(zhǎng)度（即含有時(shí)間t的整式），然后再結(jié)合已知條件求出與求解相關(guān)的其他線段，對(duì)于較復(fù)雜的多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題我們?cè)趯忣}時(shí)還應(yīng)該掌握如下的幾條信息.

1.運(yùn)動(dòng)的路線：是直線型的還是折線型（轉(zhuǎn)折點(diǎn)的位置）等其他形式;

2.考慮到它們是同時(shí)同地、還是同時(shí)異地.

3.點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的范圍有無(wú)限制（包括時(shí)間和路線等），同時(shí)我們要學(xué)會(huì)用變化的眼光去洞察運(yùn)動(dòng)變化的全過(guò)程，抓住“運(yùn)動(dòng)與靜止”的辯證關(guān)系，用好“動(dòng)中尋靜，以靜制動(dòng)”的解題策略.顯然本題的相等關(guān)系是由直角三角形的勾股定理來(lái)提供的，事實(shí)上這也是一個(gè)構(gòu)造一元二次方程常用的一個(gè)相等關(guān)系.

變式1變化研究問(wèn)題的視角，從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的三角形（或四邊形）面積的大小進(jìn)行探索.

例1已知：如圖2，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).

（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6cm²？

（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于8cm²？說(shuō)明理由.

解（1）設(shè)經(jīng)過(guò)1秒以后△PBQ面積為6cm²，則BP=（5-x）cm，BQ=2xcm.

根據(jù)直角三角形的面積公式可得

整理得x²-5x+6=0，

解得x=2或x=3.

答：2或3秒后△PBQ的面積等于6cm².

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒以后△PBQ面積為8cm²，則有

整理得x²-5x+8=0，

Δ=25-32=-7<0，

所以，此方程無(wú)解，

答：△PQB的面積不能等于8cm².

注（1）根據(jù)直角三角形的面積公式作為相等關(guān)系構(gòu)造關(guān)于時(shí)間1的一元二次方程;

（2）考察了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.

例2如圖3，在△ABC中，∠ABC=90°AB=8cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開(kāi)始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)。后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形APQC的面積為9cm²時(shí)，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）

（A）3s.（B）3s或5s.

（C）4s.（D）5s.

解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒后，能使四邊形APQC的面積為9cm²，則BP為（8-t）cm，BQ為2tcm，根據(jù)S_△PBQ+S_{四邊形APQC}=S_△ABC作為相等關(guān)系可得，

解得t₁=3，t₂=5

（當(dāng)t=5時(shí)，BQ=10，不合題意，舍去）.

故動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，可使四邊形APQC的面積為9cm².

故選（A）.

注本題是利用“整體=各部分面積之和”作為相等關(guān)系來(lái)構(gòu)造一元二次方程求解的，本題還應(yīng)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際情況對(duì)解進(jìn)行取舍，否則功虧一簣，誤選（B）答案.

變式2由兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，改為其中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)先出發(fā)一定時(shí)間，另一動(dòng)點(diǎn)再運(yùn)動(dòng)（不同時(shí)運(yùn)動(dòng)），探索動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的三角形面積的大小及線段之間長(zhǎng)度關(guān)系.

例3如圖4，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從A沿AC邊向C點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)，在C點(diǎn)停止，點(diǎn)Q從C點(diǎn)開(kāi)始沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，在B點(diǎn)停止.

（1）如果點(diǎn)P從點(diǎn)A先出發(fā)2s，點(diǎn)Q再?gòu)狞c(diǎn)C出發(fā)，問(wèn)點(diǎn)Q移動(dòng)幾秒鐘后S_△QPC=4cm²？

（2）如果點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘后PQ=BQ？

解（1）設(shè)P出發(fā)1秒時(shí)S_△QPC=4cm²，則Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（t-2）秒，此時(shí)AP=tcm，

PC=（6-t）cm，QC=2（t-2）cm，

根據(jù)直角三角形的面積公式可得

所以t²-8t+16=0，

解得t₁=t₂=4.

因此經(jīng)4秒點(diǎn)離A點(diǎn)1×4=4cm，點(diǎn)Q離C點(diǎn)2×（4-2）=4cm，符合題意.

答：P先出發(fā)2s，Q再?gòu)腃出發(fā)2s后，

S_△QPC=4cm².

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒鐘后PQ=BQ，則

PC=（6-x）cm，QC=2xcm，BQ=（8-2x）cm，

依題意可得

（6-x）²+（2x）²=（8-2x）²，

注不同時(shí)出發(fā)時(shí)，一定要搞清兩動(dòng)點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，同時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行檢驗(yàn)求得的解是否符合題意.從而確定取舍.

變式3由課本習(xí)題兩動(dòng)點(diǎn)在直角三角形的直角邊上同時(shí)出發(fā)，改為兩動(dòng)點(diǎn)在等邊三角形的邊上運(yùn)動(dòng)，探索動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的三角形的形狀與面積.

例4如圖5，在邊長(zhǎng)為12cm的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒鐘1cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以每秒鐘2cm的速度移動(dòng).若P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，其中任意一點(diǎn)到達(dá)目的地后，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，求：

（1）經(jīng)過(guò)幾秒后，△BPQ是直角三角形？

解（1）△BPQ是直角三角形，觀察圖形顯然只有∠BQP和∠BPQ可能為直角，故必須分兩種情形探究.因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB=BC=12cm，

∠A=∠B=∠C=60°.

①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，

所以∠BPQ=30°，

所以BP=2BQ.

因?yàn)锽P=12-x，BQ=2x，

所以12-x=2×2x，

②當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，所以∠PQB=30°，

所以BQ=2PB，

所以2x=2（12-x），

解得x=6.

（2）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AB于D，

所以∠QDB=90°，

所以∠DQB=30°，

在Rt△DBQ中，由勾股定理，得

解得x₁=10，x₂=2，

因?yàn)閤=10時(shí)，2x>12，故舍去，所以x=2.

注（1）問(wèn)滲透了分類討論的思想;等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，對(duì)本題的解答起到了關(guān)鍵的作用.