用好斜邊上的中線

李玉榮

【摘要】斜邊上的中線是直角三角形的一條重要線段，適時(shí)構(gòu)造，助你解題.

【關(guān)鍵詞】直角三角形;斜邊;中線

定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

應(yīng)用舉例：

例1如圖1，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點(diǎn)P.

（1）求證：CP=CB;

（2）若OB=4，CB=3，求線段BP的長(zhǎng).

解（1）略;

（2）因?yàn)锽C是⊙O的切線，

所以∠OBC=90°，

由（1）知CP=CB=3，

所以O(shè)P=OC-CP=2.

取AP的中點(diǎn)D，連接OD，

則OD=DP，

所以∠DOP=∠DPO=∠CPB=∠CBP，

所以△DOP∽△CBP，

例2如圖2，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，將△AOB繞頂點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′OB，處，此時(shí)線段A′B′與BO的交點(diǎn)E恰為BO的中點(diǎn)，則線段B′E的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

分析如圖2，因?yàn)锳O=3，BO=6，

取A′B′的中點(diǎn)F，連接OF，

所以∠EA′O=∠FOA′，

因?yàn)椤螦′EO=∠OA′E，

所以∠A′EO=∠FOA′，

又∠OA′E=∠FA′O，

所以△OA′E∽△FA′O，

例3如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AP=3，Q為BP的中點(diǎn)，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)線段CQ的長(zhǎng)度為m，則m的取值范圍是________.

解如圖3，取AB的中點(diǎn)M，連接QM，CM，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

所以AB=10，

因?yàn)辄c(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)Q是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

在△CMQ中，CM-MQ

解如圖4，延長(zhǎng)CB交l₁于點(diǎn)E，

因?yàn)閘₁∥l₂∥l₃，

且△CBD∽△CEA，

因?yàn)椤螦BC=90°，

所以∠ABE=90°，

取AE中點(diǎn)M，連接BM，則

例5如圖5.△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)D，

（1）求證：DE是⊙O的切線;

解（1）略;

（2）如圖5所示，取AF中點(diǎn)M，連接CM，

因?yàn)椤螦CF=90°，

因?yàn)锳C為⊙O的直徑，

所以CG⊥AF，

所以CG≤CM，

思考題你能用本文介紹的方法證明“HL”定理嗎？