孫杰

概率中的事件獨(dú)立性是一個(gè)非常重要的基本概念。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，首先要理解相互獨(dú)立的意義，才能理解相互獨(dú)立的隨機(jī)事件之間概率的關(guān)系，然后利用這些關(guān)系判斷兩事件的獨(dú)立性。下面從三個(gè)方面進(jìn)行闡述。

一、事件獨(dú)立性概念的理解

事件的相互獨(dú)立性概念的直觀解釋?zhuān)喝绻录嗀的發(fā)生不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，或者事件B的發(fā)生不會(huì)影響事件A發(fā)生的概率，則事件A與B相互獨(dú)立。事件A與事件B相互獨(dú)立的充要條件是P（AB）=P（A）P（B）。在實(shí)際應(yīng)用中，如果事件A與事件B是來(lái)自于相同條件下進(jìn)行的兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，則這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的。

二、事件獨(dú)立性的辨析

例1 下列事件A，B是相互獨(dú)立事件的為（

）。

A. 一枚硬幣擲兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”

B.袋中有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”

C.擲一枚骰子，A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”

D.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，A表示“至少有一入射中目標(biāo)”，B表示“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”

解：一枚硬幣擲兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”，則P（A）一P（B）=1/2，P（AB）=1/4=P（A）P（B），可知事件A，B是相互獨(dú)立事件。袋中有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”，事件A發(fā)生時(shí)，影響到事件B發(fā)生的概率，所以事件A，B不是相互獨(dú)立事件。擲一枚骰子，A表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則事件A，B是互斥事件，P（AB） =0≠P（A）P（B），所以事件A，B不是相互獨(dú)立事件?！爸辽儆幸蝗松渲心繕?biāo)”為事件A，“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”為事件B，則AB =B，因此當(dāng)P（A）≠1時(shí)，P（AB）≠P（A） . P（B），所以A，B不是相互獨(dú)立事件。應(yīng)選A。

點(diǎn)睛：判斷獨(dú)立事件常用的方法：定義法，若事件A的發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒(méi)有影響，反之亦然，則A，B這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立事件;公式法，若兩事件A，B，滿足P（AB）=P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立。獨(dú)立性的判斷不能僅僅停留在直覺(jué)判斷上，必須要落實(shí)到公式的驗(yàn)證上。

點(diǎn)睛：利用相互獨(dú)立事件解題應(yīng)注意的問(wèn)題：根據(jù)題設(shè)條件，分析事件間的關(guān)系，將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)事件的乘積之和，這些事件之間必須滿足相互獨(dú)立。