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      非線性回歸問(wèn)題求解例說(shuō)

      2022-07-08 03:43:25郭英秀
      關(guān)鍵詞:數(shù)據(jù)量掃碼優(yōu)惠

      郭英秀

      如果題目所給樣本點(diǎn)的分布不呈帶狀分布,即兩個(gè)變量不呈線性關(guān)系,就不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系。這時(shí)我們可以把散點(diǎn)圖和已經(jīng)學(xué)過(guò)的各種函數(shù),如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等作比較,挑選出與這些散點(diǎn)擬合最好的函數(shù),然后利用變量置換,把非線性回歸方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸方程問(wèn)題來(lái)解決,這樣就可以利用線性回歸模型來(lái)建立y和x之間的非線性回歸方程了。

      具體做法是:

      (1)若問(wèn)題中已給出經(jīng)驗(yàn)公式,這時(shí)可以將變量x進(jìn)行置換(換元),將變量的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題來(lái)解決;

      (2)若問(wèn)題中沒(méi)有給出經(jīng)驗(yàn)公式,需要我們畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,通過(guò)與各種已知函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖像作比較,選擇一種與這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù),然后采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q,將問(wèn)題化為線性回歸分析問(wèn)題來(lái)解決。

      例1 (2021年全國(guó)高三專題練習(xí)文數(shù))人類已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代。目前,數(shù)據(jù)量級(jí)已經(jīng)從TB(ITB=1 024GB)級(jí)別躍升到PB(IPB=1 024TB),EB(lEB=1 024PB),乃至ZB(IZB=1 024EB)級(jí)別。國(guó)際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究結(jié)果表明,2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0. 49ZB,2009年的數(shù)據(jù)量為0.8ZB,2010年的數(shù)據(jù)量增長(zhǎng)到1. 2ZB,2011年的數(shù)據(jù)量更是高達(dá)1. 82ZB。表1是國(guó)際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究的全球近6年每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量(單位:ZB)及相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值。

      點(diǎn)評(píng):對(duì)于非線性回歸方程的求解,一般要結(jié)合題意進(jìn)行變換,轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來(lái)求解,同時(shí)也要注意相應(yīng)數(shù)據(jù)的變化。

      例2 (2021年貴州理數(shù))某二手車交易市場(chǎng)對(duì)2020年某品牌二手車的交易進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到頻率分布直方圖(圖1)和散點(diǎn)圖(圖2)。用z表示該車的使用時(shí)間(單位:年),y表示其相應(yīng)的平均交易價(jià)格(單位:萬(wàn)元)。

      (l)已知2020年在此交易市場(chǎng)成交的該品牌二手車為100輛,求使用時(shí)間在[12,20]的車輛數(shù);

      (2)由散點(diǎn)圖分析后,可用y-e kx+a作為此交易市場(chǎng)上該種車輛的平均交易價(jià)格y關(guān)于其使用時(shí)間x的回歸方程。

      點(diǎn)評(píng):本題求解回歸方程的關(guān)鍵是能夠通過(guò)取對(duì)數(shù)的方式將非線性的回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程,利用最小二乘法求得線性回歸方程后,再變形得到所求回歸方程。

      例3 (2021年陜西高三二模理數(shù))為了迎接第十四屆全運(yùn)會(huì),提高智慧城市水平,西安公交公司近期推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng),活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付。某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,z表示活動(dòng)推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表3所示。

      根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了散點(diǎn)圖(圖3)。

      (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,在推廣期內(nèi),y—a+ bx與y -c.dx(c,d均為大于零的常數(shù)),哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)z的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)

      (2)根據(jù)(l)的判斷結(jié)果及表3中的數(shù)據(jù),建立y與x的回歸方程,并預(yù)測(cè)活動(dòng)推蹦第8天使用掃碼支付的人次。

      (3)推廣期結(jié)束后,車隊(duì)對(duì)乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表4。

      西安公交六公司車隊(duì)為緩解周邊居民出行壓力,以90萬(wàn)元的單價(jià)購(gòu)進(jìn)了一批新車,根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知,每輛車每個(gè)月的運(yùn)營(yíng)成本約為0. 66萬(wàn)元。已知該線路公交車票價(jià)為2元,使用現(xiàn)金支付的乘客無(wú)優(yōu)惠,使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠,掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠,根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知,使用掃碼支付的乘客中有1/6的概率享受7折優(yōu)惠,有÷的概率享受8折優(yōu)惠,有1/2的概率享受9折優(yōu)惠。預(yù)計(jì)該車隊(duì)每輛車每個(gè)月有2萬(wàn)人次乘車,根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,在不考慮其他因素的條件下,按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),請(qǐng)您估計(jì)這批車輛需要幾年(結(jié)果取整數(shù)年)才能盈利。

      參考數(shù)據(jù)如表5。

      點(diǎn)評(píng):本題考查非線性回歸相關(guān)問(wèn)題的解法,解題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)指數(shù)型回歸方程左右同時(shí)取對(duì)數(shù),轉(zhuǎn)化為線性回歸的類型,從而利用最小二乘法求得線性回歸方程,最后得到非線性回歸方程。

      (責(zé)任編輯徐利杰)

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