離散型隨機(jī)變量問題中的函數(shù)思想

林奕瑾

離散型隨機(jī)變量是概率統(tǒng)計(jì)中的難點(diǎn)，尤其是與函數(shù)思想結(jié)合在一起的時(shí)候。很多同學(xué)缺乏函數(shù)意識，不善于將出現(xiàn)的變量當(dāng)成函數(shù)的自變量，轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，因此往往陷入思維停滯。下面舉例說明離散型隨機(jī)變量中函數(shù)思想的滲透以及應(yīng)用問題。

例1 （2022屆深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校、長沙一中聯(lián)考）高三（l）班共有50名同學(xué)，臨近元旦，大家希望能邀請數(shù)學(xué)張老師參加元旦文藝表演。張老師決定和同學(xué)們進(jìn)行一個(gè)游戲，根據(jù)游戲的結(jié)果決定是否參與表演。游戲規(guī)則如下：班長先確定班上參與游戲的同學(xué)人數(shù)n（n>2）;每位同學(xué)手里均有n張除顏色外無其他區(qū)別的卡片;第k（k=l，2，3，…，n）位同學(xué)手中有k張紅色卡片，n-k張白色卡片;老師任選其中一名同學(xué)，并且從該同學(xué)的手中隨機(jī)連續(xù)取出兩張卡片，若第二次取出的卡片為白色，則學(xué)生獲勝，張老師同意參加文藝表演，否則，張老師將不參加文藝表演。

（1）若n-3，求張老師同意參加文藝表演的概率;

（2）若希望張老師參加文藝表演的可能最大，班長應(yīng)該邀請多少名同學(xué)參與游戲？

分析：先讓我們研究當(dāng)n-3時(shí)，“第二次取出的卡片為白色”這個(gè)事件的概率，我們不妨分別從三種情況作出分析。

解：（1）當(dāng)n-3時(shí)，設(shè)選出的是第k（k=1，2，3）位同學(xué)，連續(xù)兩次卡片的方法數(shù)為3×2=6，第二次取出的是白色卡片的兩次抽取卡片的顏色有如下兩種情形：

白，白，取法數(shù)為（3-k） （3-k -1）;

紅，白，取法數(shù)為k（3-k）。

從而第二次取出的是白色卡片的種數(shù)為

例2 （2022屆廣州調(diào)研）某校開展“學(xué)習(xí)新中國史”的主題學(xué)習(xí)活動。為了調(diào)查學(xué)生對新中國史的了解情況，需要對學(xué)生進(jìn)行答題測試。答題測試的規(guī)則如下：每名參與測試的同學(xué)最多有兩次答題機(jī)會，每次答一題，第一次答對，答題測試過關(guān)，得5分，停止答題測試;第一次答錯，繼續(xù)第二次答題，若答對，答題測試過關(guān)，得3分，若兩次均答錯，答題測試不過關(guān)，得0分。某班有12名同學(xué)參與測試，假設(shè)每名學(xué)生第一次和第二次答題答對的概率分別為m，0.5，兩次答題是否答對互不影響，每名學(xué)生答題測試過關(guān)的概率為p。

命題者在以上兩道考題的設(shè)計(jì)中，均有意在第一小題進(jìn)行了鋪墊，先從研究某個(gè)變量的具體值對應(yīng)的情況人手，再引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)入變量的一般值對應(yīng)的情況，即通過滲透函數(shù)思想來解決離散型隨機(jī)變量中的最值問題，值得同學(xué)們學(xué)習(xí)總結(jié)。