巧用涵數(shù)的性質(zhì)求解不等式證明題

李鵬博

在證明不等式問題時，除構(gòu)造特殊函數(shù)來證明外，還可以通過運用函數(shù)的性質(zhì)來證明。這種思路主要是通過把看似離散的問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)問題，利用函數(shù)在對應(yīng)定義域內(nèi)的單調(diào)性來證明不等式成立。下面舉例說明。

點評：以上兩種解法均是通過將多元函數(shù)轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)來證明不等式。解法一中通過構(gòu)造新的函數(shù)實現(xiàn)了多變量函數(shù)向單變量函數(shù)的轉(zhuǎn)化。解法二是通過構(gòu)造新的變量來實現(xiàn)兩個變量轉(zhuǎn)化為單變量的，從而實現(xiàn)消元目的。

一般地，在不等式證明的過程中，主要的解題思路包括：（1）構(gòu)造新的函數(shù)或者變量，首先要觀察所給不等式的特點，通過基本的運算來變換不等式的形式，采用變量替換等方式將多元函數(shù)進行降維處理，即轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)這種簡單形式，這個過程本身就體現(xiàn)了“降維”的思想;（2）巧妙利用構(gòu)造函數(shù)的基本性質(zhì)，在基本變形處理后利用新構(gòu)造的函數(shù)的性質(zhì)對問題進行分析，通常利用對函數(shù)求導(dǎo)的方法，判斷函數(shù)在相應(yīng)的定義域內(nèi)的單調(diào)性，基于數(shù)形結(jié)合思想，對變量的基本屬性和特點進行初步判定;（3）善于運用等價處理化繁為簡，在不等式的證明過程中，由繁至簡的解題思想本質(zhì)上就是將等價的公式寫出來，到等價為我們?nèi)菀桌斫夂徒邮艿暮唵涡问綖橹?，便于后續(xù)證明的開展，也有利于把握問題的本質(zhì)，從而更好地解決問題。

（責(zé)任編輯 徐利杰）