多自由度弧面分度凸輪機構動力學研究

賁晨陽， 何雪明，2， 劉 超

(1.江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122；2.江南大學 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室， 江蘇 無錫 214122)

為了能夠讓弧面分度凸輪機構以更加平穩(wěn)、高效和精度更高的方式運行，縮小國內(nèi)與國外產(chǎn)品間的差距，弧面分度凸輪機構的動力學性能越來越受研究人員的關注。國內(nèi)外專家學者對弧面分度凸輪機構的動力學方面進行了研究：張三等[1]對弧面分度凸輪進行瞬態(tài)動力學分析，得到分度期內(nèi)工作輪廓曲面和轉(zhuǎn)盤滾子曲面的動態(tài)接觸應力分布及其變化規(guī)律；劉言松等[2]結合多體動力學并運用虛擬樣機對弧面分度凸輪機構進行了動力學方面的研究；馮立艷等[3]通過模態(tài)分析得到轉(zhuǎn)盤軸的固有頻率和振型圖，為弧面分度凸輪機構后續(xù)動力學研究提供重要參考；趙世田等[4]提出基于齊次坐標變換的通用圓錐滾子弧面分度凸輪輪廓曲面方程建立方法；M. Chew等[5]和Y.S.Unlusoy等[6]提出了凸輪機構的單自由度和雙自由度模型的綜合理論；Ching-Haun Tseng等[7]建立數(shù)學模型驗證了凸輪與滾子間的間隙對角加速度的影響；王其超等[8]建立凸輪機構的單、雙自由度振動模型，從而建立動態(tài)響應方程。

由于機構運轉(zhuǎn)時具有較高的轉(zhuǎn)速，各構件的慣性力不斷增加，導致動力學響應變大。因此，機構中從動件的動力學響應與理論有很大的偏差。所以，對分度凸輪機構，僅從運動學方面考慮已經(jīng)不能解決工程的實際問題，因此需要對其在動力學方面進行深入的研究。

1 設計模型

弧面分度凸輪機構三維模型如圖1所示，通過弧面分度凸輪輪廓面與滾子間的嚙合作用，實現(xiàn)分度盤的轉(zhuǎn)動。

圖1 弧面分度凸輪機構的三維模型Figure 1 Three-dimensional model of arcuate indexing cam mechanism

1.1 弧面分度凸輪機構動力學模型假定

由于弧面分度凸輪機構的動力學性能受諸多因素的影響，為了深入研究凸輪機構的動力學性能的影響因素，以弧面分度凸輪機構的主要特征為基礎，對弧面分度凸輪機構的動力學模型進行簡化，對模型做以下假定:

1) 忽略前置裝置對弧面分度凸輪機構的影響，假定弧面分度凸輪等速回轉(zhuǎn)[9]；

2) 假定弧面分度凸輪與均勻安裝在分度盤上的滾子可實現(xiàn)理想的無間隙嚙合；

3) 將分度盤、弧面分度凸輪、載荷盤和滾子視作剛性體，本身的彈性變形忽略不計，將輸入軸和輸出軸視為彈性體；

4) 將弧面分度凸輪、載荷盤和分度盤視為等效集中質(zhì)量體；

5) 弧面分度凸輪廓面加工精確，無制造和安裝誤差。

1.2 動力學模型

根據(jù)集中質(zhì)量法，課題組建立多自由度的弧面分度凸輪機構的動力學模型，以解決符合實際情況的動力學模型建立和求解復雜的問題。

如圖2所示，對輸入軸系統(tǒng)(包括輸入軸和凸面分度凸輪)進行扭轉(zhuǎn)振動分析時，把輸入軸系統(tǒng)看作是以弧面分度凸輪的質(zhì)量為質(zhì)量塊的扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)，等效轉(zhuǎn)動慣量為J1。在分析輸入軸系統(tǒng)的橫向振動時，將輸入軸系統(tǒng)看作以凸輪的等效質(zhì)量為m1的質(zhì)量塊，研究其中x,z軸方向上的橫向振動。

圖2 4自由度的輸入軸系統(tǒng)動力學模型Figure 2 Dynamic model of input shaft system with 4 degrees of freedom

圖2中：Cz1為輸入軸沿z軸方向上的阻尼系數(shù)；Kx1,Ky1，Kz1分別為輸入軸沿x軸，y軸，z軸方向上的彎曲剛度；Cx1，Cy1，Cz1分別為輸入軸沿x軸，y軸，z軸方向上的振動阻尼系數(shù)；Kx1為輸入軸沿x軸方向上的振動剛度；Cθ1為輸入軸扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)；Kθ1為輸入軸扭轉(zhuǎn)剛度；θ1為凸輪轉(zhuǎn)角。

在分析輸入軸系統(tǒng)的軸向振動時，將輸入軸系統(tǒng)看做以凸輪的等效質(zhì)量為質(zhì)量塊，研究其在y軸方向上的軸向振動。

如圖3所示，對于輸出軸系統(tǒng)(包括輸出軸、載荷盤、滾子和分度盤)進行分析時，在分析扭轉(zhuǎn)振動時，將其看作以分度盤等效轉(zhuǎn)動慣量J2和載荷盤的等效轉(zhuǎn)動慣量J1為質(zhì)量塊的雙質(zhì)量扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)。在分析其橫向振動時，將其看作為各分度盤的等效質(zhì)量m2與載荷盤的等效質(zhì)量m3為質(zhì)量塊的簡支梁，研究其在x，y軸方向上的橫向振動。在分析輸出軸系統(tǒng)的軸向振動時，將輸出軸系統(tǒng)看作以me(me=m2+m3)為質(zhì)量塊的軸向振動，研究其在輸出軸z方向上的軸向振動。

圖3 7自由度的輸出軸系統(tǒng)動力學模型Figure 3 Dynamic model of output shaft system with 7 degrees of freedom

其中：m3和J3分別為載荷盤等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動慣量；θ3為載荷盤轉(zhuǎn)角；K22，K33分別為分度盤和載荷盤在x軸和y軸上的彎曲剛度；K23為分度盤振動對載荷盤在x和y軸上彎曲剛度；K32為載荷盤振動對分度盤在x和y軸上彎曲剛度；Cθ2為輸出軸扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)；Kθ2輸出軸扭轉(zhuǎn)剛度；m2和J2分別為分度盤等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動慣量；θ2為分度盤實際轉(zhuǎn)角；Cz23為輸出軸在z軸上的振動阻尼系數(shù)；Kz23為輸出軸系統(tǒng)在z軸方向上的等效剛度；Cf2為分度盤的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)。

將輸入軸系統(tǒng)模型與輸出軸系統(tǒng)間耦合，建立11個自由度的弧面分度凸輪機構動力學模型如圖4所示。

圖4 11自由度的弧面分度凸輪機構動力學模型Figure 4 Dynamic model of globular indexing cam mechanism with 11 degrees of freedom

圖4中：K12和C12分別為凸輪與滾子間的等效接觸剛度與等效接觸阻尼系數(shù)；Cf1為凸輪的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)；Cz23為輸出軸系統(tǒng)在z軸方向上的振動阻尼系數(shù)。

凸輪與滾子的接觸剛度，主要與凸輪自身的剛度、滾子軸的剛度以及滾子的彎曲剛度等因素有關。凸輪與滾子間的接觸剛度隨著位置的變化而變化。凸輪與滾子接觸時可以看作2個柱體的相互接觸?；诤掌澙碚撨M行剛度計算有：

(1)

式中：P為接觸區(qū)長度方向上的單位力；H為接觸變形量總和；h1和h2分別為凸輪與滾子的接觸變形量，且有

(2)

(3)

式中：ρ1，ρ2分別為凸輪與滾子在接觸點處的曲率半徑；b為凸輪與滾子的接觸寬度，且

(4)

式中：μ1，μ2分別為凸輪與滾子的泊松比；E1,E2分別為凸輪與滾子的彈性模量；L為接觸區(qū)長度。

2 動力學方程

2.1 弧面分度凸輪機構系統(tǒng)能量的計算

考慮弧面分度凸輪機構的橫向、扭轉(zhuǎn)和軸向變形，系統(tǒng)的位移列陣X為：

X=[θ1θ2θ3x1y1z1x2y2x3y3z23]T。

(5)

式中：θ1，θ2，θ3分別為凸輪、分度盤和載荷盤的實際轉(zhuǎn)角；x1，y1，z1為凸輪沿x，y，z軸方向上的線位移；x2，y2為分度盤沿x，y軸方向上的線位移；x3，y3為載荷盤沿x，y軸方向上的線位移；z23為輸出軸系統(tǒng)(載荷盤和分度盤)沿z軸方向上的線位移。

應用拉格朗日方程法來建立弧面分度凸輪機構動力學方程，該方法以機構的系統(tǒng)能量守恒為基礎，將機構的動能、勢能和耗散能聯(lián)系起來[10]。所以，需要對機構中各個能量進行求解。

1) 機構的動能求解

①凸輪的動能

(6)

②分度盤的動能

(7)

③載荷盤的動能

(8)

2) 機構的勢能求解

①凸輪的勢能

(9)

②分度盤的勢能

(10)

③載荷盤的勢能

(11)

④載荷盤與分度盤彎振耦合勢能

(12)

(13)

⑤輸出軸與輸入軸系統(tǒng)的耦合勢能

(14)

3) 機構的耗散能求解

①輸入軸系統(tǒng)的耗散能

(15)

②輸出軸系統(tǒng)的勢能耗散

(16)

③輸入軸與輸出軸耦合的耗散能

(17)

2.2 弧面分度凸輪機構動力學方程的推導及線性化

拉格朗日方程式通過簡單的形式推導出復雜的系統(tǒng)動力學方程，方程組數(shù)與系統(tǒng)自由度數(shù)相同。第二類拉格朗日通用方程式為:

(18)

對于分度盤理論轉(zhuǎn)角τ，弧面分度凸輪機構的運動規(guī)律為τ(θ1)，則有:

(19)

(20)

根據(jù)拉格朗日方程推導出的系統(tǒng)動力學微分方程，由于模型中考慮軸的扭轉(zhuǎn)彈性變形而出現(xiàn)非線性項。為了便于求解計算，可將其做線性化處理[11]。

(21)

并將廣義坐標θ1,θ2,θ3作變量代換：

q1=θ1-θ;

(22)

q2=θ2-τ(θ);

(23)

q3=θ3-τ(θ)。

(24)

式中：q1為輸入軸在凸輪處的彈性扭轉(zhuǎn)角；q2,q3為輸出軸在分度盤、載荷盤處的彈性扭轉(zhuǎn)角；將變量q1,q2,q3分別代入可以得到弧面分度凸輪機構動力學線性微分方程組。

(25)

3 轉(zhuǎn)速劃分及動力學響應

弧面分度凸輪機構動力學響應在計算過程中需要的參數(shù)如下：

1) 轉(zhuǎn)動慣量

J1=6.999 600 0×10-2kg·m2；

J2=3.471 193 0×10-3kg·m2；

J3=5.985 588 1×10-2kg·m2。

2) 等效質(zhì)量

m1=18.933 488 48 kg；

m2=6.126 708 82 kg；

m3=6.569 037 00 kg。

3) 等效扭轉(zhuǎn)剛度

Kθ1=1.948 7×105N·m·rad-1；

Kθ2=3.502 1×105N·m·rad-1。

4) 軸向彎曲剛度

Ky1=3.882 1×108N·m；

Kz23=3.975 2×109N·m。

5) 橫向彎曲剛度

Kx1=Kz1=3.185 3×108N·m；

K22=2.931 2×109N·m；

K33=6.388 8×107N·m；

K23=K32=8.467 9×108N·m。

6) 凸輪與滾子等效剛度

K12=1.232 9×106N·m。

威爾遜-θ法是求解動力學問題的一種常用方法。當θ≥1.37時，威爾遜-θ法是無條件穩(wěn)定的，課題組將θ設定為1.40，應用MATLAB語言編程，對式(25)所建立的弧面分度凸輪11自由度動力學微分方程進行數(shù)值求解。

3.1 固有頻率及轉(zhuǎn)速劃分

弧面分度凸輪機構的固有頻率直接關系到機構振動的特征。在不考慮阻尼的情況下，設各階固有頻率為ωi,則機構的頻率方程為：

(26)

式中：K為機構的剛度矩陣；ωi為機構的固有頻率；M為機構的質(zhì)量矩陣。

在弧面分度凸輪機構的運行過程中，機構的剛度矩陣隨著弧面凸輪轉(zhuǎn)角位置變化而不斷變化。根據(jù)已得到的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，利用MATLAB軟件計算得到弧面分度凸輪機構的各階固有頻率?；∶娣侄韧馆啓C構前3階固有頻率變化曲線如圖5所示。

從圖5可以看出，弧面分度凸輪前3階扭轉(zhuǎn)振型的固有頻率與機構處在不同的工作位置有關。而后8階為橫向振動和軸向振動對應的振型。一般來說，高階頻率對系統(tǒng)動力學響應的影響很小，故在求解系統(tǒng)的振動響應時，高階頻率對振動響應的影響可以忽略不計。

從圖5可以看出，弧面分度凸輪機構前3階扭轉(zhuǎn)振型的頻率受凸輪轉(zhuǎn)角變化的影響比較大。圖5(a)所示為系統(tǒng)的1階固有頻率，其隨著隨凸輪轉(zhuǎn)角的變化而變化，其頻率最低為163.91 Hz。

由機械動力學理論知識可知，弧面分度凸輪機構的最小頻率(一階固有頻率)對應的轉(zhuǎn)速，為弧面分度凸輪機構的1階臨界轉(zhuǎn)速n1。

n1=60×163.91=9 834.60 r/min。

當弧面分度凸輪機構轉(zhuǎn)速與此轉(zhuǎn)速相等或者接近時，便會產(chǎn)生劇烈的振動。所以，在運行時要避開這一轉(zhuǎn)速。同時，可以計算出弧面分度凸輪機構低速和中速的臨界值n2、中速和高速的臨界值n3以及低速、中速和高速分別對應的范圍[12]：

當λ=15時，

n2=n1/λ=9 834.60/15=655.64 r/min；

當λ=6時，

n3=n1/λ=9 834.60/6=1 639.10 r/min。

λ為劃分轉(zhuǎn)速區(qū)間的系數(shù)。根據(jù)計算得出，當弧面分度凸輪機構轉(zhuǎn)速在0～655.64 r/min范圍內(nèi)，為低速狀態(tài)；當機構弧面分度凸輪機構轉(zhuǎn)速在655.64～1 639.10 r/min范圍內(nèi)，為中速狀態(tài)；當弧面分度凸輪機構轉(zhuǎn)速大于1 639.10 r/min，為高速狀態(tài)。

3.2 動力學響應

弧面分度凸輪機構載荷盤角加速度是反映機構動力學性能的一個重要指標。因此，在分析參數(shù)變化對機構動力學響應的影響時，采用載荷盤角加速度隨機構參數(shù)的變化響應情況來描述機構動力學性能的變化情況。

由上文對轉(zhuǎn)速的劃分，分別對低、中、高速狀態(tài)下載荷盤角加速度的響應進行分析。設定分度角為45°，動程角為300°，輸出軸直徑為60 mm，研究輸入軸轉(zhuǎn)速分別為低速、中速和高速狀態(tài)下載荷盤角加速度的響應。

從圖6和圖7中可以看出，載荷盤的角加速度響應隨著輸入軸轉(zhuǎn)速的增加呈逐漸上升的趨勢。而且，在不同的速度階段，其增長的速度也有所不同。

圖7 輸入軸轉(zhuǎn)速與載荷盤角加速度最大值間的變化趨勢Figure 7 Change trend between input shaft speed and maximum angular acceleration of load plate

在低速階段，載荷盤角加速度的增加趨勢比較平緩，從38.9 r/s2到427.5 r/s2；在中速階段，角加速度從427.5 r/s2增加到2 852.4 r/s2，其趨勢有明顯的增加；而在高速工況下，從2 852.4 r/s2增加到11 255.4 r/s2，其增加的趨勢已經(jīng)非常顯著了。

4 結語

為對弧面分度凸輪機構進行動力學響應分析，課題組采用集中質(zhì)量法，建立了11自由度的弧面分度凸輪機構的動力學模型，推導機構的動力學微分方程組，并以此求解機構的固有頻率，根據(jù)固有頻率劃分轉(zhuǎn)速區(qū)間。課題組研究了輸入軸轉(zhuǎn)速分別為低速、中速和高速狀態(tài)下載荷盤角加速度的動力學響應，結果顯示：隨著輸入軸轉(zhuǎn)速的不斷提高，載荷盤的角加速度響應的增長趨勢趨于顯著。本研究為弧面分度凸輪機構后續(xù)動力學研究提供了參考。后續(xù)深入研究應考慮凸輪本身的彈性變形、分度盤和載荷盤在慣性載荷下的彈性變形對輸出端動力學性能的影響。