曹曉春， 荊文君， 靳 禎

（1. 山西財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030006；2. 山西財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，太原 030006；3. 山西大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)研究所，太原 030006）

引 言

網(wǎng)絡(luò)傳染病學(xué)是傳染病學(xué)的一個(gè)分支，近年來(lái)受到越來(lái)越多的關(guān)注，已取得了豐富的成果[1].其中應(yīng)用最為廣泛、成果相對(duì)集中的一類模型是 Pastor-Satorras 和 Vespignani 提出的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)傳染病模型[2].該模型把人看作社交網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，人與人之間的相互接觸看作有邊相連，一個(gè)人在單位時(shí)間內(nèi)接觸的人數(shù)是網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度，按照節(jié)點(diǎn)的度將人分為若干組，用Sk和Ik分別表示網(wǎng)絡(luò)中度為k的易感者和染病者的密度，且假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中人數(shù)保持不變，即Sk+Ik=1，建立了 SIS(susceptible-infected-susceptible) 傳染病模型，其具體形式為

在實(shí)際傳染病流行過(guò)程中，流行病系統(tǒng)在其演變時(shí)會(huì)受到各種形式的隨機(jī)干擾.可把隨機(jī)干擾大致分成兩類：一類是許多獨(dú)立的、細(xì)小的隨機(jī)干擾的總和，這種干擾在數(shù)學(xué)上通常用白噪聲來(lái)描述；另一類是數(shù)量雖少但強(qiáng)度較大的隨機(jī)干擾，一般可以用連續(xù)時(shí)間的 Markov 鏈或半 Markov 鏈來(lái)描述，亦稱之為色噪聲.關(guān)于色噪聲對(duì)傳染病的影響，已經(jīng)取得了豐富的成果[4-8]，結(jié)果表明，Markov 鏈的穩(wěn)態(tài)分布對(duì)傳染病傳播有非常重要的影響，既可以抑制也可以加速傳染病傳播.關(guān)于白噪聲對(duì)傳染病的影響，也有許多杰出的工作和成果[9-13].張麗娟等建立了一類潛伏期具備傳染性的傳染病傳播模型，求得了基本再生數(shù)，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件[9].Gray 等分析了具有固定人口的隨機(jī) SIS 傳染病模型，得出了傳染病隨機(jī)持久和滅絕的充分條件，并得到了在傳染病持久的情形下染病者數(shù)量的穩(wěn)態(tài)分布[10].Lin 等研究了帶接種的隨機(jī) SIS 傳染病模型的平穩(wěn)分布，證明了模型解的分布密度在適當(dāng)?shù)臈l件下能收斂到一個(gè)不變密度[11].Miao 等研究了一類具有垂直傳播的隨機(jī) SIR模型的閾值動(dòng)力學(xué)[12].Chang 等提出了一種具有兩種不同的非線性發(fā)病率的隨機(jī) SIRS 傳染病模型，并給出了一種獲得隨機(jī)傳染病模型閾值的數(shù)學(xué)方法[13].前面提到的研究，以及現(xiàn)有文獻(xiàn)中絕大多數(shù)的研究，是基于傳統(tǒng)均勻混合的“倉(cāng)室”傳染病模型，而對(duì)描述傳染病更加精確、合理的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳染病模型，這方面的研究還很鮮見(jiàn).鑒于此，本文將討論白噪聲對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病傳播動(dòng)力學(xué)的影響，以豐富和補(bǔ)充網(wǎng)絡(luò)傳染病動(dòng)力學(xué)的建模方法和理論分析.

本文結(jié)構(gòu)安排如下：第 1 節(jié)建立了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的隨機(jī) SIS 傳染病模型并分析了模型全局正解的存在性和唯一性；第 2、3 節(jié)分別給出了傳染病隨機(jī)滅絕和隨機(jī)持久的充分條件，并分析了其動(dòng)力學(xué)性態(tài)；第 4 節(jié)數(shù)值模擬驗(yàn)證了本文的理論結(jié)果；第 5 節(jié)給出了本文的結(jié)論.

1 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)傳染病模型

從而 τ+∞=+∞，a.s..證畢.

2 傳染病隨機(jī)滅絕

此處

由條件 (7) 可得

這就意味著

根據(jù)Martingale 的強(qiáng)大數(shù)定律

由上式和命題(12)得證.

在定理 2 中要求噪聲強(qiáng)度 σ2≤λ2/，下面的定理則包含了 σ2>λ2/的情形.

定理3 若

則對(duì)任意給定不全為零的初值Ik(0)∈(0,1),k=1,2,···,n，模型 (2) 的解滿足

與定理 2 的證法相同，易知

從而命題得證.

3 傳染病隨機(jī)持久

下面將討論在白噪聲影響下網(wǎng)絡(luò)傳染病模型 (2) 隨機(jī)持久的充分條件.

定理4 若

且

此處

是方程

當(dāng) ξ ∈(0,〈k2〉) 時(shí)，

于是有

的情形，本文沒(méi)有從理論上證明傳染病動(dòng)力學(xué)行為，傳染病在此種情況下既可能隨機(jī)持久也可能隨機(jī)滅絕.下一節(jié)中將數(shù)值模擬在給定時(shí)間內(nèi)傳染病隨機(jī)持久這一情形.

4 數(shù) 值 模 擬

本節(jié)進(jìn)行了一些數(shù)值模擬，以驗(yàn)證第 2 節(jié)和第 3 節(jié)中的理論結(jié)果，假設(shè)所有參數(shù)均已適當(dāng)?shù)貑挝唤o出.我們選取了最大度為 30 的網(wǎng)絡(luò)，其度分布服從參數(shù)為 8 的Poisson 分布，度的一階矩 〈k〉=8.002 7，二階矩〈k2〉=72.024 2.用 MATLAB 數(shù)值模擬，時(shí)間步長(zhǎng) ?=0.001.

圖1 參數(shù)為 λ=0.1,σ=0.08, 從而RD0=0.9<1,RS0=0.640 8<1, σ2=0.006 4<λ2/RD0=0.011 1. 且 圖1 (a)Ik(0)=0.5,圖1(b)Ik(0)=0.8,k=1,2,···,n. 圖1 表明，在條件 (7) 下，給定任意初值，模型 (2) 的解以指數(shù)速度趨于零，即傳染病以概率 1 指數(shù)滅絕，定理 2 得到驗(yàn)證.

原料：大米 25 g，黑米 25 g，大豆 25 g，紅豆 25 g，核桃仁 25 g，花生 25 g，紅棗 15 g，桂圓 10 g（2人份）。

圖1 不同初值下，確定性模型(1)滅絕情形與隨機(jī)性模型(2)滅絕情形的I(t)路徑模擬：(a) 初值Ik(0)=0.5；(b) 初值Ik(0)=0.8Fig. 1 For different initial values, I(t) path simulations of the extinction case of deterministic model (1) and the extinction case of stochastic model (2):(a) initial value Ik(0)=0.5；(b) initial value Ik(0)=0.8

圖2 (a) 參數(shù)為 λ=0.1,σ=0.15,Ik(0)=0.5,k=1,2,···n，從而RD0=0.9<1,RS0=?0.011 2<1, 又 σ2=0.022 5，λ2/RD0=0.011 1,λ2/2=0.005, 此時(shí) σ2>λ2/RD0成立.圖2 (b) 參數(shù)為 λ=0.23,σ=0.6,Ik(0)=0.5,k=1,2,···,n, 從而RD0=2.07>1,RS0=?12.51<1, 又 σ2=0.36,λ2/R0D=0.025 6,λ2/2=0.026 5, 此時(shí) σ2>λ2/2 成立.圖2 表明，條件 (13) 暗示了RS0<1，給定初值，隨機(jī)模型 (2) 的解以指數(shù)速度趨于零，驗(yàn)證了定理 3 的理論結(jié)果.值得注意的是圖2(b)，對(duì)確定性模型 (1)，RD0>1, 傳染病持久形成地方病，但在白噪聲影響下，隨機(jī)模型 (2) 的RS0<1，傳染病隨機(jī)滅絕，大的噪聲可以讓原本持久的傳染病滅絕，說(shuō)明白噪聲起到抑制傳染病傳播的作用.

圖2 確定性模型(1)滅絕(持久)情形與隨機(jī)性模型(2)滅絕情形的I(t)路徑模擬：(a) 確定性模型(1)滅絕情形與隨機(jī)性模型(2)滅絕情形；(b) 確定性模型(1)持久情形與隨機(jī)性模型(2)滅絕情形Fig. 2 I(t) path simulations of the extinction (persistence) case of deterministic model (1) and the extinction case of stochastic model (2): (a) the extinction case of deterministic model (1) and the extinction case of stochastic model (2); (b) the persistence case of deterministic model (1) and the extinction case of stochastic model (2)

圖3 參數(shù)為 λ=0.4,σ=0.2, 從而RD0=3.6>1,RS0=1.98>1.又圖3(a)中Ik(0)=0.5，圖3(b)中Ik(0)=0.8,k=1,2,···,n.圖3 表明，在條件 (15) 下，給定任意初值，隨機(jī)模型 (2) 的解是持久的，即傳染病以概率 1 隨機(jī)持久，定理 4 得到驗(yàn)證.

圖3 不同初值下，確定性模型(1)持久情形與隨機(jī)性模型(2)持久情形的I(t)路徑模擬：(a) 初值Ik(0)=0.5；(b) 初值Ik(0)=0.8Fig. 3 For different initial values, I(t) path simulations of the persistence case of deterministic model (1) and the persistence case of stochastic model (2):(a) initial value Ik(0)=0.5；(b) initial value Ik(0)=0.8

圖4 參數(shù)為 λ=0.32,σ=0.225, 從而RD0=2.880 0>1,RS0=0.829 7<1, 且 σ2=0.050 6,λ2/RD0=0.035 6,λ2/2=0.051 2, 滿足 λ2/RD0<σ2<λ2/2，又圖4(a)中Ik(0)=0.01，圖4(b)中Ik(0)=0.1,k=1,2,···,n.圖4 模擬了RS0<1且λ2/R<σ2<λ2/2 的情形，給定任意初值，模型 (2) 的解在給定區(qū)間上是隨機(jī)持久的.

圖4 不同初值下，確定性模型(1)與隨機(jī)性模型(2)的I(t)路徑模擬圖：(a) 初值Ik(0)=0.01；(b) 初值Ik(0)=0.1Fig. 4 For different initial values, I(t) path simulations of deterministic model (1) and stochastic model (2): (a) initial value Ik(0)=0.01;(b) initial value Ik(0)=0.1

5 結(jié) 論

本文在網(wǎng)絡(luò)傳染病模型 (1) 中考慮了隨機(jī)因素，構(gòu)建了隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)傳染病模型 (2)，證明了模型 (2)存在全局唯一的正解，利用隨機(jī)微分方程理論得到了傳染病隨機(jī)滅絕和持久的充分條件.當(dāng)RS0≤1 時(shí)，在適當(dāng)?shù)臈l件下，傳染病將隨機(jī)滅絕(定理 2 和定理 3)；當(dāng)RS0>1 時(shí)，傳染病將隨機(jī)持久(定理 4).值得注意的是RS01)的傳染病滅絕.因此，白噪聲在網(wǎng)絡(luò)傳染病傳播過(guò)程中起著不可忽視的作用，也表明隨機(jī)模型 (2) 的建立是非常有意義的.最后，通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了本文的理論結(jié)果.

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