張 露，鞏在武，周 祎

(1.南京信息工程大學(xué) 管理工程學(xué)院, 南京 210044)

多屬性決策是依據(jù)方案所具備的多種屬性，在相對有限的方案中，分別進(jìn)行排序和擇優(yōu)選擇，已廣泛應(yīng)用于在經(jīng)濟(jì)、教育、軍事等諸多領(lǐng)域中，是重要決策形式之一.屬性值是區(qū)間數(shù)形式的研究已經(jīng)十分豐富，隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，決策時(shí)能夠掌握的數(shù)據(jù)量越來越大，對服從或近似服從正態(tài)分布屬性值(如大群體的公眾評價(jià)[1]、顧客需求[2])的多屬性決策問題也逐漸興起，對于服從正態(tài)分布屬性值的處理方式學(xué)者們有著不同的方法，例如，在大規(guī)模群體決策中采用DEMATEL矩陣的聚類方法進(jìn)行分組,運(yùn)用三維區(qū)間密度算子對DEMATEL評分進(jìn)行集結(jié)確定權(quán)重[3]；或者利用3σ原則將屬性值(正態(tài)分布)轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)形式，然后利用可能度對各備選方案進(jìn)行比較和排序[4]；另外還有利用蒙特卡洛仿真的方法計(jì)算可能度，進(jìn)而對備選方案進(jìn)行比較和排序[5].上述研究大多數(shù)仍然建立在區(qū)間數(shù)多屬性的決策思想之上.不少學(xué)者為了探尋屬性值為具有正態(tài)隨機(jī)分布特征的變量，提出了可能度這一概念，以實(shí)現(xiàn)變量之間可以相互比較[6]，而后在前景理論的指導(dǎo)下利用正態(tài)分布的分布函數(shù)表示屬性值的分布規(guī)律，計(jì)算出前景值進(jìn)行方案排序[7-8].也有將傳統(tǒng)的均勻分布二元語義標(biāo)度進(jìn)行改進(jìn)，解決了二元語義不可比較的問題[9].隨著決策環(huán)境不確定性的不斷增加，當(dāng)變量既不表現(xiàn)出隨機(jī)特征也不表現(xiàn)出模糊特征時(shí)，文獻(xiàn)[10]提出了不確定理論的新概念，屬性值服從正態(tài)不確定分布多屬性決策問題是研究的新課題.現(xiàn)有的多屬性決策方法研究中，基于理想解的多屬性決策方法，已經(jīng)在方案屬性值為區(qū)間數(shù)[11-12]、模糊數(shù)[13]以及不確定語言[14]等領(lǐng)域取得廣泛的進(jìn)展.文獻(xiàn)[15]把理想值與滿意度相結(jié)合，得到了屬性值為實(shí)數(shù)條件下的最大滿意度模型的多屬性決策方法.文中嘗試將基于理想值的最大滿意度思想應(yīng)用到隨機(jī)變量和不確定變量多屬性決策研究中，通過構(gòu)建機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型及其確定型等價(jià)類來獲得決策問題的優(yōu)化解.

1 問題描述

2 決策方法和步驟

以方案滿意度為模型構(gòu)建基礎(chǔ)，在已知部分權(quán)重信息的情況下利用多屬性決策方法首先構(gòu)建出兩個(gè)單一目標(biāo)優(yōu)化模型求解綜合屬性的正、負(fù)理想值，并給出各備選方案的滿意度定義，構(gòu)建了最大滿意度的多目標(biāo)優(yōu)化模型[15].此方法可以推廣到隨機(jī)變量和不確定變量，但由于變量不同于干脆數(shù)，無法直接將屬性值帶入此模型，會(huì)對求解造成困難，文中將引入此滿意度模型，設(shè)計(jì)一種更簡便的，帶有機(jī)會(huì)約束的隨機(jī)規(guī)劃和不確定規(guī)劃模型，并通過將機(jī)會(huì)約束轉(zhuǎn)化為確定性等價(jià)類的方法進(jìn)行求解.

2.1 計(jì)算備選方案綜合屬性值的正、負(fù)理想值

已知部分權(quán)重信息，以期該方案的綜合屬性值最大的原理，構(gòu)建出單目標(biāo)優(yōu)化模型，分別對各備選方案的正理想值和負(fù)理想值進(jìn)行求解，由于研究中屬性值服從正態(tài)分布，在整個(gè)求解過程中，將各屬性值的期望值加入模型分別求解，得出各備選方案的正負(fù)理想值.

(1)

(2)

2.2 建立帶有機(jī)會(huì)約束的最大滿意度模型

在解決正態(tài)隨機(jī)多屬性的決策問題時(shí)，采取直接區(qū)間化的處理方式，就會(huì)導(dǎo)致區(qū)間內(nèi)可能存在的變化趨勢被忽略掉，為此將機(jī)會(huì)約束引入到基于方案滿意度的多屬性決策模型中，通過設(shè)定希望達(dá)到約束條件的置信水平(在不確定理論中，也稱之為信度)，在最大滿意度的目標(biāo)下求解出最優(yōu)權(quán)重.從而建立方案屬性值分別為正態(tài)隨機(jī)變量和正態(tài)不確定變量兩個(gè)帶有機(jī)會(huì)約束的不確定單目標(biāo)優(yōu)化模型.

當(dāng)方案屬性值rij為正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，建立單目標(biāo)優(yōu)化模型：

(3)

當(dāng)方案屬性值rij服從正態(tài)不確定分布時(shí)，建立單目標(biāo)優(yōu)化模型：

(4)

式(3、4)旨在解決已知部分權(quán)重信息的情況下，所有備選方案的滿意度不小于某一閾值λi的概率大于等于預(yù)先給定的置信水平α的情況下求取λ的最大和，允許當(dāng)一些不利的情況下，方案的滿意度無法達(dá)到設(shè)定的數(shù)值，但其發(fā)生的概率要進(jìn)行限定.

2.3 模型等價(jià)類轉(zhuǎn)換計(jì)算屬性權(quán)重

優(yōu)化單目標(biāo)優(yōu)化模型式(3、4)中的約束條件是非線性的，且在研究中只討論屬性值均服從正態(tài)分布的情況，因此采取轉(zhuǎn)化為確定性等價(jià)類的方法進(jìn)行求解.

2.3.1 變量呈正態(tài)隨機(jī)分布

定理1：首先考慮方案屬性值呈正態(tài)隨機(jī)變量特征，可以將模型式(3)中帶有機(jī)會(huì)約束的約束條件轉(zhuǎn)化為確定性等價(jià)類，因此可以將帶有機(jī)會(huì)約束的不確定性模型轉(zhuǎn)化為確定性線性目標(biāo)規(guī)劃模型：

(5)

2.3.2 變量呈正態(tài)不確定分布

定理2：當(dāng)變量既不表現(xiàn)出隨機(jī)特征也不表現(xiàn)出模糊特征時(shí)，考慮方案屬性值服從正態(tài)不確定分布，可以將模型式(4)中帶有機(jī)會(huì)約束的約束條件轉(zhuǎn)化為確定性等價(jià)類，因此可以將帶有機(jī)會(huì)約束的不確定性模型轉(zhuǎn)化為如下確定性線性目標(biāo)規(guī)劃模型：

(6)

轉(zhuǎn)化成確定性等價(jià)類后，通過對該模型進(jìn)行求解，可以得出各備選方案的屬性權(quán)重.

2.4 計(jì)算備選方案的綜合屬性值并進(jìn)行排序

計(jì)算出各備選方案的綜合屬性值之后，按照首先對各方案綜合屬性值的均值大小進(jìn)行排序，均值越大的備選方案往往越優(yōu)，若出現(xiàn)均值相等的情況，需要對其方差進(jìn)行比較，方差越小的備選方案越優(yōu)，如若兩個(gè)備選方案綜合屬性值的均值和方差均相等，則判定這兩個(gè)方案排序結(jié)果相同的規(guī)則[5]對所有的備選方案進(jìn)行排序.

3 算例

假設(shè)某所大學(xué)要對其學(xué)院展開評估，設(shè)該大學(xué)有4個(gè)學(xué)院(方案)(x1,x2,x3,x4)，每個(gè)學(xué)院涉及的評價(jià)指標(biāo)有3個(gè)屬性(c1,c2,c3)，分別是教學(xué)c1、科研c2和服務(wù)c3.并假定各屬性的權(quán)重部分已知，即0.2≤ω1≤0.5，0.1≤ω2≤0.45，0.25≤ω3≤0.6.決策者針對每一個(gè)方案所對應(yīng)的屬性值所給出的評價(jià)結(jié)果均服從正態(tài)分布，規(guī)范化處理后的決策矩陣R(表1).試對4個(gè)學(xué)院的綜合評估結(jié)果進(jìn)行排名.

表1 規(guī)范化決策矩陣R

首先通過單目標(biāo)優(yōu)化模型式(1、2)求出綜合屬性值的正負(fù)理想值.此處的方案屬性值用均值帶入，求得各備選方案的理想值及其對應(yīng)的權(quán)重向量(表2、3).

表2 備選方案綜合屬性值的正理想值

表3 備選方案綜合屬性值的負(fù)理想值

求得各方案綜合屬性值的正、負(fù)理想值之后，建立起文中所需的決策模型，同時(shí)完成機(jī)會(huì)約束向等價(jià)類的轉(zhuǎn)化過程，然后求解各屬性的權(quán)重.此處考慮兩種情況，分別是方案屬性值呈正態(tài)隨機(jī)變量特征的正態(tài)不確定變量特征，分別求解出屬性權(quán)重(表4、5).

表4 方案屬性值呈正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，屬性權(quán)重計(jì)算結(jié)果

表5 方案屬性值呈正態(tài)不確定變量時(shí)，屬性權(quán)重計(jì)算結(jié)果

最后通過加權(quán)求和得出各個(gè)備選方案的綜合屬性值，并按照正態(tài)隨機(jī)變量的比較規(guī)則對各方案進(jìn)行排序.當(dāng)屬性值呈正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，可得各方案的排序結(jié)果為x2?x4?x3?x1，最優(yōu)備選方案為方案2(表6)；當(dāng)屬性值呈正態(tài)不確定變量時(shí)，可得各方案的排序結(jié)果為x2?x4?x3?x1，最優(yōu)備選方案為方案2(表7).

表6 方案屬性值呈正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，綜合屬性值Gi

表7 方案屬性值呈正態(tài)不確定變量時(shí)，綜合屬性值Gi

4 結(jié)論

(1) 相較于現(xiàn)有的研究，充分利用了屬性值服從正態(tài)分布這一特點(diǎn)，通過引入滿意度概念，構(gòu)建了帶有機(jī)會(huì)約束的模型，通過將機(jī)會(huì)約束轉(zhuǎn)化為確定性等價(jià)類的形式來獲取屬性權(quán)重，有效避免了專家決策過程中的主觀影響，同時(shí)也避免了將正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)進(jìn)行決策所帶來的失真問題.

(2) 研究未分析參數(shù)的設(shè)置對最優(yōu)解獲得的影響，進(jìn)一步研究可以引入目標(biāo)規(guī)劃，允許部分方案不滿足約束條件時(shí)獲得最優(yōu)解，達(dá)到較高的信度.