何 勇，王 健，宋征宇，柴嘉薪，胡海峰

(1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854；2. 中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

迭代制導(dǎo)在美國土星5號火箭上的應(yīng)用是一個重要的里程碑，也是首次將閉環(huán)最優(yōu)制導(dǎo)方法應(yīng)用于運載火箭。之后，美國的航天飛機(jī)，法國的“阿里安”火箭、俄羅斯的“能源”火箭以及我國的長征系列運載火箭也都采用了迭代制導(dǎo)技術(shù)，并取得了良好的效果。

迭代制導(dǎo)是以最優(yōu)控制原理為基礎(chǔ)，通過解析公式在線計算到達(dá)目標(biāo)軌道所需的速度增量、位置增量，并依此規(guī)劃出最佳飛行程序角，能夠滿足火箭終端軌道參數(shù)的約束。然而，如韓祝齋提出的經(jīng)典迭代制導(dǎo)算法中，為避免破壞火箭飛行系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又能獲得足夠高的制導(dǎo)精度，對系數(shù),,,分別做提前取零處理，能夠?qū)崿F(xiàn)關(guān)機(jī)時刻的精確控制，但對于各系數(shù)取零至發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)時刻，由于干擾造成的迭代制導(dǎo)與標(biāo)稱彈道計算的終端程序角偏差，以及發(fā)動機(jī)后效沖量偏差導(dǎo)致的入軌參數(shù)偏差卻無法進(jìn)行修正。在實際的發(fā)射任務(wù)中，很多有效載荷對星箭分離時的姿態(tài)是有要求的，若沒有獨立的調(diào)姿系統(tǒng)，軌道精度與終端姿態(tài)兩者難以兼得。

針對迭代制導(dǎo)停止計算后的入軌參數(shù)和滿足終端程序角約束要求的運載火箭制導(dǎo)問題，均有一些學(xué)者進(jìn)行過相應(yīng)研究。其中：前者的研究主要是呂新廣、宋征宇介紹的CZ-7大推力直接入軌采用的軌道預(yù)測的方法；后者的研究主要集中于以下3個方面：1)將控制姿態(tài)角的最優(yōu)解析表達(dá)式，通過二階近似，展開為與時間相關(guān)的二次函數(shù)，用以同時滿足入軌點速度、位置和姿態(tài)角約束的迭代制導(dǎo)方法，如文獻(xiàn)[7-9]；2)采用直接法來計算滿足軌道和程序角約束的制導(dǎo)方法，如文獻(xiàn)[10-12]；3)采用數(shù)值積分的方法對制導(dǎo)參數(shù)進(jìn)行反饋修正，進(jìn)而得出同時滿足入軌姿態(tài)約束和軌道參數(shù)約束要求的制導(dǎo)指令，如文獻(xiàn)[13-14]。

文獻(xiàn)[15]提出了采用預(yù)測-修正方式來求解迭代制導(dǎo)計算過程中高階微分方程的解析解，并指出這種方式比線性微分校正的方式更優(yōu)，但仍無法對迭代停止后的參數(shù)偏差進(jìn)行校正。為此，本文在經(jīng)典迭代制導(dǎo)算法的基礎(chǔ)上，針對如何修正迭代制導(dǎo)停止計算后的入軌參數(shù)或終端程序角偏差這一問題，根據(jù)迭代制導(dǎo)計算的終端程序角和飛行視加速度的預(yù)測模型，對關(guān)機(jī)點參數(shù)進(jìn)行補償，并依據(jù)補償后終端指標(biāo)重新規(guī)劃飛行軌跡，提升現(xiàn)有迭代制導(dǎo)算法對入軌參數(shù)或終端程序角偏差修正的適應(yīng)能力。

1 迭代制導(dǎo)基本原理

火箭進(jìn)入真空飛行后，其動力學(xué)方程可在目標(biāo)軌道坐標(biāo)系下，即以地心為原點′,′軸為由地心指向目標(biāo)點，′軸在目標(biāo)點軌道面內(nèi)指向飛行方向，′軸與′軸、′軸構(gòu)成的右手正交坐標(biāo)系下簡化為：

(1)

圖1 俯仰和偏航程序角的定義

(2)

對于液體運載火箭來說，推力平穩(wěn)，其比沖和流量可近似為常值，則式(2)可進(jìn)一步寫成：

(3)

(4)

對于液體火箭發(fā)動機(jī)燃料最省可表示為時間最短，即性能指標(biāo)函數(shù)可表示成：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2 自適應(yīng)預(yù)測補償?shù)牡茖?dǎo)

2.1 問題提出

運載火箭經(jīng)典迭代制導(dǎo)方法，是將關(guān)機(jī)時刻的軌道參數(shù)作為控制量來進(jìn)行控制，能夠?qū)崿F(xiàn)在需要關(guān)機(jī)點上精確關(guān)機(jī)，但對于在迭代制導(dǎo)停止計算后的入軌參數(shù)或終端程序角偏差卻無法進(jìn)行修正。例如，在飛行推力變大且存在干擾的情況下，會導(dǎo)致迭代制導(dǎo)計算的俯仰方向終端程序角與標(biāo)稱彈道計算的程序角會出現(xiàn)大偏差的情況，使得關(guān)機(jī)后的推力矢量方向偏離了標(biāo)稱彈道的要求，即本文2.2.3節(jié)提出的后效推力矢量大偏差，造成入軌精度變差甚至超出飛行任務(wù)的指標(biāo)要求，如圖2所示。

圖2 兩種算法對入軌參數(shù)偏差修正的飛行示意圖

圖2中表示采用經(jīng)典迭代制導(dǎo)的飛行軌跡，在關(guān)機(jī)點關(guān)機(jī)后，根據(jù)理想的關(guān)機(jī)時刻程序角和后效作用，其入軌點恰好位于目標(biāo)軌道上。但由于關(guān)機(jī)時刻程序角偏差的存在以及推力方向不再調(diào)整，在后效作用下的最終軌道與目標(biāo)軌道產(chǎn)生了較大的入軌偏差，如圖中所處的軌道。表示采用預(yù)測補償?shù)姆椒ǖ玫降娘w行軌跡，其中軌道偏差的補償量采用預(yù)測的方法進(jìn)行計算，并且補償?shù)疥P(guān)機(jī)點的狀態(tài)約束中，此時關(guān)機(jī)點更新為，在同樣的推力方向和后效作用下，重新調(diào)整到目標(biāo)軌道上。

此外，對于一些飛行任務(wù)，也存在需要制導(dǎo)計算的程序角滿足終端姿態(tài)約束的情況，如2.2.4節(jié)提出的終端姿態(tài)角約束。

2.2 自適應(yīng)預(yù)測補償?shù)茖?dǎo)算法

..基本原理

自適應(yīng)預(yù)測補償?shù)茖?dǎo)方法基本原理為：

(11)

2) 構(gòu)建迭代制導(dǎo)停止計算后的視加速度變化模型()為：

(12)

()的計算方法可采用以下兩種方式：

(1)采用標(biāo)稱彈道計算的視加速度模型進(jìn)行計算：如本文2.2.3節(jié)，對于現(xiàn)役運載火箭來說，發(fā)動機(jī)試車試驗?zāi)軌颢@得發(fā)動機(jī)后效的精確模型，并據(jù)此得出后效段的視加速度預(yù)測模型；

(2)采用當(dāng)前時刻加速度計測量得出的視加速度進(jìn)行計算：如本文2.2.4節(jié)，調(diào)姿段采用調(diào)姿起始時刻的加速度計測量得出的視加速度進(jìn)行計算，其原因是由于調(diào)姿段的時間很短，燃料消耗量相比當(dāng)前運載火箭的質(zhì)量很小，其對視加速度的影響可忽略不計；

3) 根據(jù)(1)和(2)的參考模型，計算關(guān)機(jī)點參數(shù)偏差補償量，即迭代制導(dǎo)計算終止時刻至關(guān)機(jī)時刻或入軌時刻(考慮發(fā)動機(jī)后效的情況下)的速度增量與原終端狀態(tài)約束的偏差，可表示成與迭代停止時刻火箭的狀態(tài)、程序角以及后續(xù)飛行過載等相關(guān)的函數(shù)，其表達(dá)式為：

(13)

4) 對關(guān)機(jī)點參數(shù)進(jìn)行補償，得修正后的關(guān)機(jī)點參數(shù)為：

=+Δ

(14)

5) 根據(jù)補償后的關(guān)機(jī)點參數(shù)，重新劃飛行軌跡，進(jìn)而得出滿足入軌參數(shù)或終端程序角偏差修正的制導(dǎo)指令。

上述是自適應(yīng)預(yù)測補償?shù)幕驹?；針對不同的?yīng)用，式(13)的表示形式和計算方法各有不同，將在2.2.2、2.2.3和2.2.4中進(jìn)行詳細(xì)闡述。

..發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)策略的變化

為降低入軌前過載及發(fā)動機(jī)后效影響，會采用依次關(guān)閉發(fā)動機(jī)的方式，如下圖和文獻(xiàn)[1]提到的兩兩關(guān)機(jī)方式：

圖3 發(fā)動機(jī)推力變化示意圖

但這會使關(guān)機(jī)時間間隔內(nèi)的推力變化劇烈，影響迭代參數(shù)估算的準(zhǔn)確性和程序角大范圍波動，進(jìn)而產(chǎn)生較大姿態(tài)跟蹤誤差，導(dǎo)致入軌精度變差。

在此背景下，在第一次關(guān)機(jī)前松弛位置約束，以保證姿態(tài)跟蹤平緩，但這會造成系統(tǒng)性的入軌偏差；在主動段的迭代制導(dǎo)是基于四臺發(fā)動機(jī)工作而進(jìn)行規(guī)劃的，當(dāng)切換為兩臺發(fā)動機(jī)工作時，也會產(chǎn)生入軌偏差。

由于四機(jī)段和兩機(jī)段之間的后效段工作時間短，故可忽略其影響，為此，依據(jù)兩臺發(fā)動機(jī)和四臺發(fā)動機(jī)工作時兩體動力學(xué)方程，分別預(yù)測這兩種工況下在終端時刻對應(yīng)的速度、位置。在真空飛行段，兩體動力學(xué)方程可簡化為：

(15)

對式(15)進(jìn)行求解可得關(guān)機(jī)時刻對應(yīng)的速度、位置為：

(16)

其中,

..發(fā)動機(jī)后效推力方向的偏差

在實際飛行過程中，由于外界干擾的影響，如發(fā)動機(jī)推力的變化，會出現(xiàn)迭代制導(dǎo)與標(biāo)稱彈道計算的終端程序角偏差較大的現(xiàn)象，如圖4所示，使得由于后效推力的方向發(fā)生了較大的變化，導(dǎo)致后效推力造成的軌道偏差變大，進(jìn)而使得入軌精度變差。圖4中,,分別為俯仰、偏航迭代程序角；0、1%、2%、3%、4%、5%和Ref分別為推力額定、1%、2%、3%、4%、5%和標(biāo)稱彈道對應(yīng)的俯仰、偏航迭代程序角的變化曲線。

圖4 不同推力偏差工況下迭代程序角變化示意圖

本節(jié)與“考慮終端姿態(tài)約束”的區(qū)別在于，前者是在迭代制導(dǎo)與標(biāo)稱彈道終端程序角存在偏差情況下，對發(fā)動機(jī)的后效進(jìn)行補償，后者是將迭代制導(dǎo)終端程序角規(guī)劃到指定的參數(shù)值。

根據(jù)式(11)計算終端時刻的俯仰、偏航程序角，其表達(dá)式為：

(17)

根據(jù)標(biāo)稱彈道計算的視加速度模型進(jìn)行計算后效段產(chǎn)生的速度增量在目標(biāo)軌道坐標(biāo)系下的表示為：

(18)

同時，根據(jù)標(biāo)稱彈道的俯仰、偏航終端程序角,并參考式(18)，可得到標(biāo)稱彈道的后效沖量大小為：

[ΔΔΔ]

則關(guān)機(jī)時刻所需的補償量表達(dá)式為：

Δ=[Δ-Δ, Δ-Δ,

Δ-Δ, 0, 0, 0]

(19)

..終端姿態(tài)約束

2.2.3節(jié)是對于入軌姿態(tài)約束要求較低或者無約束情況下進(jìn)行相應(yīng)的迭代制導(dǎo)計算，本節(jié)是對于一些用于完成對地定向、測控等任務(wù)的衛(wèi)星，其對入軌姿態(tài)有著嚴(yán)格的要求，使得運載火箭需滿足一定的姿態(tài)約束要求。為此，在迭代制導(dǎo)預(yù)測的當(dāng)前時刻離發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)時刻的時間差小于0后，停止迭代制導(dǎo)計算，并進(jìn)入姿態(tài)快速調(diào)整段，將程序角0,0調(diào)整到預(yù)先設(shè)置的,程序角上，以俯仰程序角為例，其調(diào)姿段的表達(dá)式為：

(20)

式中：()表示時刻對應(yīng)的調(diào)姿段的俯仰程序角；,表示調(diào)姿起始和終止時刻，則+0為預(yù)測的關(guān)機(jī)時刻。偏航程序角調(diào)姿公式與式(20)類似，不再重復(fù)。

調(diào)姿段的視加速度表達(dá)式可寫成：

(21)

式中：為發(fā)動機(jī)比沖；為質(zhì)量燃盡的時間。

結(jié)合姿態(tài)調(diào)整和視加速度的變化規(guī)律，可得從調(diào)姿開始時刻至發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)時刻+0的視速度增量變化為：

(22)

從調(diào)姿開始時刻至發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)時刻+0的位置增量為：

(23)

同理，可求出不考慮調(diào)姿調(diào)整時對應(yīng)的視速度和位置增量，記為[Δ1Δ1Δ1],[ΔΔΔ]，則關(guān)機(jī)點參數(shù)偏差的補償量可表示為：

(24)

本節(jié)中的調(diào)姿開始時刻、調(diào)姿終止時刻以及發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)時刻+0之間的關(guān)系如圖5所示。

圖5 調(diào)姿時序圖

圖5中,為以起飛為零點的飛行時間，0為以迭代制導(dǎo)停止計算為起點的相對時間；程序角的保持段是用于提升姿態(tài)角跟蹤程序角的效果。

3 仿真校驗

3.1 仿真條件

本文2.2.2節(jié)所提的算法在文獻(xiàn)[1]中給出了仿真用例及其試驗分析結(jié)果，為此重點對2.2.3和2.2.4節(jié)所提的算法進(jìn)行仿真校驗。以某帶助推兩級運載火箭發(fā)射510 km×520 km的太陽同步軌道任務(wù)為仿真用例，對本文算法進(jìn)行仿真校驗。

為偏于本文敘述，選取二級迭代制導(dǎo)的啟動時刻為零點，發(fā)動機(jī)后效結(jié)束時刻為入軌點，其在目標(biāo)軌道坐標(biāo)系下的初值如表1所示：

表1 迭代制導(dǎo)計算初值

表中：“用例1”為額定狀態(tài)下獲得的初值；“用例2”為二級發(fā)動機(jī)秒流量取5%正偏差狀態(tài)下獲得的初值。

發(fā)動機(jī)性能參數(shù)為：總推力為165 kN，比沖為4295.0 m/s，后效沖量產(chǎn)生的速度增量為13.3 m/s。

關(guān)機(jī)和入軌時刻的軌道參數(shù)如表2所示。

表2 關(guān)機(jī)和入軌時刻軌道參數(shù)

標(biāo)稱彈道的俯仰和偏航終端程序角分別為-7.0°和-12.5°。

以上數(shù)據(jù)與實際飛行任務(wù)的數(shù)據(jù)存在差別，但不影響對本文算法校驗的正確性。

3.2 終端程序角大偏差工況

以表1兩種工況為試驗用例，分別采用經(jīng)典迭代制導(dǎo)(簡稱經(jīng)典方法)和本文所提方法進(jìn)行計算和比較，得到用于控制的俯仰和偏航程序角如圖6、圖7所示。

圖7 偏航迭代程序角變化示意圖

圖6中,分別表示用于控制的俯仰和偏航程序角；后綴為0表示采用經(jīng)典方法計算得出的相應(yīng)參數(shù)；后綴為1表示采用本文方法計算得出的相應(yīng)參數(shù)。

圖6 俯仰迭代程序角變化示意圖

可以看出，本文所提方法計算得出的制導(dǎo)程序角與經(jīng)典方法的大小和變化趨勢的一致性較好，表明采用本文方法計算得出的制導(dǎo)程序角作為控制輸入與經(jīng)典迭代制導(dǎo)的效果相當(dāng)?？刂凭热绫?和表4所示，雖然關(guān)機(jī)時刻制導(dǎo)精度稍差，但這是因為提前考慮了后效偏差的結(jié)果，因此在入軌時刻，精度提升效果很明顯。

表3 關(guān)機(jī)時刻軌道參數(shù)

表4 入軌時刻軌道參數(shù)

表3和表4中的Δ, Δ和Δ分別表示關(guān)機(jī)和入軌時刻的實際與標(biāo)稱彈道的半長軸、偏心率和軌道傾角的偏差量，其迭代終端時刻的俯仰和偏航程序角偏差量如表5所示。

表5 迭代終端程序角偏差

從表3至表5可看出：

1) 由于用例1工況的迭代制導(dǎo)與標(biāo)稱彈道計算的終端程序角偏差較小，為0.2°范圍以內(nèi)，使得采用本方法的補償量較小，近似于0，故入軌參數(shù)偏差量與經(jīng)典迭代制導(dǎo)的大小相當(dāng)；

2) 當(dāng)?shù)K端程序角偏差變大時，如用例2程序角偏差超出11°工況，相比于經(jīng)典迭代制導(dǎo)方法來說，采用本方法對入軌參數(shù)偏差的提升達(dá)85%以上，如表6所示。尤其是半長軸制導(dǎo)控制偏差，由“公里級”提升為“米級”。

表6 入軌參數(shù)偏差提升百分比

3.3 終端姿態(tài)約束工況

仍以表1中的用例1為例，分別采用經(jīng)典迭代制導(dǎo)(簡稱經(jīng)典方法)、文獻(xiàn)[7, 9]采用的制導(dǎo)方法(簡稱二次曲線方法)和本文所提的自適應(yīng)預(yù)測補償?shù)茖?dǎo)方法進(jìn)行計算和比較，得到用于控制的俯仰和偏航程序角如圖8、圖9所示。

圖8 俯仰迭代程序角變化示意圖

圖9中：,分別表示用于控制的俯仰和偏航程序角；后綴為0表示采用經(jīng)典方法計算得出的各參數(shù)；后綴為1表示采用本文方法計算得出的各參數(shù)；后綴為2表示采用二次曲線方法得出的各參數(shù)。

圖9 偏航迭代程序角變化示意圖

表8 迭代終端程序角偏差

表7中入軌參數(shù)的偏差表明：相比于二次曲線方法來說，采用本文方法得出的偏心率和軌道傾角偏差較大，但對于運載火箭的入軌精度來說，仍具有較高的精度，且從圖8、圖9可看出，本文所提方法計算得出的制導(dǎo)程序角與經(jīng)典方法的大小和變化趨勢的一致性較好，程序角的變化幅度也較小，這說明本文方法對推力偏差工況的適應(yīng)能力較好。

表7 入軌時刻軌道參數(shù)

為提升運載火箭燃料的使用率，通常會增加用以調(diào)節(jié)燃料混合比的利用調(diào)節(jié)系統(tǒng)，混合比的調(diào)整也會導(dǎo)致推力出現(xiàn)波動。這里僅以利用系統(tǒng)調(diào)節(jié)2次為試驗用例，即：在迭代制導(dǎo)啟動70～80 s時采用高工況模式，推力增加7500 N；在迭代制導(dǎo)啟動100～110 s時采用低工況模式，推力降低7500 N。此時，三種方法的入軌精度如表9所示。

表9 入軌時刻軌道參數(shù)

從表9可看出,采用二次曲線方法的入軌參數(shù)偏差仍最優(yōu)，但相比于其他方法來說，其程序角的變化幅度最大，如圖10、圖11所示。

圖10 俯仰迭代程序角變化示意圖

圖11 偏航迭代程序角變化示意圖

從圖10、圖11可看出，當(dāng)推力出現(xiàn)波動時，采用本文方法在滿足終端姿態(tài)約束要求的同時，其計算得出的用于控制的俯仰和偏航程序角的品質(zhì)較好，且終端程序角的偏差最小，如表10所示。

表10 迭代終端程序角偏差

4 結(jié) 論

本文針對已有迭代制導(dǎo)停止計算后的入軌參數(shù)或終端程序角偏差無法修正這一難題，提出了一種基于模型參考的自適應(yīng)預(yù)測補償?shù)茖?dǎo)方法，并以某運載火箭發(fā)射任務(wù)為研究對象進(jìn)行了仿真分析與比較，結(jié)果表明：與現(xiàn)有迭代制導(dǎo)方法相比，本文采用的自適應(yīng)預(yù)測補償?shù)牡茖?dǎo)方法，在提升迭代制導(dǎo)對入軌參數(shù)或終端程序角偏差的修正能力、實現(xiàn)高精度入軌或降低終端程序角偏差的同時，也對推力的偏差具有較強適應(yīng)性。此外，本文所提的方法在某運載火箭首飛任務(wù)中的應(yīng)用效果也表明：本文的方法能夠提升有效載荷的入軌精度，且有效避免了采用現(xiàn)有迭代制導(dǎo)方法因后效沖量矢量方向的大偏差導(dǎo)致發(fā)動機(jī)定時關(guān)機(jī)的現(xiàn)象。