RV減速器行星齒輪的齒廓修形

姜志宏 池漢佳 劉俊希 李小燕

(江西理工大學機電工程學院 江西 贛州 341000)

0 引 言

盡管有些齒輪是通過高精密機床加工而成，但嚙合傳動時的振動問題仍然無可避免，針對這一問題的改善主要是運用齒廓修形的方法。所謂齒廓修形是對目標齒輪齒廓進行微量的修整，使其齒面變得相對圓滑，偏離理論齒廓，其方式有修緣、修根和挖根等。通過對齒廓的修形，可以在齒輪設計尺寸和安裝距離不變的情況下，極大提高齒輪傳動的接觸質量、平穩(wěn)性和承載能力，從而可以改善齒輪傳動中產(chǎn)生的振動和噪聲現(xiàn)象，以達到減速器中齒輪的工作壽命得到延長的作用[1]。

國內(nèi)外學者針對齒廓修形主要集中于理論研究。Barbieri等[2]對齒輪的相關參數(shù)進行微觀修形，采用的是GA對其參數(shù)進行優(yōu)化，并對修形后的齒輪進行可靠性實驗，驗證了該優(yōu)化算法對提高齒輪動態(tài)性能有一定影響，但唯一的缺陷就是該優(yōu)化算法只能優(yōu)化一個參數(shù)，未能實現(xiàn)整體參數(shù)的全局優(yōu)化。Imrek等[3]對圓柱齒輪的齒寬方向進行修形，并對其修形后的齒面接觸區(qū)域內(nèi)磨損程度進行實驗測試，發(fā)現(xiàn)修形對齒面磨損程度的減少起到一定的影響，從而達到延長齒輪使用壽命的效果。Seol等[4]對直齒圓柱齒輪修形，采用的是齒廓修形和鼓形修形相結合的方式，并且在考慮了輪齒接觸方式和各項誤差情況下，通過相關理論的計算得到合理的修形量。Wang等[5]主要是對齒面嚙合力與修形參數(shù)之間的相關性進行研究，通過利用三維建模技術和有限元技術構建出齒輪實體模型和齒廓曲線，分析得出優(yōu)化后齒形修形的相關參數(shù)。

由于電子計算機技術隨著時間的推移不斷發(fā)展和普及，越來越多關于齒輪優(yōu)化方面的專業(yè)化軟件被開發(fā)出來并被投入到齒形修形的研究中，KISSSOFT是目前為止在齒形修形方面應用最為廣泛的軟件之一。趙登利等[6-7]對風電齒輪箱高速級齒輪修形參數(shù)進行多目標優(yōu)化，運用的仿真分析軟件是KISSSOFT，修行后的齒輪在承載能力、強度和系統(tǒng)動態(tài)性能等方面較修形前有了極大的提升。李勇鵬等[8]對900 kW減速機中的行星齒輪齒廓進行修形，運用的仿真分析軟件是KISSSOFT，修形后的齒輪嚙較接觸質量和承載能力較修行前有了極大的提高，并且在噪聲和沖擊方面有明顯的變化。唐進元等[9]對某五級減速機的行星齒輪修形，運用的仿真分析軟件是KISSSOFT，修形后的齒輪強度和其他性能指標均得到了相當程度的提升。

RV減速器是工業(yè)機器人的核心部件，提高RV減速器的傳動精度減少誤差具有理論和工程意義。鑒于改善齒面接觸區(qū)的分布，減小齒輪傳動過程中的轉動誤差，降低齒輪傳動系統(tǒng)的振動與噪聲是齒廓修形的巨大優(yōu)勢。因此，本文以RV40E-121減速器行星齒輪為研究對象，開展齒廓修形研究，探討修形參數(shù)對齒輪副傳動誤差的影響規(guī)律。

1 齒廓修形的數(shù)學模型

修形量、修形曲線和修形長度這三個方面是影響齒廓修形效果的主要因素，因此齒廓修形的數(shù)學模型將從這三個方面建立。

修形量的取值對齒廓修形效果的影響最為明顯[10]。當齒輪修形的修行量取值過小時，無法改善齒輪進入嚙合和脫離嚙合時齒輪接觸出現(xiàn)的撞擊現(xiàn)象；當齒輪修形的修形量取值過大時，齒與齒之間的縫隙會隨之增大，造成齒輪嚙合的齒數(shù)發(fā)生減小，齒輪的傳動誤差增大，同時也會造成齒輪進入嚙合和脫離嚙合時輪齒接觸出現(xiàn)的撞擊現(xiàn)象，從而輪齒間的摩擦加劇，齒輪傳動系統(tǒng)產(chǎn)生的振動現(xiàn)象變得明顯；其最大修形量(Amax)的計算公式為：

(1)

式中：Amax為最大修形量；RA為工況系數(shù)；Ft為圓周力；c為齒寬；δα為齒輪端面重合度；Bγ為齒輪嚙合剛度。

齒廓修形部位上嚙合位置的厚度與嚙合位置的修形量之間的比值稱為齒廓修形曲線，它們之間存在的數(shù)學表達式為冪指函數(shù)：

(2)

式中：A為修形部位的修形量；y為修形部位去除齒輪材料的厚度；S為齒廓上任意修形部位的修形長度；m為該表達式的冪數(shù)，它的變化影響著修形曲線的形狀，當m取1時，修形曲線將會是一條直線，當m取2時，修形曲線呈拋物線狀。因此，不同形狀的修形曲線對應著不同的m值，經(jīng)過相關實驗研究表明，m取值區(qū)間一般為m∈[1,2]，在這個區(qū)間內(nèi)容易減小齒面接觸區(qū)發(fā)生應力突變和輪齒間的接觸發(fā)生撞擊現(xiàn)象的概率。

齒廓修形是指修形曲線在齒廓上接觸起始點(或者是接觸終點)之間的直線距離。它分為長修形和短修形兩種方式，其計算公式為：

(3)

式中：L0為齒輪嚙合線長度；Pb為齒輪端面基節(jié)。

2 基于KISSSOFT的行星齒輪實體模型的構建

由于KISSSOFT軟件是一款專業(yè)化齒輪軟件，可直接構建RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪的三維模型。考慮到RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪中的中心輪和行星輪只是在同一平面內(nèi)通過平行軸傳遞它們之間的動力，并且兩行星輪的基本參數(shù)相同，因此可將RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪傳動簡化成一對直齒外嚙合圓柱齒輪傳動。

由于RV40E-121減速器是大傳動比減速器，輸入轉速運一般會大于1 000 r/min，因此行星輪作為它的一級減速裝置行星，其預設輸入轉速不低于1 200 r/min，這里在KISSSOFT軟件中輸入轉速一欄設置為1 450 r/min。減速器行星齒輪機構的傳動比為i=3，則輸出轉速為484 r/min。打開KISSSOFT軟件中的圓柱齒輪副單元，將表1內(nèi)的行星輪相關數(shù)據(jù)在basic data選項卡中進行設置。其中，Center distance一欄設置為36，它表示為太陽輪與行星輪的中心距為36 mm，如圖1所示。

表1 RV減速器高速級行星齒輪幾何參數(shù)

在齒輪的齒廓曲線Reference profile選項卡中選用RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪的齒形，由于其齒形是漸開線狀，故選擇標準齒形。在齒輪rating選項卡中輸入兩齒輪處于運轉狀態(tài)下的參數(shù)，包含功率(3 kw)、扭矩(20 Nm)、轉速(1 450 r/min)、工作時間(20 000 h)等。在齒面接觸分析選項卡中(Contact analysis)進行求解，從而獲得未修形時RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪齒面嚙合法向力分布曲線和轉動誤差曲線，并分析得出該齒輪未修形時的多項性能指標。

如圖2(a)所示，此圖為修形前 RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪齒面的接觸法向力分布曲線?？梢钥闯觯珹點與B點之間的區(qū)域是兩對輪齒嚙合的地方，且A點為輪齒接觸的初始點，其法方向應力值約為175 N/m2，將它與最大法向力數(shù)值500 N/m2進行百分比計算，發(fā)現(xiàn)A點承受了整個齒輪傳動過程中所受載荷的35%。B點與D點之間的區(qū)域是一對齒嚙合的地方，且B點是兩對輪齒接觸轉變?yōu)橐粚X接觸的過渡點，它將A所承受整個齒輪傳動過程中承受載荷的35%上升到50%。C點為中心輪和行星輪兩節(jié)圓間的交點。D點和E點之間的區(qū)域又轉換為兩對輪齒接觸的地方，其中D點是一對齒接觸轉變?yōu)閮蓪嘄X接觸的過渡點，它將B點在整個齒輪傳動過程中所受到外力的50%降低至45%。而E點將D點在整個齒輪傳動過程中所受到外力的45%下降到40%，它是輪齒即將脫離接觸的嚙合點。如圖2(b)所示，此圖為修形前 RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪轉動誤差曲線，其曲線最高點達到52 μm，變化幅度較大。轉動誤差值由輪齒進入接觸位置急劇下降，直至到達最小值30 μm，然后其曲線變化趨勢趨于平穩(wěn)。太陽輪和行星輪兩節(jié)圓間的交點C附近的數(shù)值變化是整個轉動誤差曲線圖里最大的地方，由30 μm急劇增長到曲線最高點52 μm，接著緩慢降低至50 μm，然后傳動誤差值又迅速降低至32 μm，最后趨于平穩(wěn)。因此，通過對轉動誤差變化的整體趨勢來分析得出：RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪在輪齒間進入嚙合和脫離嚙合時，存在較大的嚙合沖擊的現(xiàn)象。

(a) 接觸法向力曲線

(b) 齒輪傳動誤差曲線

綜上所述，RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪需要在齒面接觸法向力和齒輪傳動所產(chǎn)生的轉動誤差兩個方面進行改善。

3 行星齒輪齒廓修形分析

3.1 齒廓修形前后對比分析

RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪中的中心輪作為主動輪，始終處于高速轉動的情況下，會因為承受載荷產(chǎn)生變形和轉動誤差，容易出現(xiàn)輪齒在進入嚙合和脫離嚙合時造成沖擊的現(xiàn)象。為了改善這一現(xiàn)象的發(fā)生，使輪齒進入嚙合和脫離嚙合時的線形曲線接近光滑平穩(wěn)，將對中心輪和行星輪的齒頂和齒根部分的圓角部分進行微量的修正，這種工藝措施稱為線性流暢修形方法。進入齒輪修形選項卡(Modifications)調用ISO6336齒輪強度計算準則，計算其最大修形量，由式(1)可確定數(shù)值為22 μm。

KISSSOFT軟件中有八種齒廓修形方式，分別是直線型窄齒廓修形、直線寬齒廓修形、具有過渡半徑的直線型窄齒廓修形、具有過渡半徑的寬齒廓修形、拋物線型窄齒廓修形、拋物線型寬齒廓修形、漸進型窄齒廓修形、漸進型寬齒廓修形。通過使用這八種修行方式對RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪進行齒廓修形，得出不同的齒面接觸法向力曲線，經(jīng)過對比分析，最終確定最佳修形量的數(shù)值，如圖3所示。

(a) 直線型窄齒廓修形

(b) 直線型寬齒廓修形

(c) 拋物線型窄齒廓修形

(d) 拋物線型寬齒廓修形

(e) 漸進型窄齒廓修形

(f) 漸進型寬齒廓修形

(g) 具有過渡半徑的直線 型窄齒廓修形

(h) 具有過渡半徑的直線 型寬齒廓修形

將八種齒廓修形得出的齒面接觸法向力曲線(如圖3(a)-圖3(h)所示)與修形前的齒面接觸法向力曲線(如圖2(a)所示)進行比較分析，可以發(fā)現(xiàn)，修形前后齒面接觸法向力數(shù)值幾乎未發(fā)生變化，但是修行前的A點到C點與D點到E點之間的曲線經(jīng)過修行漸漸變得近似于一條直線，由此可判斷出修行后的齒廓有助于改善輪齒進入嚙合和脫離嚙合時的沖擊現(xiàn)象，從而提高齒面嚙合質量。再通過分析八種輪廓修形方式下得出的轉動誤差曲線，確定哪種修形方式使得RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪修形達到最佳修形效果，如圖4所示。

(a) 直線型窄齒廓修形

(b) 直線型寬齒廓修形

(c) 拋物線型窄齒廓修形

(d) 拋物線型寬齒廓修形

(e) 漸進型窄齒廓修形

(f) 漸進型寬齒廓修形

(g) 具有過渡半徑的直線 型窄齒廓修形

(h) 具有過渡半徑的直線 型寬齒廓修形

將八種齒廓修形方式得出的轉動誤差曲線(如圖4(a)-圖4(h)所示)對比分析得知，直線型寬輪廓修形(如圖4(b)所示)得到轉動誤差變化范圍最小，與修行前時的轉動誤差變化范圍值相比較，縮小了12 μm；直線型窄輪廓修形(如圖4(a)所示)和漸進型窄輪廓(如圖4(e)所示)得到的轉動誤差變化范圍最大，與修形前的轉動誤差值相比較，近乎相同；拋物線型寬輪廓(如圖4(d)所示)和漸進型寬輪廓(如圖4(f)所示)得到的轉動誤差曲線過渡階段相對平穩(wěn)光滑，與修形前的傳動誤差變化范圍相比較，整體轉動誤差變化范圍有了明顯變化，分別縮小8 μm和4 μm。

經(jīng)過對八種齒廓修形得出的齒面接觸法向力曲線和齒輪轉動誤差曲線比較分析，基于轉動誤差曲線的變化范圍及過渡階段曲線的平穩(wěn)性和光滑性考慮，最終確定拋物線型寬輪廓是RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪最佳的修形方式。

3.2 齒廓修形對傳動系統(tǒng)振動的影響

齒輪傳動過程中會發(fā)生振動現(xiàn)象，這是由于齒輪的制造誤差、齒輪副的安裝誤差、齒輪傳動時所受載荷造成齒面變形等多重因素造成輪齒間實際接觸點位置遠離理論位置所引起的。齒輪的振動對于RV減速器的運轉平穩(wěn)性極為不利[11-12]，它會通過曲軸及其軸承、行星架、輸入軸等傳遞到整個減速器，從而引起整個結構出現(xiàn)噪聲和振動的現(xiàn)象。因此，齒輪傳動產(chǎn)生的轉動誤差與齒輪振動之間存在著相應的關系，經(jīng)實驗研究表明，齒輪傳動所產(chǎn)生的轉動誤差與振動噪聲成正比，其關系式為：

dB=Kδ

(4)

式中：K為齒輪常數(shù)；δ為轉動誤差。

由式(4)可知，轉動誤差的減小有助于改善齒輪嚙合過程中產(chǎn)生的振動現(xiàn)象，從而對降低齒輪的噪聲起到一定的效果。而對齒輪齒廓的修形影響著轉動誤差的變化，下面通過采用拋物線型寬輪廓的修形方式對相同條件下(比如所受載荷相同)不同修形量得到的轉動誤差曲線進行對比分析，如圖5所示。

圖5 不同修形量的轉動誤差曲線

可以看出，轉動誤差曲線和轉動誤差信號的快速傅里葉級數(shù)變換曲線的變化趨勢是先下降后上升。轉動誤差的最佳數(shù)值出現(xiàn)在修形量為36 μm時，其齒面接觸法向力曲線和轉動誤差曲線如圖6所示。傳動誤差信號的快速傅里葉級數(shù)變換的最佳數(shù)值出現(xiàn)在修形量為50 μm時，說明該修形量下的傳動誤差變化范圍，其齒面接觸法向力曲線及轉動誤差曲線如圖7所示。

(a) 齒面接觸法向力曲線

(b) 轉動誤差曲線

(a) 齒面接觸法向力曲線

(b) 轉動誤差曲線

通過對圖3(d)和圖4 (d)與圖6、圖7分別比較分析可得出，齒面接觸法向力在修形量分別為22 μm、36 μm和50 μm下的曲線變化趨勢近乎相似，但修形量為22 μm與修行量為36 μm時的齒面接觸法向力曲線相比較修行量為50 μm的更光滑平穩(wěn)，這結果表明齒輪接觸應力分布平均。而修形量為22 μm與修形量36 μm相比較而言，它的轉動誤差曲線平滑度更高。故22 μm為RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪齒廓修形的最佳修形量。

圖8和圖9是運用KISSSOFT軟件獲取的齒面接觸圖，即兩者的瞬時加速度曲線和轉動誤差信號的快速傅里葉級數(shù)變換圖。

(a) 齒面接觸點瞬時加速度

(b) 轉動誤差信號的快速傅里葉級數(shù)變換

(a) 齒面接觸點瞬時加速度

(b) 轉動誤差信號的快速傅里葉級數(shù)變換

圖9與圖8相比，轉動誤差信號的快速傅里葉級數(shù)變化數(shù)值由10 μm減小到6 μm，說明傳動誤差的波動大幅度減??；瞬時加速度最大誤差值由2×106μm/s2減小到1×106μm/s2，表明齒輪修形后的嚙入嚙出沖擊減小。

圖10和圖11所示是運用KISSSOFT軟件在最佳修形量與修形前兩種情況下，獲取的齒面的載荷分布和齒面接觸斑點圖。

(a) 齒面載荷分布

(b) 齒面接觸斑點圖10 未修形的齒面載荷分布和齒面接觸斑點

(a) 齒面載荷分布

(b) 齒面接觸斑點圖11 修形量22 μm的齒面載荷分布和齒面接觸斑點

圖10與圖11相比較，未修形時齒面載荷分布不均勻，其最大載荷達到930 N/m2，存在載荷突變現(xiàn)象，可能產(chǎn)生較大附加動載荷；齒面接觸斑點不居中，存在較嚴重偏載現(xiàn)象。修形后的齒面載荷分布均勻、變化平穩(wěn)，最大載荷降到了720 N/m2，齒面斑點呈橢圓形分布在齒面區(qū)域中心，基本消除載荷突變和嚴重偏載的現(xiàn)象，提高齒輪承載能力。

綜上所述，RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪通過齒廓修形，可使它在齒輪傳動的轉動誤差曲線、傳動誤差信號的快速傅里葉級數(shù)變化數(shù)值、瞬時加速度曲線、齒面接觸法向力曲線、齒面載荷分布和齒面接觸斑點等多方面得到極大改善，為RV40E-121減速器整體結構的振動、行星齒輪承載能力及噪聲的提升起到較大的作用。

3.3 齒廓修形對傳動系統(tǒng)嚙合質量的影響

RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪容易出現(xiàn)齒輪膠合的現(xiàn)象[11]，這是由于它的運轉長期處于高速狀況下，其輪齒間所受的壓力較大，嚙合溫度急劇升溫并長期處于高溫狀態(tài)以及潤滑性能越來越差，最終兩輪齒黏在一起，齒面會沿著相對運動方向撕裂造成齒面損傷。通過KISSSOFT軟件可以計算出嚙合線內(nèi)接觸溫度生成瞬時溫度曲線圖和齒間油膜厚度曲線圖，從而反映出齒輪接觸過程的潤滑狀態(tài)。嚙合線內(nèi)接觸溫度的計算公式為：

(5)

式中：Tf為瞬時溫度指數(shù)；T0為初始溫度；Wm為單位齒寬有效載荷；rms為齒輪磨合后齒面均方根粗糙度；Z為膠合幾何系數(shù)；n為轉速；m為模數(shù)。

齒面膜厚比計算公式為：

(6)

式中：qmin為最小油膜厚度；Ra為齒面平均算術粗糙度。

圖12-圖15是KISSSOFT軟件采用拋物線型寬輪廓修形方式獲取的齒輪接觸區(qū)域瞬時溫度曲線和齒間油膜厚度曲線。

圖12 修形前瞬時溫度

圖13 修形前齒間膜厚度

圖14 修形量為22 μm時瞬時溫度

圖15 修形量為22 μm時齒間油膜厚度

將修形前瞬時溫度(如圖12所示)與修形量為22 μm時的瞬時溫度(如圖14所示)進行比較分析，可以看出，修形量為22 μm的瞬時溫度從200 ℃降低至190 ℃，且修形量為22 μm的齒面接觸瞬時溫度曲線相比較修形前更加光滑平穩(wěn)，呈周期性波動，對RV40E-121減速器齒輪運轉的性能提升有極大的影響。

將修形前齒間油膜厚度(如圖13所示)與修形量為22 μm時的齒間油膜厚度(如圖15所示)進行比較分析，可以看出，修形量為22 μm的油膜厚度曲線較修行前變化趨勢平穩(wěn)，這表明齒面不易發(fā)生膠合現(xiàn)象，輪齒間溫度的上升趨勢得到減緩，從而使RV40E-121減速器齒輪傳動處在一個穩(wěn)定狀態(tài)內(nèi)。

4 結 語

通過KISSSOFT軟件利用RV減速器漸開線外嚙合行星齒輪傳動特性，完成對其行星輪系的修形仿真，并得出以下結論：

(1) 選擇齒廓修形方式對中心輪和行星輪進行修形，計算出最大修行量為22 μm，對比分析八種不同修形方式的嚙合法向力曲線及傳動誤差曲線，確定修形長度為寬輪廓修形，修形曲線為拋物線型曲線。

(2) 分析齒廓修形對齒輪傳動中出現(xiàn)的振動現(xiàn)象起到一定的改善作用，轉動誤差數(shù)值和轉動誤差信號的快速傅里葉級數(shù)變換數(shù)值都顯現(xiàn)出先下降后上升的趨勢，最終通過不同修形量下的齒面接觸法向力曲線和轉動誤差曲線的對比分析，確定22 μm為RV40E-121減速器漸開線外嚙合行星齒輪最佳修形量，由該修形量下轉動誤差信號的快速傅里葉級數(shù)變換曲線和齒面接觸點瞬時加速度曲線，表明齒廓修形對輪齒進入嚙合和脫離嚙合時所受沖擊力的減小起到一定作用。

(3)經(jīng)過齒廓修形前后的輪齒接觸瞬時溫度和齒間油膜厚度曲線的對比，修形后的瞬時溫度曲線數(shù)值下降至10 ℃，而齒間油膜厚度曲線數(shù)值提升近1倍，表明齒廓修形的最佳修形量對輪齒間的嚙合質量和傳動系統(tǒng)出現(xiàn)振動現(xiàn)象的改善起到了一定的作用。