面向研究生的凸優(yōu)化課程教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

魏 倩，白 可，金 勇，李軍偉

（河南大學(xué)人工智能學(xué)院，河南鄭州 450046）

0 引言

近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的蓬勃發(fā)展，世界各國紛紛圍繞新一代人工智能技術(shù)及相關(guān)產(chǎn)業(yè)發(fā)展進(jìn)行前瞻布局，并將人工智能技術(shù)作為未來的戰(zhàn)略主導(dǎo)。國家亟需把握當(dāng)前人工智能領(lǐng)域快速發(fā)展的機(jī)遇，在高校建立起完善的人工智能人才培養(yǎng)體系。然而，傳統(tǒng)的教學(xué)體系設(shè)計(jì)已經(jīng)無法滿足新時(shí)代背景下人工智能人才培養(yǎng)的需求，開設(shè)具有創(chuàng)新性的實(shí)用課程，培養(yǎng)適應(yīng)科技發(fā)展和社會(huì)需求的人工智能人才成為迫切要求。凸優(yōu)化作為人工智能相關(guān)專業(yè)最重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之一，成為該專業(yè)研究生課程教學(xué)計(jì)劃必不可少的一部分。學(xué)生可以通過學(xué)習(xí)凸優(yōu)化課程，培養(yǎng)提出、分析與解決工程優(yōu)化問題的能力，為后續(xù)科研工作與就業(yè)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。此外，凸優(yōu)化課程有助于培養(yǎng)學(xué)生理解與解決復(fù)雜工程問題的邏輯思維能力，對(duì)于培養(yǎng)高素質(zhì)科研創(chuàng)新人才具有重要意義。

1 相關(guān)研究

高等教育是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的有效途徑，各大高校在學(xué)科設(shè)置、教學(xué)模式、課程教學(xué)改革等方面進(jìn)行了相應(yīng)調(diào)整和創(chuàng)新。例如，文獻(xiàn)［4］提出混合式數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革方法，采用模塊化和案例式教學(xué)方式將數(shù)學(xué)建模思想傳授給學(xué)生，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)課程的學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)習(xí)效率；文獻(xiàn)［5］針對(duì)人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程分析了相關(guān)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)和大學(xué)教師隊(duì)伍設(shè)置的合理性，還探討了微積分、線性代數(shù)、矩陣論、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等教材具體內(nèi)容設(shè)置。然而，以上文獻(xiàn)是針對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課程進(jìn)行改革的嘗試，不能滿足人工智能專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的需求。高等教育越來越大眾化，必須深入推進(jìn)培養(yǎng)模式改革，加快完善教學(xué)評(píng)價(jià)機(jī)制，不斷提高人才培育質(zhì)量。為此，文獻(xiàn)［6］在工程教育背景下建立了信號(hào)與系統(tǒng)課程的教學(xué)模式和考核評(píng)價(jià)體系，有效提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)成績；文獻(xiàn)［7］通過分析自動(dòng)控制原理課程的教學(xué)現(xiàn)狀，提出以學(xué)生為重心的立體化教學(xué)實(shí)驗(yàn)體系，有效提高了學(xué)生分析復(fù)雜問題的能力；文獻(xiàn)［8］在工程教育背景下對(duì)數(shù)字圖像處理課程進(jìn)行改革，將前沿研究與工程案例引入課堂，滿足了學(xué)生了解相關(guān)研究方向的需求。然而上述文獻(xiàn)僅對(duì)工程教育背景下的教學(xué)模式進(jìn)行了初步改革，探討不夠細(xì)致和深入。

人工智能是計(jì)算機(jī)科學(xué)的一個(gè)分支，目前已成為“新工科”研究與實(shí)踐項(xiàng)目的熱門學(xué)科，目的是培養(yǎng)工程實(shí)踐能力強(qiáng)、創(chuàng)新能力強(qiáng)、具備國際競爭力的高素質(zhì)復(fù)合型人才。該專業(yè)研究生需要從課程中學(xué)習(xí)如何建立解決問題的基本框架，培養(yǎng)科學(xué)分析問題的能力，這就要求其掌握一系列通用工程類課程內(nèi)容，學(xué)會(huì)復(fù)雜問題建模，從而高效求解，然而傳統(tǒng)課程體系已經(jīng)無法滿足現(xiàn)階段該專業(yè)研究生對(duì)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的需求。本文針對(duì)人工智能相關(guān)專業(yè)研究生課程內(nèi)容單一、教學(xué)模式落后等問題，將凸優(yōu)化課程引入到工科教學(xué)背景下，提出該課程改革的建設(shè)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，建立了相關(guān)評(píng)價(jià)體系，從而幫助人工智能專業(yè)研究生掌握求解凸優(yōu)化問題的基本方法，滿足其對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的認(rèn)知需求。

2 課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)背景

河南大學(xué)人工智能學(xué)院現(xiàn)有人工智能和控制工程2個(gè)專業(yè)碩士點(diǎn)，其中控制工程專業(yè)的依托學(xué)科——控制科學(xué)與工程為省一級(jí)重點(diǎn)學(xué)科。自2013 年開始，為緊跟人工智能領(lǐng)域研究前沿，提高研究生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力，團(tuán)隊(duì)開始嘗試開設(shè)凸優(yōu)化課程。該課程教學(xué)首先以團(tuán)隊(duì)內(nèi)部研究生建立討論班的形式展開，通過不斷積累經(jīng)驗(yàn)、收集課程資料、豐富教學(xué)內(nèi)容，自2015 年開始面向人工智能學(xué)院全體研究生開設(shè)。

人工智能學(xué)院課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)依托于省重點(diǎn)一級(jí)學(xué)科控制科學(xué)與工程，長期從事傳感器管理及信息融合研究，所需數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)與凸優(yōu)化理論非常契合，且團(tuán)隊(duì)負(fù)責(zé)人及核心成員具有較強(qiáng)的理論研究功底，主持國家自然科學(xué)基金課題4 項(xiàng)，省部級(jí)項(xiàng)目7 項(xiàng)，人工智能領(lǐng)域橫向課題若干項(xiàng)，在SCI/EI學(xué)術(shù)期刊發(fā)表論文50余篇。

3 課程內(nèi)容簡介及要求

凸優(yōu)化是特殊的數(shù)學(xué)優(yōu)化問題，其包含最基礎(chǔ)的最小二乘與線性規(guī)劃問題，可以認(rèn)為是線性規(guī)劃的推廣。凸優(yōu)化的實(shí)質(zhì)是探索某些特殊類型非線性問題的高效求解方法。自1990 年起，凸優(yōu)化方法在電子信息工程的自動(dòng)控制、信號(hào)處理與通信、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、集成電路設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)分析及模式識(shí)別等領(lǐng)域獲得了廣泛關(guān)注。近年來，隨著計(jì)算性能的指數(shù)提高，凸優(yōu)化課程在人工智能領(lǐng)域的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地位獲得了學(xué)術(shù)界的認(rèn)可。

該課程要求學(xué)生具備微積分、隨機(jī)過程及矩陣論等理論知識(shí)，課程結(jié)構(gòu)分為3 個(gè)部分，如圖1 所示，其中第1-5章為理論基礎(chǔ)，幫助學(xué)生建立凸優(yōu)化理論的基本架構(gòu)和概念方法；第6-8 章分別講述凸優(yōu)化在概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)擬合、計(jì)算集合等諸多領(lǐng)域中的應(yīng)用實(shí)例，幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)理解和擴(kuò)展；第9-11 章討論凸優(yōu)化算法代碼在嵌入式系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)方法。

4 課程建設(shè)內(nèi)容與目標(biāo)

凸優(yōu)化課程的建設(shè)目的是幫助人工智能專業(yè)研究生理解數(shù)學(xué)優(yōu)化方法的背景知識(shí)，并掌握求解凸優(yōu)化問題的基本方法。與數(shù)學(xué)專業(yè)側(cè)重證明及理論體系完整性不同，本課程的教學(xué)過程應(yīng)充分體現(xiàn)和落實(shí)對(duì)學(xué)生解決復(fù)雜工程問題能力的培養(yǎng)，幫助其理解復(fù)雜工程的內(nèi)涵、認(rèn)識(shí)復(fù)雜工程問題的特征，有針對(duì)性地培養(yǎng)和提高學(xué)生在人工智能領(lǐng)域相關(guān)工程實(shí)踐中解決實(shí)際問題的能力。此外，本課程更注重鍛煉學(xué)生從工程背景出發(fā)，認(rèn)識(shí)、描述和求解工程應(yīng)用問題的能力。其建設(shè)內(nèi)容框架如圖2 所示。課程內(nèi)容具體分為6 個(gè)部分：①確定課程綱要。包括凸優(yōu)化教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)基本要求、學(xué)時(shí)學(xué)分分配及必要的說明等部分；②編寫教材和教參?；诳茖W(xué)性、系統(tǒng)性、實(shí)用性等標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)河南大學(xué)研究生水平對(duì)現(xiàn)有凸優(yōu)化英文教材進(jìn)行修改；③創(chuàng)建授課計(jì)劃及教案。包括凸優(yōu)化教學(xué)目的與要求、授課重點(diǎn)與難點(diǎn)、日程、進(jìn)度、教材和參考書目以及課堂講授、討論、輔導(dǎo)、作業(yè)練習(xí)、考核等教學(xué)環(huán)節(jié)的具體安排；④組織課程實(shí)施。采用開放式（討論、研究、網(wǎng)絡(luò)等）教學(xué)模式，強(qiáng)化凸優(yōu)化案例代碼實(shí)現(xiàn)的教學(xué)環(huán)節(jié)；⑤開展課程評(píng)價(jià)。建立科學(xué)的可操作的課程考核制度，嘗試構(gòu)建試題庫，積極探索以優(yōu)化案例研究及代碼實(shí)現(xiàn)代替考試的評(píng)價(jià)制度；⑥完善課程教學(xué)內(nèi)容和課程結(jié)構(gòu)。廣泛搜集人工智能與控制工程領(lǐng)域最新的優(yōu)化案例，突出課程特色，根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況及時(shí)調(diào)整課程體系。

Fig.1 Course structure圖1 課程結(jié)構(gòu)

Fig.2 Content framework of course construction圖2 課程建設(shè)內(nèi)容框架

預(yù)期經(jīng)過3 年課程建設(shè)，人工智能專業(yè)研究生可以掌握凸優(yōu)化基礎(chǔ)理論知識(shí)，將工程中常見的優(yōu)化問題抽象為凸優(yōu)化問題，并具備使用該理論和相關(guān)求解方法設(shè)計(jì)并解決工程優(yōu)化問題的能力。

5 課程教學(xué)實(shí)踐

凸優(yōu)化課程的開設(shè)單位為人工智能學(xué)院，擁有控制科學(xué)與工程、人工智能兩個(gè)學(xué)科碩士點(diǎn)，學(xué)院每年招收研究生近百人。如何加強(qiáng)學(xué)院研究生科研及工程能力培養(yǎng)，助力河南省社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)“彎道超車”一直是課程團(tuán)隊(duì)重點(diǎn)關(guān)注的問題。相關(guān)專業(yè)研究生需要結(jié)合實(shí)際工程中涉及的優(yōu)化問題，按照抽象—梳理—研究—衍生的脈絡(luò)展開數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)，這不僅對(duì)學(xué)生，也對(duì)研究生導(dǎo)師的理論功底和工程能力提出了更高要求。

由于涉及數(shù)學(xué)和人工智能等領(lǐng)域的諸多前沿研究熱點(diǎn)，凸優(yōu)化課程教學(xué)實(shí)踐應(yīng)緊跟國際主流課程設(shè)置方法步伐，教材及課件采用國際著名優(yōu)化專家、中國科學(xué)院外籍院士Stephen Boyd 教授原版，授課采用教師板書+英文課件+研究生研探討等手段。

5.1 考核方式

目前，研究生課程考核方法以閉卷考試為主，課后習(xí)題練習(xí)為輔。然而，該類方法并不適用于工科類課程，不能反映學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。為此，本課程提出過程性考核評(píng)價(jià)體系，分為3個(gè)部分：①平時(shí)成績（占30%）。包括出勤率考核、平時(shí)課堂表現(xiàn)；②研究應(yīng)用成績（占30%）。主要考核學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)的掌握情況，是否能將學(xué)到的知識(shí)與自身研究方向相結(jié)合，并通過代碼進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，具體考核形式為學(xué)生在課堂上通過PPT 等演講方式與同學(xué)進(jìn)行溝通探討；③期末考試成績（占40%）。重點(diǎn)考核學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的應(yīng)用能力，以及解決抽象數(shù)學(xué)優(yōu)化問題的能力。期末考試采用書面閉卷形式，主要題型為綜合應(yīng)用題，要求寫出完整的分析思路與步驟。每次考試可根據(jù)實(shí)際需要選擇不同題型，應(yīng)至少包括4類題型。

5.2 教學(xué)實(shí)踐效果

在河南大學(xué)的60 名人工智能專業(yè)研究生中進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，由表1 可以看出，全部學(xué)生的期末成績表現(xiàn)良好，整體上呈正態(tài)分布。此外，學(xué)生在各自研究領(lǐng)域應(yīng)用凸優(yōu)化相關(guān)知識(shí)求解遇到的工程問題，并通過PPT 等形式與其他學(xué)生進(jìn)行交流，充分實(shí)現(xiàn)了“會(huì)學(xué)”到“會(huì)用”的跨越。

6 結(jié)語

凸優(yōu)化是人工智能專業(yè)研究生的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，內(nèi)容具有強(qiáng)大的理論性、可擴(kuò)展性。本文通過對(duì)凸優(yōu)化課程進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容和課程建設(shè)目標(biāo)設(shè)計(jì)，使該專業(yè)研究生掌握采用數(shù)學(xué)優(yōu)化方法解決復(fù)雜工程問題的能力。同時(shí)，本文還以培養(yǎng)實(shí)際應(yīng)用能力為導(dǎo)向，建立了合理的考核評(píng)價(jià)體系，使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問題，為今后從事相關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)研發(fā)、工程應(yīng)用工作打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。然而，本文主要針對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行凸優(yōu)化基礎(chǔ)理論的分析與應(yīng)用，今后將繼續(xù)探索將凸優(yōu)化課程設(shè)計(jì)與網(wǎng)絡(luò)教學(xué)、實(shí)驗(yàn)教學(xué)相結(jié)合。

Table 1 Students’grade distribution表1 學(xué)生成績分布