馮華峰，劉 晨，王剛強(qiáng)，張建立，王灝潔

(1.浙江理工大學(xué)科技與藝術(shù)學(xué)院 紡織服裝學(xué)院，浙江 上虞 312369； 2.余姚永堅(jiān)自控設(shè)備有限公司，浙江 余姚 315400； 3.浙江灝宇科技有限公司，浙江 紹興 312300)

隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的不斷發(fā)展，人們對(duì)著裝的舒適性有了更高的要求。透氣性是評(píng)價(jià)服裝舒適性的一個(gè)重要指標(biāo)，研究服裝的透氣性對(duì)紡織品的生產(chǎn)和使用具有指導(dǎo)意義。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究法和公式擬合推算法常用于織物透氣性的研究。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究法即通過(guò)構(gòu)建合適的人工網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)要分析的影響因子進(jìn)行層層擬合推演，其中基于PPR神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1]的數(shù)學(xué)模型被認(rèn)為具有很好的擬合效果，可分析和預(yù)測(cè)具有相同特性的某類織物的透氣性。但該算法只可選取特定的影響因子作為輸入層數(shù)據(jù)，而不同類型織物的影響因子有所差異，所以其適應(yīng)范圍存在局限性。公式擬合推算法適用范圍則較廣且簡(jiǎn)單方便。其先根據(jù)模型假設(shè)織物經(jīng)緯紗在制造過(guò)程中形成的間隙為矩形，然后將矩陣式排列的矩形按照平行管束來(lái)模擬，運(yùn)用流體力學(xué)理論中的哈根-泊肅葉(Hagen-Poiseuille)定律來(lái)模擬織物理論透氣性[2-3]，并結(jié)合織物結(jié)構(gòu)參數(shù)擬合得出擬合公式，通過(guò)SPSS軟件進(jìn)行回歸分析[4-5]?；貧w分析中高階曲線的擬合模型適應(yīng)性不強(qiáng)，一般采用線性擬合分析。

本文選取16種不同材質(zhì)的織物作為樣本，測(cè)試其透氣率，首先把經(jīng)緯交織的孔隙按照近似矩形來(lái)計(jì)算，再根據(jù)Hagen-Poiseuille定律計(jì)算其結(jié)構(gòu)參數(shù)中經(jīng)、緯紗線密度，經(jīng)、緯紗表觀直徑，得到該織物的等速當(dāng)量直徑和流量當(dāng)量直徑；利用MatLab軟件中的曲線擬合工具對(duì)得到的不同擬合模型進(jìn)行比對(duì)分析[6]，擇優(yōu)選取最佳的擬合方法；對(duì)不同織物的透氣率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合推演，從而計(jì)算該數(shù)學(xué)模型的殘差方差和以及均方根誤差，將其控制在最小值。進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)部分織物透氣性的預(yù)測(cè)，為織物的生產(chǎn)和使用給出指導(dǎo)意見(jiàn)。

1 織物透氣性

織物兩側(cè)存在氣壓差，空氣通過(guò)織物的孔隙從高壓側(cè)向低壓側(cè)透過(guò)的性能即為織物透氣性，常用于分析實(shí)際工程問(wèn)題[7-8]?？諝饽軌蛲高^(guò)織物的主要原因有2個(gè)，一是通過(guò)織物中經(jīng)緯紗線交織形成的孔隙，二是通過(guò)紗線內(nèi)纖維結(jié)構(gòu)中本身存在的孔隙，其中前者占絕大因素，因此本文只考慮紗線交織后留下的孔隙。通過(guò)Y511B型織物密度鏡(溫州大榮紡織儀器有限公司)可以直觀地看到織物中的間隙孔都是從一邊貫通到面料的另一邊，當(dāng)氣體流經(jīng)面料間隙孔時(shí)，其形狀由小變大，間隙孔橫截面呈現(xiàn)出類似喇叭形狀的螺旋狀態(tài)，當(dāng)氣體流過(guò)該形狀的截面時(shí)產(chǎn)生渦流，形成流體上常講的紊流運(yùn)動(dòng)[9]。因此該過(guò)程可近似于流體通過(guò)多孔物體，可用平行管束的理論模型來(lái)模擬分析織物的透氣過(guò)程，即織物透氣性用流體力學(xué)理論中的Hagen-Poiseuille定律來(lái)計(jì)算。

首先提出假設(shè)，把織物在織造過(guò)程中由于經(jīng)緯紗線交織產(chǎn)生的間隙孔設(shè)定為矩形，其分布按矩陣式排列，且孔徑大小一致，按照流體力學(xué)理論模型，間隙孔可用流體中等速當(dāng)量直徑dh和流量當(dāng)量直徑dL2種方法來(lái)表示。根據(jù)其適應(yīng)性得出織物在透氣過(guò)程中出現(xiàn)層流及紊流時(shí)可以用等速當(dāng)量模型來(lái)表達(dá)，在紊流過(guò)渡區(qū)用流量當(dāng)量模型來(lái)表達(dá)。

1.1 等速當(dāng)量直徑

根據(jù)流體力學(xué)模型，其等速當(dāng)量直徑[10]dh(mm)為：

(1)

式中：a、b分別為矩形風(fēng)管的邊長(zhǎng)，mm。

將織物的經(jīng)、緯向密度分別記作Pj、Pw( 根/(10 cm))；將織物經(jīng)紗和緯紗的表觀直徑記作dj、dw(mm)，代入式(1)得到式(2)：

(2)

1.2 流量當(dāng)量直徑

根據(jù)流體力學(xué)模型，其流量當(dāng)量直徑dL(mm)為：

(3)

式中：a、b分別為矩形風(fēng)管的邊長(zhǎng)，mm。

同理可得：

2 織物透氣性的測(cè)定

2.1 設(shè)備儀器與織物樣品

設(shè)備儀器：Y511B型織物密度鏡(溫州大榮紡織儀器有限公司)；YG141型織物厚度儀YG002型纖維分析儀(泉州市美邦儀器有限公司)；KES-F8-AP1型織物透氣性測(cè)試儀(加多技術(shù)有限公司)。

織物樣品：選取16種比較常見(jiàn)的紡織品面料，為避免每次實(shí)驗(yàn)對(duì)織物的影響，將每種面料分成4組，第1組用于厚度測(cè)量，裁剪成30 cm×30 cm；第2組用于紗線密度的測(cè)量；第3組用于測(cè)量紗線的表觀直徑；第4組用于織物透氣性測(cè)試。

2.2 織物參數(shù)的測(cè)量方法

織物密度：參照GB/T 4668—1995《機(jī)織物密度的測(cè)定》，用織物密度鏡觀察10 cm以內(nèi)織物經(jīng)緯紗交織中2個(gè)方向的紗線根數(shù)，計(jì)作經(jīng)紗線密度Pj、緯紗線密度Pw。

織物厚度：參照GB/T 3820—1997《紡織品和紡織制品厚度的測(cè)定》，將30 cm×30 cm的試樣放置于織物厚度儀的圓盤上，刻度調(diào)零后，按下開(kāi)始按鈕，壓腳自動(dòng)壓下，待指針?lè)€(wěn)定后讀取刻度，對(duì)每塊試樣的厚度分別進(jìn)行10次測(cè)量，每次取不同的平整部位，最后取織物厚度平均值L(mm)。

織物紗線表觀直徑：采用纖維分析儀獲取織物經(jīng)緯交織的單元結(jié)構(gòu)圖片，運(yùn)用軟件Scope image選項(xiàng)中的測(cè)量工具，在同一根經(jīng)線或者緯線中選取10個(gè)有效的測(cè)量位置進(jìn)行直徑測(cè)量，然后計(jì)算該數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值，得到織物經(jīng)、緯紗線的表觀直徑dj、dw(mm)[12]。

織物透氣性：參照GB/T 5453—1997《紡織品 織物透氣性的測(cè)試》，采用織物透氣性測(cè)量?jī)x測(cè)試，對(duì)試樣織物在壓降為100 Pa下進(jìn)行10次有效測(cè)量，求取算術(shù)平均值。

等速當(dāng)量直徑dh根據(jù)式(2)計(jì)算得到，流量當(dāng)量直徑dL根據(jù)式(4)計(jì)算得到，織物樣品各結(jié)構(gòu)參數(shù)測(cè)量值見(jiàn)表1。

表1 織物樣品各結(jié)構(gòu)參數(shù)測(cè)量值Tab.1 Measured values of fabric structure parameters

3 基于MatLab的曲線擬合

3.1 擬合效果的評(píng)價(jià)及比較

曲線擬合效果常通過(guò)擬合誤差與曲線形狀作為擬合算法的評(píng)估參數(shù)。以此為標(biāo)準(zhǔn)，在MatLab的常用工具箱中，選取相應(yīng)參數(shù)進(jìn)行擬合效果的評(píng)定，所選參數(shù)如下：

SSE：輸入與輸出誤差的平方和。此統(tǒng)計(jì)量可反映擬合值的偏差，越接近0值表示擬合輸出與輸入匹配度越高。

R-square：多重測(cè)定系數(shù)。其數(shù)值在0～1之間變化，如果數(shù)據(jù)越接近1，則表示所擬合的曲線因變量與模型中的輸出值越相關(guān)。

Adjust R-square：自由度調(diào)整測(cè)定系數(shù)。越接近1表示模型匹配度越高。

RMSE：擬合數(shù)據(jù)與輸入數(shù)據(jù)差分值的均方根誤差。越接近0表示擬合輸出與輸入匹配度越高。

利用2.2所測(cè)量的等速當(dāng)量直徑dh與透氣性2組數(shù)據(jù)，在MatLab的工具箱中分別選用7種數(shù)據(jù)擬合方法，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)擬合后輸出的評(píng)估參數(shù)，即SSE、R-square、Adjust R-square、RMSE，結(jié)果如表2所示。

表2 各類擬合方法的評(píng)定參數(shù)比較Tab.2 Evaluation parameter ratio of various fitting methods

從表2可以看出，誤差的平方和(SSE)普遍較大，選擇用多重測(cè)定系數(shù)(R-square)為第一評(píng)價(jià)指標(biāo)。由于插值模型出現(xiàn)不合理參數(shù)，因此暫定傅里葉級(jí)數(shù)擬合、三次多項(xiàng)式擬合和正弦函數(shù)之和擬合的3種方法最為優(yōu)越，但三者評(píng)價(jià)指數(shù)比較接近，因此需要通過(guò)流量當(dāng)量直徑dL與實(shí)際透氣率之間的擬合情況再一次比較上述3種模型的評(píng)估參數(shù)，從而確定其中最優(yōu)的一種模型，使該模型能最大程度地滿足2種孔隙直徑的計(jì)算方法。

利用2.2節(jié)所測(cè)量的流量當(dāng)量直徑dL與透氣率2組數(shù)據(jù)，在MatLab的工具箱中分別選用傅里葉級(jí)數(shù)擬合、三次多項(xiàng)式擬合和正弦函數(shù)之和這3種優(yōu)選的數(shù)據(jù)擬合方法，并統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)擬合后輸出的評(píng)估參數(shù)，結(jié)果如表3所示。

表3 3種優(yōu)選方法的參數(shù)對(duì)比Tab.3 Parameter comparison of three optimization methods

根據(jù)表3中4個(gè)評(píng)估參數(shù)值，同理可得傅里葉級(jí)數(shù)和多項(xiàng)式擬合這2種數(shù)學(xué)模型的擬合性能更優(yōu)。

3.2 2種數(shù)學(xué)模型的對(duì)比

多項(xiàng)式數(shù)學(xué)模型其原理是構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，在某個(gè)有效區(qū)域內(nèi)對(duì)有限個(gè)采樣點(diǎn)的函數(shù)值去逼近一個(gè)復(fù)雜或者未知的函數(shù)。為了更好地避免實(shí)驗(yàn)引起的一些誤差，可以采用最小二乘法來(lái)獲得一個(gè)光滑的曲線，觀察獲得數(shù)據(jù)的變化規(guī)律。根據(jù)實(shí)驗(yàn)所測(cè)量的數(shù)據(jù)，令y為織物透氣率，x為等速當(dāng)量直徑，組成觀測(cè)量{(xi,yi),i=0,1,…,n}，然后構(gòu)建一個(gè)m(m≤n)次的多項(xiàng)式，如式(5)所示。

P(x)=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1

(5)

式中：a為待定系數(shù)；x為等速當(dāng)量直徑，mm；m為多項(xiàng)式的最高次冪；P為織物透氣率的逼近值。

傅里葉級(jí)數(shù)的意義在于對(duì)某個(gè)未知的函數(shù)按一定的形式進(jìn)行分解，從而用正弦函數(shù)的幾種組合形式來(lái)正確表達(dá)，而微分運(yùn)算的本質(zhì)正是正弦基函數(shù)，因此求解線性微分方程可以用常數(shù)的代數(shù)來(lái)獲取，其計(jì)算如式(6)所示。

(6)

式中：T為一個(gè)周期；n為周期數(shù)；a為余弦的幅度；b為正弦的幅度；x為等速當(dāng)量直徑，mm；P為織物透氣率的逼近值。

利用2種數(shù)學(xué)模型對(duì)所測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，其誤差值為δi=P(xi)-yi，設(shè)定φ0,φ1,...,φm使其在有效區(qū)間內(nèi)不存在線性相關(guān)，使測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差平方和最小，其計(jì)算如(7)式所示。

(7)

式中：δ為誤差值；φ為選定的函數(shù)；P為織物透氣率的逼近值；y為織物透氣率。

3.3 擬合計(jì)算

在3.1中用不同模型進(jìn)行了2組評(píng)價(jià)參數(shù)比較，可以看出等速當(dāng)量直徑與流量當(dāng)量直徑作為數(shù)據(jù)輸入偏差很小，因此嘗試將實(shí)驗(yàn)所測(cè)量的織物的等速當(dāng)量直徑dh與織物透氣率Q作為數(shù)據(jù)輸入，繪制彼此之間的散點(diǎn)分布情況，再利用MatLab中的三次多項(xiàng)式擬合，三次多項(xiàng)式擬合曲線如圖1所示。

圖1 三次多項(xiàng)式擬合曲線Fig.1 Fitting cubic polynomial curve

所得三次多項(xiàng)式數(shù)學(xué)模型如下：

(8)

該模型評(píng)估參數(shù)SSE為3.793×105；R-square為0.982 0；Adjusted R-square為0.977 5；RMSE為177.8。

同理，根據(jù)散點(diǎn)分布情況，利用MatLab對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)擬合，展開(kāi)式n取值從2至5進(jìn)行，且當(dāng)n大于等于6時(shí)，模型已不成立，然后比較各項(xiàng)式的評(píng)價(jià)參數(shù)，最終得到當(dāng)n=2時(shí)所呈現(xiàn)的擬合曲線最為光滑，誤差平方和SSE最小，如圖2所示。

圖2 傅里葉級(jí)數(shù)擬合曲線Fig.2 Fourier series fitting curve

傅里葉級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)模型如下：

(9)

該模型評(píng)估參數(shù)SSE為3.684×105；R-square為

0.982 5；Adjusted R-square為0.973 8；RMSE為191.9。

散點(diǎn)的分布在圖1、2上差異非常小，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的等速當(dāng)量直徑dh和透氣率之間的散點(diǎn)分布圖擬合分析，可以清楚地看到其變化規(guī)律：當(dāng)孔徑值在0.11 mm以下時(shí)，織物的透氣率隨孔徑的增大緩慢增加；當(dāng)孔徑在0.11～0.16 mm之間時(shí)，透氣率隨孔徑的增大無(wú)明顯變化；而當(dāng)孔徑值超過(guò)0.16 mm并不斷增大時(shí)，透氣率也迅速增大。

4 模型檢驗(yàn)

重新選取5塊不同織物(記為面料A～E)分別進(jìn)行透氣率的測(cè)定，然后根據(jù)擬合所得的2種數(shù)學(xué)模型進(jìn)行織物的透氣率預(yù)測(cè)，再參照(2)式和(4)式計(jì)算織物間隙孔直徑dh和dL，分別代入式(8)(9)計(jì)算其透氣率，以驗(yàn)證2種模型的正確性及可行性，5種驗(yàn)證織物的結(jié)構(gòu)參數(shù)及測(cè)量值見(jiàn)表4。

表4 5種驗(yàn)證織物的結(jié)構(gòu)參數(shù)及測(cè)量值Tab.4 Structural parameters and measured values of five kinds of verification fabrics

將2種模型預(yù)測(cè)的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值進(jìn)行相關(guān)性分析，驗(yàn)證所得的預(yù)測(cè)值是否準(zhǔn)確可靠。結(jié)果表明三次多項(xiàng)式模型的相關(guān)系數(shù)為0.982 0，其誤差范圍在4.02%～10.25%，平均誤差為7.40%；而傅里葉級(jí)數(shù)模型的相關(guān)系數(shù)為0.982 5，其誤差范圍在2.60%～11.21%，平均誤差為7.06%，即傅里葉級(jí)數(shù)的二次展開(kāi)模型相對(duì)更優(yōu)。

5 結(jié) 論

對(duì)16種常見(jiàn)織物的結(jié)構(gòu)參數(shù)和透氣性進(jìn)行實(shí)際測(cè)量，基于MatLab中的曲線模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，分別用不同的數(shù)學(xué)模型對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)分析，以輸入與輸出誤差的平方和(SSE)、多重測(cè)定系數(shù)(R-square)、自由度調(diào)整測(cè)定系數(shù)(Adjusted R-square)和均方根誤差(RMSE)為模型的評(píng)價(jià)依據(jù)，同時(shí)利用5種織物進(jìn)行驗(yàn)證分析。最終確定傅里葉級(jí)數(shù)的二次展開(kāi)模型為最佳，該模型計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之間相關(guān)系數(shù)均達(dá)到0.98以上，預(yù)測(cè)誤差范圍為2.60%～11.21%，平均誤差為7.06%。

傅里葉級(jí)數(shù)模型可用于分析織物透氣性、紗線線密度及表觀直徑之間的函數(shù)關(guān)系，該方法有一定的可行性，可為面料的生產(chǎn)和使用提供參考。