重慶市萬州區(qū)教師進修學院(404120) 張世凡

重慶市萬州上海中學(404120) 莫益梅

數(shù)學教育家波利亞認為“一個有責任心的教師與其窮于應付煩瑣的數(shù)學內(nèi)容和過量的題目,還不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發(fā)掘題目的各個方面,在指導學生解題過程中,提高他們的才智與推理能力[1].”高考命題關注數(shù)學學習過程中思維品質(zhì)的形成,關注學生會學數(shù)學的能力.高考題是命題專家深入研究的成果,對教學具有積極的引導作用,深入剖析高考真題對教學活動中教師的教與學生的學具有重要理論和現(xiàn)實意義.基于上述理念,從多層次、廣視角探究2021年全國新高考Ⅱ卷第20題來引導解析幾何的教學.

1 真題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程;

(2)設M,N是C上兩點,直線MN與曲線x2+y2=b2(x＞0)相切,證明:M,N,F三點共線的充要條件是

2 解法探究

2.1 第(1)問思路分析

問題(1)屬于基礎性問題,建立基本量之間的方程即可求解.

2.2 第(2)問思路分析

問題(2)是在直線與半圓相切的條件下研究直線與橢圓相交的弦長問題.分析該問發(fā)現(xiàn)有四個核心數(shù)學概念:“直線與圓相切(直線MN與曲線x2+y2=b2(x＞0)相切)”“M,N,F三點共線”“充要條件”“弦長|MN|=梳理這四個核心概念,提煉出解題的三個關鍵點:一是“相切、共線、弦長”核心概念由文字語言的表述向數(shù)學符號語言的轉化;二是直線方程的設法;三是命題充要性的證明方法.我們沿著這條思路從5個方面對該問進行一題多解,“相切、共線、充要條件”核心概念的轉化方式相對固定,多解主要體現(xiàn)在直線方程的設法、弦長公式的選擇和二級結論的使用.

2.2.1 直線方程設為橫縱截距式,先求弦長,再證充分必要性

圖1

解(2)設縱截距式:y=kx+n.

若直線MN的斜率k不存在,直線MN與曲線x2+y2=1(x＞0)相切,所以x=1,顯然直線MN不過F點,不符題意.

若直線MN的斜率k存在,設方程為y=kx+n,與橢圓相交于M(x1,y1),N(x2,y2),如圖2所示.

圖2

評注(1)兩種思路沒有本質(zhì)上的差異,區(qū)別僅體現(xiàn)在直線方程的設法上.橫截距式x=my+n不能表示斜率為零的直線,縱截距式y(tǒng)=kx+n不能表示斜率不存在的直線.已知直線MN不與y軸垂直,設橫截距式x=my+n無需討論斜率特殊情況;設縱截距式y(tǒng)=kx+n是學生常見設法,但是學生容易漏解k不存在的情況.一般情況下,直線包含斜率為零時選擇縱截距式,包含斜率不存在時選擇橫截距式,可以避免分類討論;直線過x軸的定點時選擇橫截距式,過y的定點時選擇縱截距式可以簡化運算.

思路分析由命題充要性的定義可知是充分性和必要性均成立,問題(2)可以分別對充分性、必要性進行證明.

圖3

圖4

評注(1)結合命題充要性的教學,此思路在作答過程中被大多數(shù)學生采納.一是條件清晰,結論明確,符合學生的邏輯思維和作答習慣;二是有助于學生分步得分,特別是必要性的證明過程中直線方程只含一個參數(shù),計算量少,易得分.但是從完整性看,在證明充分性和必要性時都設了直線方程并聯(lián)立方程求出弦長,做了大量重復的工作,增加了運算量.

2.2.3 直線方程設為過圓上切點的切線式

思路分析由問題(2)的條件可知曲線x2+y2=b2(x＞0)為單位圓的右半圓,直線與單位圓相切,切線方程可以設為x0x+y0y=1(y00),避免討論直線斜率不存在的情況.

解設直線MN與圓相切的切點坐標為(x0,y0),有+=1,切線方程為x0x+y0y=1(y00),直線MN與橢圓相交于M(x1,y1),N(x2,y2),如圖6所示.

圖6

由

評注(1)利用過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.避免建立圓心到直線的距離等于半徑的方程,避免討論直線斜率不存在的情況.

(2)半圓x2+y2=1(x＞0)上切點P(x0,y0)也可以設為(cosα,sinα),其解法思路一致.

(3)思路與解法一相同,僅直線方程的設法有區(qū)別,說明在一題多解的情況下,有些多解僅是形式上發(fā)生改變,解決問題的本質(zhì)沒有發(fā)生變化,所以抓住問題的核心、內(nèi)容的本質(zhì)是教學中需要關注的重點.

2.2.4 直線方程設為參數(shù)方程

評注(1)隨著新課改進程的推進,中學新教材中用參數(shù)方程表示直線的內(nèi)容有所減少.2004實驗版教材把參數(shù)方程列入選修部分,教材對這部分的內(nèi)容的要求也不太高,教學課時也進行了適當?shù)膲嚎s.2019年版新教材把參數(shù)方程放在選擇性必修第一冊P68-69探究與發(fā)現(xiàn)“方向向量與直線的參數(shù)方程”,作為學生自學內(nèi)容.

(2)基于上述原因,用直線的參教方程來解題逐漸被部分中學數(shù)學教師忽視.但是,根據(jù)筆者多年的教學經(jīng)驗來看,用直線的參數(shù)方程可以優(yōu)化解題,例如,在解決某類直線與圓錐曲線位置關系問題時,直線的參數(shù)方程更能突顯出它的特質(zhì),更具靈活性和深刻性,比起一些常規(guī)的解題方法,直線的參數(shù)方程解題的優(yōu)勢更能收到好的教學效果.

(3)易錯點是參數(shù)t的幾何意義的應用,關鍵點是尋找弦長|MN|=中的x0,θ間的關系.

2.2.5 等價轉化利用二級結論

思路分析設直線MN與曲線x2+y2=b2(x＞0)相切的切點為T,由題意知點T在線段MN上(不含端點),即|MT|+|NT|=|MN|,焦點F在橢圓內(nèi),則M,N,F三點共線?|MN|=|MF|+|NF|,如圖8所示.

圖8

(2)高考解析幾何試題注重基礎性與綜合性,關注學生思維品質(zhì)的形成,關注學生會學數(shù)學的能力,在高考中發(fā)揮數(shù)學的人才選拔功能.在圓錐曲線綜合性較強的題型中有意識地補充一些知識能提高解題速度,開拓學生的視野,提高學生思維廣度和思維深度,供學有余力的學生學習,同時注重了分層教學、因材施教,實現(xiàn)課標(2017年版)基本理念:人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展[2].

3 反思“三會”

3.1 會用數(shù)學的眼光看題

解析幾何在高考中占據(jù)重要地位,本題屬于直線與圓錐曲線相交模型問題.題雖然在教材外,但問題中的基本概念、解決問題的基本方法根基于教材.將題目條件逐一分解,題中出現(xiàn)的橢圓的標準方程=1(a＞b＞0)、焦點、離心率直線與圓相切、三點共線、充要條件、弦長等關鍵信息都是教材中基礎且核心的概念.解析幾何綜合性大題中常伴隨直線設法,直線的設法影響解題的運算量和作答的技巧性,根據(jù)題設條件靈活選擇直線方程斜截式(縱截距式、橫截距式)、點斜式、截距式、參數(shù)方程等對建立對應數(shù)學關系式至關重要.

如果學生熟練掌握這些基本概念和解決問題的基本方法,那么問題將迎刃而解.聯(lián)想基礎知識,整合已知條件,分析求解問題,尋求達到目標的手段,或者想出能借以達到目的的步驟,正如法國物理學家馬略特說人類的大腦像一個大口袋:你思考時就像在搖這個口袋,直到從里面倒出某些東西為止[3].

3.2 會用數(shù)學的思維想題

解決第(2)問,關鍵是要會用數(shù)學的思維對問題進行分析,抓住“直線與圓相切(直線MN與曲線x2+y2=b2(x＞0)相切)”,“M,N,F三點共線”、“充要條件”、“弦長|MN|=四個核心概念,發(fā)現(xiàn)其內(nèi)涵與本質(zhì),并用恰當?shù)臄?shù)學語言進行表達.

題中涉及的曲線x2+y2=b2(x＞0)具有通性,是以原點為圓心,以橢圓短半軸長為半徑的半圓.以這個半圓為出發(fā)點,圍繞著直線與其相切,對問題進行追根溯源,對此條件下直線與圓錐曲線的性質(zhì)進行探索.如:橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點F1(c,0),左焦點為F2(?c,0),過曲線O:x2+y2=b2(x＞0)上的任意一點T作曲線O的切線,交橢圓O于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,則|MT|+|MF1|=a,|NT|+|NF1|=a;|MN|+|MF1|+|NF1|=2a;|MF2|+|NF2|?MN=2a[4].

本題第(2)問易錯點有三個:一是充分性、必要性概念不清,證明充要性過程中學生采用分類證明充分性、必要性時將題設條件顛倒;二是設直線為點斜式或斜截式在證明過程中漏掉斜率不存在的討論;三是循環(huán)論證,在證明充分性若則M,N,F三點共線時,用必要性中求得的弦長結論來充當充分性的條件證明三點共線.

3.3 會用數(shù)學的思想品題

本題以解析幾何中的直線、圓和橢圓為背景,聚焦學生對核心數(shù)學概念、重要思想方法的理解和應用,關注學生的數(shù)學能力和數(shù)學學科核心素養(yǎng),突出高考命題的基礎性與綜合性.從知識角度考查學生對直線方程、圓的方程、橢圓方程以及橢圓的基本性質(zhì)等基礎知識的掌握與理解;直線與圓相切和直線與橢圓相交的位置關系;簡易邏輯命題的充要條件.從思想和方法角度考查了數(shù)形結合、分類討論、方程、化歸等數(shù)學思想.從能力的角度考查學生分析問題和解決問題的能力、邏輯推理能力、數(shù)學運算等能力.從學科素養(yǎng)角度考查學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等學科素養(yǎng).

4 結束語

高考解析幾何的命題注重知識之間的滲透融合,注重數(shù)學本質(zhì)與通性通法,強調(diào)基礎性與綜合性,發(fā)揮數(shù)學高考的人才選拔功能.教材是高考命題的核心資料,是命題的依據(jù),考題千變?nèi)f化,但所考查的內(nèi)容萬變不離其中.這啟示我們在教學過程中要強化基本知識、基本方法,熟練掌握通性通法,融會貫通,用熟練的基本知識基本方法解決千變?nèi)f化的數(shù)學問題.透過現(xiàn)象,抓住解析幾何的本質(zhì),落實數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等數(shù)學學科核心素養(yǎng).