朱 亞 張慶磊 周巧根

1（中國(guó)科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 上海 201800）

2（中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

3（中國(guó)科學(xué)院上海高等研究院 上海 201204）

目前，世界上第三代同步輻射光源的束流發(fā)射度大多在1~5 nm·rad 范圍內(nèi)［1-3］。與現(xiàn)有同步輻射光源相比，衍射極限環(huán)具有更低的束流發(fā)射度、更高的亮度和更好的橫向相干性。衍射極限環(huán)最重要的特征是束流發(fā)射度接近衍射極限［4-5］。衍射極限環(huán)以其優(yōu)異的性能成為下一代同步輻射光源的發(fā)展方向之一。四極磁鐵作為加速器中的強(qiáng)聚焦元件，為了實(shí)現(xiàn)衍射極限環(huán)超低束流發(fā)射度的要求，需要大幅度提高其磁場(chǎng)梯度。與上海光源儲(chǔ)存環(huán)中的四極磁鐵相比，衍射極限環(huán)的四極磁鐵磁場(chǎng)梯度應(yīng)至少增加4~5 倍（約100 T·m-1）［6-7］。高梯度四極磁鐵的技術(shù)研究對(duì)于低發(fā)射度的衍射極限環(huán)的發(fā)展有重要意義。

目前，國(guó)內(nèi)外已發(fā)展了各種類型的高梯度四極磁鐵。 例如，歐洲同步輻射光源（European Synchrotron Radiation Facility，ESRF）中四極磁鐵的最大梯度約為90 T·m-1，孔半徑為12.7 mm。該四極磁鐵的磁效率僅為80%［8］；德國(guó)電子同步加速器（Deutsches Elektronen Synchrotron，DESY）開(kāi)發(fā)的高梯度四極磁鐵，孔半徑為10 mm，采用不同的鐵芯材料，磁場(chǎng)梯度可以達(dá)到120~150 T·m-1。當(dāng)鐵芯材料為HeraSteel 時(shí)，該四極磁鐵的梯度可達(dá)150 T·m-1，但其磁效率僅為54%［9］；我國(guó)北方光源研制的四極磁鐵最大梯度約為90 T·m-1，孔半徑為12.5 mm，鐵芯材料為鈷釩鐵［10］；合肥先進(jìn)光源設(shè)計(jì)了高梯度四極磁鐵，磁場(chǎng)梯度約為80 T·m-1，極間距為10 mm［11］。這些國(guó)內(nèi)外研制的高梯度四極磁鐵大多采用盡量小的孔徑，盡可能大的安匝數(shù)（Ampere Turn，AT），以及采用磁導(dǎo)率更高的材料替代純鐵以提高磁效率。本文主要研究和設(shè)計(jì)了一種采用新型磁路的高梯度四極磁鐵，其參數(shù)如表1所示。

表1 新型高梯度四極磁鐵物理參數(shù)Table 1 Parameters of the high gradient quadrupole magnet

1 磁路設(shè)計(jì)

根據(jù)安培環(huán)路定理，如圖1所示，推導(dǎo)出四極磁鐵的磁場(chǎng)梯度方程（式（1）），其中：G是磁場(chǎng)梯度；NI/pole 是每極的安匝數(shù)；R是孔半徑；μ是磁導(dǎo)率；η是磁效率［12］。

圖1 四極鐵中安培環(huán)路示意圖Fig.1 Schematic diagram of ampere loop in quadrupole magnets

根據(jù)式（2）可以看出，四極磁鐵的磁場(chǎng)梯度取決于磁鐵的孔徑、單極安匝數(shù)和磁效率。由于真空室加工工藝、同步輻射光引出的空間需求以及磁鐵好場(chǎng)區(qū)要求等限制，四極磁鐵的孔徑不能很小。由于冷卻水溫度和磁鐵安裝空間的限制，每極的安匝數(shù)也不能無(wú)限增加。而且，由于鐵芯材料的磁化特性，磁場(chǎng)也不會(huì)隨安匝數(shù)增大無(wú)限提高。高梯度四極磁鐵的磁極通常處于高磁飽和狀態(tài)，磁效率通常較低，提高磁效率可以成為提高磁場(chǎng)梯度的有效途徑之一。本文研究了一種新型的磁路來(lái)提升高梯度高飽和四極磁鐵的磁效率，從而進(jìn)一步提高磁場(chǎng)梯度。

通過(guò)在四極磁鐵相鄰磁極之間安裝永磁鐵（Permanent Magnets，PM），形成了一種新型磁路。當(dāng)永磁鐵安裝在極面附近時(shí)，永磁鐵的磁場(chǎng)將影響原來(lái)的磁路。如圖2 所示，從飽和磁極處逸出的磁力線將通過(guò)永磁鐵的磁場(chǎng)返回磁極面，從而增加磁極面上的磁場(chǎng)強(qiáng)度。根據(jù)式（3），由于磁極表面的磁場(chǎng)強(qiáng)度增加，而每個(gè)磁極的安培數(shù)保持不變，因此磁效率提高。當(dāng)磁極飽和時(shí)，安裝永磁鐵相當(dāng)于提供一個(gè)特殊的磁路。當(dāng)磁極不飽和時(shí)，永磁鐵基本不起作用。這種新型四極鐵磁路可以進(jìn)一步提高飽和四極磁鐵的磁效率和磁場(chǎng)梯度（本文模擬的永磁鐵參數(shù)均為Hc=-11 700 Gs和Br=12 500 Gs）。

圖2 四極鐵極頭兩側(cè)安裝永磁塊前(a)、后(b)Poisson計(jì)算結(jié)果圖Fig.2 Poisson calculation results of before(a)and after(b)the permanent magnets installed on both sides of the pole face

采用Poisson 程序研究在磁極兩側(cè)安裝了永磁鐵和沒(méi)有安裝永磁鐵的四極磁鐵在不同極安匝數(shù)下的磁場(chǎng)梯度。兩個(gè)四極磁鐵均為孔半徑11 mm的同一磁芯，結(jié)果如圖3 所示。非飽和狀態(tài)下的梯度值與安匝數(shù)成正比，永磁鐵對(duì)磁場(chǎng)梯度幾乎沒(méi)有影響。由于材料的磁化特性，當(dāng)安匝數(shù)增加到足夠大時(shí)，磁極趨于飽和，磁場(chǎng)梯度不再上升，這時(shí)在磁極兩側(cè)安裝永磁鐵可以進(jìn)一步提高磁場(chǎng)梯度。未安裝永磁鐵的四極磁鐵在安匝數(shù)達(dá)到8 000 后，其梯度達(dá)到100 T·m-1左右，基本上不再上升，磁效率約為60%。當(dāng)安匝數(shù)達(dá)到5 300時(shí)，裝有永磁鐵的四極磁鐵的梯度將達(dá)到100 T·m-1左右，磁效率約為91%。由結(jié)果可見(jiàn)，磁場(chǎng)梯度達(dá)到100 T·m-1時(shí)，采用新型磁路的四極磁鐵磁效率更高，所需的安匝數(shù)更小，運(yùn)行成本更低。

圖3 不同安匝數(shù)下磁場(chǎng)梯度變化曲線Fig.3 Curves of magnetic field gradient in different Ampereturns

通過(guò)Poisson計(jì)算并比較了三種四極磁鐵（孔半徑分別為10 mm、12.5 mm 和15 mm）在相同安匝數(shù)（5 300）下的磁場(chǎng)梯度和磁效率，如表2 所示。由仿真結(jié)果可見(jiàn)，在磁極兩側(cè)安裝永磁鐵可以提高磁效率。磁場(chǎng)飽和程度越高，磁效率的提高越明顯。以上研究結(jié)果表明：這種新型磁路能明顯提升高梯度高磁飽和四極磁鐵的磁效率和磁場(chǎng)梯度。

表2 不同孔徑下磁場(chǎng)梯度和磁效率對(duì)比Table 2 Gradient and efficiency of three radiuses with/without installing permanent magnets

2 場(chǎng)誤差模擬計(jì)算

磁鐵的磁場(chǎng)質(zhì)量主要由設(shè)計(jì)、加工和裝配誤差等決定。磁場(chǎng)的高階分量是衡量磁鐵磁場(chǎng)質(zhì)量的關(guān)鍵指標(biāo)。磁場(chǎng)的高階分量系數(shù)分為兩部分：系統(tǒng)誤差和非系統(tǒng)誤差［13］。系統(tǒng)誤差是由理想磁鐵的對(duì)稱性決定。對(duì)于四極磁鐵，系統(tǒng)誤差對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)高階分量為B6、B10、B14等。通過(guò)合理的設(shè)計(jì)，可以有效降低好場(chǎng)區(qū)范圍內(nèi)的系統(tǒng)誤差。極面優(yōu)化和端部削斜是磁場(chǎng)質(zhì)量?jī)?yōu)化的兩種常規(guī)方法。非系統(tǒng)誤差主要是加工誤差和裝配誤差產(chǎn)生的磁場(chǎng)高階分量。

雖然永磁鐵的安裝可以有效提高四極鐵的磁效率及磁場(chǎng)梯度，但它們也可能會(huì)對(duì)磁場(chǎng)的質(zhì)量產(chǎn)生影響。需要對(duì)永磁鐵的安裝對(duì)四極鐵磁場(chǎng)質(zhì)量的影響進(jìn)行研究。根據(jù)該新型高梯度四極磁鐵的要求，其磁極間隙為10 mm，好場(chǎng)區(qū)半徑為5 mm，磁場(chǎng)高階分量小于5×10-4。

2.1 二維磁場(chǎng)優(yōu)化

在四極鐵的二維橫截面中，初始狀態(tài)下磁極面形狀是標(biāo)準(zhǔn)雙曲線的一部分。孔半徑為11 mm，相鄰磁極間的間隙為10 mm。在磁極面兩側(cè)添加永磁鐵降低了磁極處磁場(chǎng)的飽和程度，對(duì)磁場(chǎng)質(zhì)量會(huì)有一定的影響。通過(guò)Poisson程序計(jì)算出半徑為5 mm時(shí)磁場(chǎng)高階分量，如表3所示。可以看出，最大高階分量約為-2×10-3，不能滿足要求。安裝永磁鐵后，高階分量與未安裝永磁鐵狀態(tài)下的高階分量相比變化不大。

表3 初始狀態(tài)下未安裝和安裝永磁塊的四極鐵高階分量系數(shù)Table 3 Multipole components of primary condition with and without installing permanent magnets

經(jīng)過(guò)磁極面優(yōu)化［14］后，最終獲得優(yōu)化后磁極面坐標(biāo)，如圖4 所示。優(yōu)化后的計(jì)算結(jié)果如表4 所示，在5 mm 半徑處高階分量小于2×10-4，滿足設(shè)計(jì)要求。極面優(yōu)化后，安裝永磁鐵的四極磁鐵的高階分量略小于未安裝永磁鐵的四極磁鐵。如果安裝在磁極兩側(cè)的永磁鐵的性能基本相同，則安裝永磁鐵后的磁場(chǎng)質(zhì)量基本相同或更好。通過(guò)對(duì)永磁塊進(jìn)行排序優(yōu)化，可以保證安裝在磁極兩側(cè)的永磁鐵的總體性能基本相同。所以通常對(duì)于高飽和高梯度四極磁鐵，永磁鐵的安裝對(duì)二維橫截面上系統(tǒng)性磁場(chǎng)高階誤差影響很小。

表4 優(yōu)化后未安裝和安裝永磁塊的四極鐵高階分量系數(shù)Table 4 Multipole components with and without installing permanent magnets after pole face optimization

圖4 優(yōu)化后磁極面坐標(biāo)Fig.4 Coordinates of pole face after optimization

2.2 永磁塊剩磁誤差和安裝誤差對(duì)磁場(chǎng)質(zhì)量的影響

利用Poisson 軟件模擬研究永磁塊的剩磁誤差和安裝誤差對(duì)四極磁鐵的磁場(chǎng)高階分量的影響。理想情況下，4 個(gè)磁極兩側(cè)永磁塊的總磁矩以及位置具有對(duì)稱性。如果其中一組永磁塊的剩磁或位置發(fā)生變化，將產(chǎn)生磁場(chǎng)的非系統(tǒng)誤差。

假設(shè)其中一組永磁塊的剩磁減小了5%，計(jì)算得到永磁塊剩磁的不一致導(dǎo)致各個(gè)高階分量系數(shù)的變化如圖5所示。結(jié)果表明：永磁塊剩磁的誤差在5%時(shí)，n=3階及以上bn的最大變化量為0.2×10-5，an的最大變化量約為2×10-5，比磁場(chǎng)高階分量要求小一個(gè)量級(jí)。n=1 階的變化較大，會(huì)導(dǎo)致磁中心偏移約1.36 μm。

假設(shè)其中一組永磁塊的位置改變了0.1 mm，模擬計(jì)算得到永磁塊安裝誤差導(dǎo)致各個(gè)高階分量系數(shù)的變化如圖5 所示。結(jié)果顯示：永磁塊的位置誤差為0.1 mm 時(shí)，n=3 階及以上bn的最大變化量為4×10-5，an的最大變化量約為3×10-5，遠(yuǎn)小于磁場(chǎng)高階分量要求，磁中心偏移約2.21 μm。

圖5 永磁塊剩磁誤差和安裝誤差導(dǎo)致高階分量系數(shù)的變化量Fig.5 Changes of high-order component coefficient of multipole components caused by remanence error and installation error of the permanent magnets

根據(jù)模擬結(jié)果可以認(rèn)為永磁塊剩磁誤差在5%以內(nèi)、安裝誤差小于0.1 mm 時(shí)，永磁塊的剩磁誤差和安裝誤差對(duì)磁場(chǎng)質(zhì)量基本沒(méi)有影響。按照目前的加工和安裝工藝水平，永磁塊的剩磁誤差一般遠(yuǎn)小于5%，磁塊的安裝可以通過(guò)安裝定位板等機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以保證安裝精度在0.1 mm以下。

2.3 三維場(chǎng)端部效應(yīng)及其補(bǔ)償

通過(guò)OPERA 進(jìn)行了三維模型的計(jì)算和研究。該新型四極磁鐵的鐵芯長(zhǎng)度為200 mm。根據(jù)優(yōu)化后的二維坐標(biāo)，建立了該四極磁鐵的1/8 模型，如圖6 所示。計(jì)算模型的單極安匝數(shù)為5 300，利用三維模型計(jì)算磁場(chǎng)積分場(chǎng)的高階分量，計(jì)算在半徑5 mm處，長(zhǎng)度為400 mm的磁場(chǎng)積分結(jié)果。通過(guò)傅里葉變換可以得到磁場(chǎng)的高階分量，如表4 所示。磁場(chǎng)高階場(chǎng)誤差均小于要求（5×10-4），但由于端部磁場(chǎng)的影響，高階分量B6L/B2L的值相對(duì)于二維平面模擬的B6/B2的值增大了。

對(duì)于三維模型，系統(tǒng)性高階誤差還可以通過(guò)端部削斜［15］來(lái)優(yōu)化。通過(guò)優(yōu)化計(jì)算，對(duì)于該四極磁鐵，當(dāng)角度約為30°、倒角深度約為6 mm時(shí)，磁場(chǎng)高階分量最小。優(yōu)化后磁場(chǎng)高階分量如表5所示。結(jié)果表明：永磁鐵的安裝對(duì)三維磁場(chǎng)高階分量的影響不大，并且通過(guò)削斜依然可以有效降低系統(tǒng)性高階分量。

表5 三維模型計(jì)算的高階分量系數(shù)Table 5 Multipole components in 3D

3 結(jié)語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一種新型高梯度四極磁鐵，采用新型磁路，即在四極磁鐵磁極兩側(cè)安裝永磁鐵，增大了磁場(chǎng)的最大梯度。該高梯度四極磁鐵孔徑為22 mm，相鄰磁極間的間隙為10 mm。當(dāng)單極安匝數(shù)約為5 300 時(shí)，梯度可達(dá)100 T·m-1，磁效率約達(dá)到91%；永磁鐵的安裝合理利用了鐵芯中心的空間，不會(huì)影響真空室的安裝；以現(xiàn)有的工藝水平，永磁塊的剩磁誤差和安裝誤差都在可控的范圍內(nèi)，通過(guò)優(yōu)化排序安裝在磁極兩側(cè)的永磁鐵的性能將基本相同，永磁鐵的安裝對(duì)磁場(chǎng)質(zhì)量幾乎沒(méi)有影響，對(duì)磁鐵的好場(chǎng)區(qū)大小也幾乎沒(méi)有影響。綜上所述，該新型四極磁鐵的設(shè)計(jì)為今后高梯度四極磁鐵的設(shè)計(jì)提供了一個(gè)可行且有效的解決方案。

作者貢獻(xiàn)聲明朱亞：負(fù)責(zé)仿真模擬和數(shù)據(jù)分析整理，起草論文并完成后續(xù)修訂；張慶磊：負(fù)責(zé)獲取研究資金，指導(dǎo)論文寫(xiě)作；周巧根：指導(dǎo)仿真與實(shí)驗(yàn)，指導(dǎo)并協(xié)助論文寫(xiě)作與修改。