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      換元法解方程

      2022-07-24 09:50:45徐連升
      數(shù)理天地(初中版) 2022年7期
      關(guān)鍵詞:因式解方程元法

      徐連升

      例1 設(shè)a,b是整數(shù),且234-b34-a32+1=34+1,求a,b的值.

      解 設(shè)32=x,則

      34=x2,38=x3,232=x4,

      所以原方程化為

      2x2-bx2-ax+1=x2+1,

      整理得(x2-ax+1)(x2+1)=2x2-b,

      所以x4-ax3-ax+b+1=0,

      即232-2a-32a+b+1=0,

      (2-a)32+(b-2a+1)=0.

      因為a,b是整數(shù),所以

      2-a=0,b-2a+1=0,解得a=2,b=3.

      例2 解方程:497-x+4x=5.

      解 設(shè)497-x=m,4x=n,則

      m+n=5,m4+n4=97.

      因為m4+n4=(m2+n2)2-2m2n2=97,

      [(m+n)2-2mn]2-2m2n2=97,

      即(25-2mn)2-2m2n2=97,

      625-100mn+2m2n2=97,

      所以m2n2-50mn+264=0,

      分解因式得 (mn-6)(mn-44)=0.

      所以mn=6或mn=44.

      所以mn=6,m+n=5,或mn=44,m+n=5,

      解mn=6,m+n=5,得 a=2,b=3,或a=3,b=2.

      mn=44,m+n=5,無實數(shù)解,舍去.

      所以497-x=2,或497-x=3,

      所以x=16或x=81,

      經(jīng)檢驗,x=16或x=81都是原方程的根.

      例3 解方程:(4+15)x+(4-15)x=8.

      解 設(shè)(4+15)x=t,則

      (4-15)x=1t,

      原方程化為t+1t=8,

      t2-8t+1=0,

      解得t=8±602=4±15,

      當(dāng)t=4+15時,(4+15)x=4+15,x=1;

      當(dāng)t=4-15時,(4+15)x=4-15,x=-1.

      經(jīng)檢驗,x=±1都是原方程的根.

      例4 解方程:x2+5x+69x2-5x-6=x2-4x+159x2+4x-15.

      解 設(shè)5x+6=m,4x-15=n,則原方程化為

      x2+m9x2-m=x2-n9x2+n,

      去分母得

      (x2+m)(9x2+n)=(x2-n)(9x2-m),

      整理得10x2(m+n)=0,

      所以10x2=0或m+n=9x-9=0,

      解得x=0,或x=1.

      經(jīng)檢驗,x=0或x=1都是原方程的根.

      例5 解方程:(x+5)4+(x+3)4=82.

      解 設(shè)x+4=a,則有

      (a+1)4+(a-1)4=82,

      (a2+2a+1)2+(a2-2a+1)2=82,

      令a2+1=t,則有

      (t+2a)2+(t-2a)2=82,

      t2+4at+4a2+t2-4at+4a2=82,

      t2+4a2=41,

      (a2+1)2+4a2=41,

      a4+6a2-40=0,

      (a2+10)(a2-4)=0,

      因為a2+10>0,

      所以a2-4=0,a=±2.

      當(dāng)x+4=2時,x=-2;

      當(dāng)x+4=-2時,x=-6.

      例6 解方程:13x-x2x+1x+13-xx+1=42.

      解 設(shè)13-xx+1=y,則原方程化為

      xy(x+y)=42.

      又由13-xx+1=y,得 xy+(x+y)=13,

      所以xy與x+y是一元二次方程t2-13t+42=0的兩個實數(shù)根,解得t1=6,t2=7.

      所以x+y=7,xy=6,或x+y=6,xy=7.

      所以x,y是一元二次方程m2-7m+6=0或n2-6n+7=0的兩個實數(shù)根,

      解得m1=1,m2=6,

      n1=3+2,n2=3-2.

      進(jìn)而可求得x1=1,x2=6,

      x3=3+2,x4=3-2.

      經(jīng)檢驗,x1,x2,x3,x4是原方程的根.

      例7 解方程:3+9+x=3x.

      解 令9+x=y,則x=y2-9,

      原方程化為3+y=3y2-9,

      方程兩邊同6次方,得(3+y)3=(y2-9)2,

      整理,得(y+3)2(y2-7y+6)=0,

      (y+3)2(y-1)(y-6)=0,

      從而有y=-3,或y=1,或y=6.

      當(dāng)y=-3時,9+x=-3,不合題意,舍去;

      當(dāng)y=1時,9+x=1,x=-6,不合題意,舍去;

      當(dāng)y=6時,9+x=6,x=27,符合題意.

      所以x=27是原方程的根.

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