徐連升
例1 設(shè)a,b是整數(shù),且234-b34-a32+1=34+1,求a,b的值.
解 設(shè)32=x,則
34=x2,38=x3,232=x4,
所以原方程化為
2x2-bx2-ax+1=x2+1,
整理得(x2-ax+1)(x2+1)=2x2-b,
所以x4-ax3-ax+b+1=0,
即232-2a-32a+b+1=0,
(2-a)32+(b-2a+1)=0.
因為a,b是整數(shù),所以
2-a=0,b-2a+1=0,解得a=2,b=3.
例2 解方程:497-x+4x=5.
解 設(shè)497-x=m,4x=n,則
m+n=5,m4+n4=97.
因為m4+n4=(m2+n2)2-2m2n2=97,
[(m+n)2-2mn]2-2m2n2=97,
即(25-2mn)2-2m2n2=97,
625-100mn+2m2n2=97,
所以m2n2-50mn+264=0,
分解因式得 (mn-6)(mn-44)=0.
所以mn=6或mn=44.
所以mn=6,m+n=5,或mn=44,m+n=5,
解mn=6,m+n=5,得 a=2,b=3,或a=3,b=2.
mn=44,m+n=5,無實數(shù)解,舍去.
所以497-x=2,或497-x=3,
所以x=16或x=81,
經(jīng)檢驗,x=16或x=81都是原方程的根.
例3 解方程:(4+15)x+(4-15)x=8.
解 設(shè)(4+15)x=t,則
(4-15)x=1t,
原方程化為t+1t=8,
t2-8t+1=0,
解得t=8±602=4±15,
當(dāng)t=4+15時,(4+15)x=4+15,x=1;
當(dāng)t=4-15時,(4+15)x=4-15,x=-1.
經(jīng)檢驗,x=±1都是原方程的根.
例4 解方程:x2+5x+69x2-5x-6=x2-4x+159x2+4x-15.
解 設(shè)5x+6=m,4x-15=n,則原方程化為
x2+m9x2-m=x2-n9x2+n,
去分母得
(x2+m)(9x2+n)=(x2-n)(9x2-m),
整理得10x2(m+n)=0,
所以10x2=0或m+n=9x-9=0,
解得x=0,或x=1.
經(jīng)檢驗,x=0或x=1都是原方程的根.
例5 解方程:(x+5)4+(x+3)4=82.
解 設(shè)x+4=a,則有
(a+1)4+(a-1)4=82,
(a2+2a+1)2+(a2-2a+1)2=82,
令a2+1=t,則有
(t+2a)2+(t-2a)2=82,
t2+4at+4a2+t2-4at+4a2=82,
t2+4a2=41,
(a2+1)2+4a2=41,
a4+6a2-40=0,
(a2+10)(a2-4)=0,
因為a2+10>0,
所以a2-4=0,a=±2.
當(dāng)x+4=2時,x=-2;
當(dāng)x+4=-2時,x=-6.
例6 解方程:13x-x2x+1x+13-xx+1=42.
解 設(shè)13-xx+1=y,則原方程化為
xy(x+y)=42.
又由13-xx+1=y,得 xy+(x+y)=13,
所以xy與x+y是一元二次方程t2-13t+42=0的兩個實數(shù)根,解得t1=6,t2=7.
所以x+y=7,xy=6,或x+y=6,xy=7.
所以x,y是一元二次方程m2-7m+6=0或n2-6n+7=0的兩個實數(shù)根,
解得m1=1,m2=6,
n1=3+2,n2=3-2.
進(jìn)而可求得x1=1,x2=6,
x3=3+2,x4=3-2.
經(jīng)檢驗,x1,x2,x3,x4是原方程的根.
例7 解方程:3+9+x=3x.
解 令9+x=y,則x=y2-9,
原方程化為3+y=3y2-9,
方程兩邊同6次方,得(3+y)3=(y2-9)2,
整理,得(y+3)2(y2-7y+6)=0,
(y+3)2(y-1)(y-6)=0,
從而有y=-3,或y=1,或y=6.
當(dāng)y=-3時,9+x=-3,不合題意,舍去;
當(dāng)y=1時,9+x=1,x=-6,不合題意,舍去;
當(dāng)y=6時,9+x=6,x=27,符合題意.
所以x=27是原方程的根.