梁檢初，萬 凱，劉 佟，強(qiáng) 娜，李雅潔，徐四六

（1. 惠州學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院, 廣東 惠州 516007;2. 廣東省電子功能材料與器件重點(diǎn)實(shí)驗室，廣東 惠州 516007;3. 湖北科技學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，湖北 咸寧 437199）

1 引言

近來強(qiáng)非局域非線性介質(zhì)中的孤立波引起了人們極大的興趣。非局域性能夠抑制孤子的調(diào)制不穩(wěn)定性，不僅能夠支持基本孤子和渦旋孤子，也能支持多孤子束縛態(tài)和偶極孤立波，多極孤子等在一般情況下不穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。實(shí)驗上在向列液晶，鉛玻璃中對這類孤立波的觀察進(jìn)一步刺激了對非局域孤立波的理論研究。

而在空間孤子的研究中，系統(tǒng)參數(shù)大都是常數(shù)[1-6]。玻色-愛因斯坦凝聚（BEC）中的物質(zhì)波的演化通常滿足Gross-Pitaevskii 方程(簡寫為G-P 方程)[7]，也就是BEC 中的三維非線性薛定諤方程。歸一化G-P 方程可表為：

當(dāng)介質(zhì)的非線性響應(yīng)只局限于場點(diǎn)時，響應(yīng)函數(shù)稱為δ函數(shù)，歸一化的非線性項表示為N(I)=I，此即通常所講的局域三階效應(yīng)，方程(1)也成為標(biāo)準(zhǔn)的G-P 方程；在另一相反的極限條件下，響應(yīng)函數(shù)的寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于光束的寬度，非線性效應(yīng)為強(qiáng)非局域非線性效應(yīng)，可以把響應(yīng)函數(shù)在原點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開，得到因為非線性項中的常數(shù)項不影響波的演化，所以非線性項可以寫為此時非線性項變成了一個線性項，但該模型仍然描述孤子的非線性現(xiàn)象，事實(shí)上，該線性項的系數(shù)跟波函數(shù)的功率(概率流)相關(guān)，也即與物質(zhì)波波函數(shù)相關(guān)。鐘衛(wèi)平等得到了該方程的兩種解析孤立波解。其一是厄米惠特克孤子解[10]，第二個精確的解析解是庫瑪-高斯孤立波解[11]。

有關(guān)光纖孤子或者說時間孤子的系統(tǒng)中，其動力學(xué)機(jī)制一般由（1+1）-D 非線性薛定諤方程確定，其色散系數(shù)、非線性系數(shù)和增益系數(shù)等都是可以隨光脈沖傳播距離變化的，常被稱為分布參數(shù)系統(tǒng)，或稱參數(shù)管理系統(tǒng)。事實(shí)上在包括非局域非線性介質(zhì)在內(nèi)的材料也會類比地存在參數(shù)隨傳播距離變化或隨演化時間改變的情況[12-14]。我們[14]首次研究了分布參數(shù)的廣義二維強(qiáng)非局域非線性介質(zhì)中的貝塞爾孤立波，并且發(fā)現(xiàn)貝塞爾孤波具有不同于高斯孤波、拉蓋爾-高斯孤波和Hermite-Gaussian 孤波的獨(dú)特的屬性。作為線性薛定諤方程的本征解，貝塞爾函數(shù)有一個重要特點(diǎn)：光場分布函數(shù)是貝塞爾函數(shù)的光束能夠在自由空間中無衍射地傳播，也就是說它能以孤子的形式在自由空間傳播。因此基于貝塞爾孤子的光子晶格被廣泛地應(yīng)用于離散孤子和帶隙孤子的研究，而離散孤子和帶隙孤子正是目前的一個研究熱點(diǎn)。我們[15]還首次利用雅克比橢圓函數(shù)展開法研究了變系數(shù)廣義三維非線性薛定諤方程，得到了這種常見的非線性發(fā)展方程的精確解。這些解的形式是雅克比橢圓函數(shù)行波解，其振幅特性和相位特性都給予了相應(yīng)的分析。除此外分布參數(shù)系統(tǒng)中三維空間物質(zhì)波演化的研究比較少見。

本文中我們通過解析求解的方式獲得參數(shù)可變系統(tǒng)中(3+1)-D 強(qiáng)非局域非線性G-P 方程的精確解，即球貝塞爾孤立波解。

2 (3+1)-D 變系數(shù)強(qiáng)非局域G-P 方程的球貝塞爾孤立波解

我們討論系數(shù)可變的強(qiáng)非局域非線性介質(zhì)中物質(zhì)波的自相似演化?？勺儏?shù)的G-P 方程為：

其中，物質(zhì)波的衍射系數(shù)β，非線性系數(shù)Δn，和增益系數(shù)g均是隨演化時間變化的；強(qiáng)非局域非線性項因為這是在三維空間中，且方程明顯有球?qū)ΨQ性,我們就在球坐標(biāo)系中求解方程(3)，球坐標(biāo)系中拉普拉斯算符是

為尋求方程的自相似解，我們設(shè)

式中 Θ(t,r)是待定的自相似變量，w(t)是孤子的特征寬度， 相位取為二次函數(shù)(4)式中把徑向變量r和角向變量(θ,φ)分離開來。把嘗試解(4)代入?yún)?shù)可變系統(tǒng)中三維強(qiáng)非局域G-P 非線性薛定諤方程 (3)，分離實(shí)部和虛部，我們得到如下耦合的偏微分方程組：

在同一方程中，相同項合并后，各項的系數(shù)分別為零，于是以上方程組給出如下一系列關(guān)系表達(dá)式：

從以上方程中又可以直接得到

所有式子中的下標(biāo)“0”表示t=0時的初始值,c決定于

由(10)式得

把(18)式代入(17)式得

把這些結(jié)果代入方程(6)，我們有方程式

為獲得球貝塞爾方程，我們有

由方程(21)得到

球函數(shù)方程(22)的解是球諧函數(shù)

現(xiàn)在方程(20)成為一個球貝塞爾方程：

其解是一個球貝塞爾函數(shù)

最后我們得到了方程(3)的三維球貝塞爾自相似孤立波解:

3 球貝塞爾孤立波的特性分析

孤立波解(26)中，特征尺度w由(19)決定，其變化規(guī)律類似于二維貝塞爾孤立波的情形[12]。特征變量是半徑與特征尺度的比值，表示波函數(shù)的形狀保持不變，只是尺度大小發(fā)生改變，這種性質(zhì)成為自相似。波函數(shù)角向呈球諧函數(shù)分布；當(dāng)系統(tǒng)有增益（g>0）或損耗（g＜0）使，物質(zhì)波強(qiáng)度（粒子數(shù)密度）呈指數(shù)增加或減少。該球貝塞爾自相似孤立波的線性相位由(23)確定，空間啁啾系數(shù)c由(18)式描述。波的強(qiáng)度即BEC 粒子數(shù)密度與自相似特征變量 Θ(r,t) 的關(guān)系不隨演化時間發(fā)生改變，故這是一種廣義的孤子，或可稱為孤立波。下面討論不同階數(shù)的自相似球貝塞爾孤立波的特性。

當(dāng)l=m=0時，(26)式其實(shí)表示的是在三維空間球?qū)ΨQ分布波函數(shù)。其等強(qiáng)度等高圖是球形。圖1 是l=1和l=2時的孤立波解的強(qiáng)度等高圖，即=a(a是常數(shù)，且滿足0＜a＜1)的曲面圖。圖1 中的五行分別是l= 1及m=0(第一行)和m=1(第二行)，與l=2及m=0(第三行)，m=1(第四行)和m=2(第五行)的球貝塞爾孤立波的強(qiáng)度等高圖。四列分別對應(yīng)不同觀測方向的觀測結(jié)果（正面，上面，右邊和左邊）。從圖中看出，階數(shù)越高，球貝塞爾孤立波的分布越復(fù)雜，呈現(xiàn)多層多極的結(jié)構(gòu)。另外，在高階球貝塞爾孤立波情況下，波的強(qiáng)度越小的等高圖越復(fù)雜，但圖中沒給出。

圖1 l=1和 l=2時的貝塞爾孤立波解的強(qiáng)度等高圖

再看l=3時的情況。此時其光強(qiáng)分布更復(fù)雜，見圖2。圖中從第一行到第四行分別對應(yīng)m=0，m=1，m= 2和m=3的情況。m表示了方位角方向的光強(qiáng)調(diào)制周期數(shù)，俯視圖(第二列)被分成(m+1)極。

圖2 l=3時的球貝塞爾孤立波解的強(qiáng)度等高圖

4 結(jié)論

本文研究管理系統(tǒng)強(qiáng)三維非局域非線性Gross-Pitaevskii 方程的精確的孤立波解即球貝塞爾孤立波，探討了在玻色愛因斯坦凝聚中出現(xiàn)的三維物質(zhì)波的演化。創(chuàng)新點(diǎn)歸結(jié)為兩點(diǎn)：

本文研究管理系統(tǒng)中空間孤立波(孤子)的研究。過去光通信科研工作者熱衷于對管理系統(tǒng)中的光纖孤子即時間孤子的研究，但僅限于時域中的管理系統(tǒng)，少見對空域中管理系統(tǒng)中的孤子或孤立波的研究。然而，現(xiàn)實(shí)的用于傳播空間孤子的材料都不可能是絕對均勻的。嚴(yán)格來說光束在材料中的衍射系數(shù)，非線性系數(shù)，增益或損耗系數(shù)都會隨傳播距離變化。并且，為了控制光束的傳播，我們也需要人為管理材料的參數(shù)。因而管理系統(tǒng)中的空間孤子的研究很有必要。我們在這一方向的創(chuàng)新研究有望刺激相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展。

本文給出了三維強(qiáng)非局域非線性薛定諤方程的一種新的精確的(3+1)-維孤立波解即自相似球貝塞爾孤立波解，分析了其強(qiáng)度特性及相位特性。