湖北 周 威

(作者單位：恩施州教育科學(xué)研究院)

近年來，高考試題中概率統(tǒng)計解答題難度有所提高，其在試卷的編排位置并不固定，再加之試題情境新穎、閱讀量增加、試題內(nèi)容結(jié)構(gòu)不定，因此概率統(tǒng)計試題備受評議，復(fù)習(xí)備考、試題預(yù)測難度加大，如何真正實施高效的復(fù)習(xí)策略和方法有待于一起探尋，而從?？荚囶}的命制思路評析與分享未嘗不是一種嘗試和探索.

一、高考導(dǎo)向下的?？荚囶}命制思路

(一)歷年高考題的趨勢導(dǎo)向

【情境1】(2021·新高考Ⅱ卷·21)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).

此情境設(shè)置為一種微生物群體的自身繁殖問題，第(1)問給出P0=0.4，P1=0.3，P2=0.2，P3=0.1，考查了該微生物個體繁殖下一代為一定概率時的分布列及期望，第(2)問將概率p與“x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的根”聯(lián)系起來證明某結(jié)論及解釋，都充分體現(xiàn)了高考“四翼”綜合性、創(chuàng)新性，也是數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)中“獲得和解釋結(jié)論”的主要表現(xiàn).

【情境2】(2019·全國卷Ⅰ理·21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

此情境設(shè)置為治療某種疾病而研制的甲、乙兩種新藥治愈概率及治愈比較得分問題，第(1)問考查了甲藥治愈得分的分布列，第(2)問將兩種藥治愈得分的概率與數(shù)列知識綜合聯(lián)系起來，以“證明{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列”與“求p4并解釋”的形式給出題目設(shè)問.

以上情境第(1)問主要是考查分布列和數(shù)學(xué)期望，第(2)問都實現(xiàn)了知識點的跨越和融合，注意到一個是與“函數(shù)與方程”聯(lián)系，一個是與“數(shù)列”聯(lián)系，而數(shù)列本質(zhì)也是函數(shù)，因此總的來說第(2)問都是實現(xiàn)了“概率”到“函數(shù)”的創(chuàng)新.因為概率可理解為“集合與數(shù)集”之間的映射，函數(shù)是“數(shù)集與數(shù)集”之間的映射，所以這種知識點的跨越也可以說連接了“映射”的數(shù)學(xué)本質(zhì).

從而概率統(tǒng)計模考試題命制方向可確定為第(1)問考查分布列與期望問題，第(2)問考查概率和函數(shù)(數(shù)列)融合的問題,主要體現(xiàn)概率統(tǒng)計思想與函數(shù)思想.

(二)基于情境“德育”導(dǎo)向的命題思路

2021年是全國黨史學(xué)習(xí)教育的關(guān)鍵之年，為了更好地讓中學(xué)生體會黨史學(xué)習(xí)教育的重要性，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科育人的德育價值,所以模考試題情境設(shè)置：某企業(yè)創(chuàng)新形式推進(jìn)黨史學(xué)習(xí)教育走深走實，舉行黨史知識競賽，圍繞競賽設(shè)置期望和函數(shù)方面的問題.根據(jù)情境1與情境2，可分別設(shè)置如下命題思路：

【命題思路1】某企業(yè)創(chuàng)新形式推進(jìn)黨史學(xué)習(xí)教育走深走實，舉行兩輪制的黨史知識競賽初賽，每部門派出兩個小組參賽，兩輪都通過的小組才具備參與決賽的資格.該企業(yè)某部門派出甲、乙兩個小組，進(jìn)行黨史知識競賽.若第一輪比賽時，兩組通過的概率分別是p1,p2，第二輪比賽時兩組通過的概率分別是p3,p4.兩輪比賽過程相互獨立.

【命題思路2】某企業(yè)兩部門創(chuàng)新形式推進(jìn)黨史學(xué)習(xí)教育走深走實，舉行黨史知識競賽，比賽規(guī)則是：每輪比賽中每部門派出一個代表答題，兩部門都全部答對或者都沒有全部答對則均記0分；全部答對的部門記1分，沒有全部答對的部門則記-1分.設(shè)每輪比賽中甲部門全部答對的概率為p5，乙部門全部答對的概率為p6，甲、乙兩部門答題相互獨立，且每輪比賽互不影響.

二、基于數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的命題意圖

(一)分布列與期望的考查方式

數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng).而題目中數(shù)據(jù)的設(shè)置與對分布列、期望的考查息息相關(guān).首先，數(shù)據(jù)設(shè)置必須符合生活實際.那么對于命題思路1中，需要學(xué)生獲取和處理的數(shù)據(jù)就是p1,p2，p3,p4，現(xiàn)在命題環(huán)節(jié)中如何確定這幾個數(shù)值呢？第一輪比賽的難度通常要低于第二輪比賽的難度，故在每個小組通過的概率數(shù)值上是增大的，即p1>p3，p2>p4.這與情境1中已知的4個概率值遞減類似.對于命題思路2中，需要學(xué)生獲取和處理的數(shù)據(jù)就是p5,p6，因為要求兩個部門總有一個要勝出，不妨設(shè)p5>p6.

其次，命題立意必須要清楚是要求“什么的期望”，期望的內(nèi)涵是什么.因為獲得、處理的數(shù)據(jù)要能解釋結(jié)論，這正是數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn).

(二)概率與函數(shù)結(jié)合的考查方式

1.命題思路1中概率與函數(shù)結(jié)合的考查方式

如何實現(xiàn)概率到函數(shù)的跨越呢？依然可采用古典概型作為概率計算的背景：若參與決賽的小組由4人組成，每人必須且只答題一次，同時與答題順序無關(guān)，每個成員答對每題的概率均相同，記為p，將其作為一個函數(shù)的自變量，這樣就可以建立函數(shù)關(guān)系.參考情境1的設(shè)問方式，就得到了如下原創(chuàng)?？碱}1：

(1)若將該部門獲得決賽資格的小組數(shù)記為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)比賽規(guī)定：參與決賽的小組由4人組成，每人必須答題且只答題一次(與答題順序無關(guān))，若4人全部答對就給予獎金，若沒有全部答對但至少2人答對就被評為“優(yōu)秀小組”.該部門對通過初賽的某一小組進(jìn)行黨史知識培訓(xùn)，使得每個成員答對每題的概率均為p(0

解析：(1)設(shè)甲、乙兩個小組通過兩輪制的初賽分別為事件A1，A2.則

由題意X的取值可能為0，1，2.則

那么X的分布列為

X012P6251325625

則f(p)=6(1-p)2p2+4(1-p)p3=2p4-8p3+6p2.

f′(p)=8p3-24p2+12p=4p(2p2-6p+3)，

2.命題思路2中概率與數(shù)列結(jié)合的考查方式

(1)經(jīng)過1輪比賽，設(shè)甲部門的記分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若經(jīng)過3輪比賽，用pn(1≤n≤3)表示第n輪比賽后的甲部門累計得分低于乙部門累計得分的概率，計算時發(fā)現(xiàn)滿足函數(shù)關(guān)系式pn=a(b-qn)，試求a,b,q的值.

解析：(1)由題意X的取值可能為-1，0,1.

所以X的分布列為

X-101P161213

經(jīng)過三輪比賽，甲部門累計得分低于乙部門的三輪計分有四種情況(不計順序)：-1,-1,-1；-1,-1,0；-1,-1,+1；-1,0,0.

三、試題評價與變式教學(xué)

區(qū)域監(jiān)測結(jié)果表明，例1與例2的難度系數(shù)均為0.2左右，屬于較難題.那么這一結(jié)果出現(xiàn)的原因是什么呢？通過調(diào)查與分析發(fā)現(xiàn)，首先是一些同學(xué)不能讀懂題目，對相互獨立事件不理解；其次是例1第(1)問中學(xué)生不會進(jìn)行數(shù)據(jù)分類，不能先將甲、乙兩個小組分別通過初賽的概率計算出來，要么思維凌亂沒有詳細(xì)過程，要么出現(xiàn)計算錯誤；再次是例1與例2第(2)問中對二項分布理解不透，例1中不能正確的寫出f(p)的表達(dá)式，有的表達(dá)式求對了，但不會運(yùn)用函數(shù)相關(guān)知識求出p0；例2中不能正確寫出p2,p3.這些出錯原因與學(xué)生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)水平以及函數(shù)思想有很大的關(guān)系.因此接下來的解題教學(xué)應(yīng)是有目的、有層次、有導(dǎo)向的，針對學(xué)生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的培養(yǎng)以及數(shù)學(xué)思維的提升進(jìn)行變式教學(xué).

(一)情境不變，數(shù)學(xué)期望的設(shè)問改變

根據(jù)例1、例2答題過程中學(xué)生的認(rèn)知呈現(xiàn)水平及思維層次，可引導(dǎo)學(xué)生回憶相互獨立事件、二項分布概念，分布列與數(shù)學(xué)期望的計算方法進(jìn)行如下變式.

解析：若將該部門獲得決賽資格的小組數(shù)記為X，則X的分布列為

X012P(1-p)(1-45p)p(1-45p)+45p(1-p)45p2

(二)因情境變化，關(guān)于概率的函數(shù)形式變化

根據(jù)學(xué)生對概率的理解，在正確寫出f(p)表達(dá)式的情況下，可引導(dǎo)學(xué)生開展拓展性思考.在命題立意不變、情境變化時，適當(dāng)改變提問方式，那么關(guān)于概率的函數(shù)形式也會發(fā)生變化，能讓學(xué)生體會問題解決過程中的數(shù)學(xué)本質(zhì).

(1)設(shè)經(jīng)過兩次檢測后兩類劑型α1，α2合格的種類數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員隨機(jī)地逐一使用試劑品α進(jìn)行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則該家庭為“感染高危戶”，設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為p(0

解析：(1)與例1類似，略.

四、結(jié)語

在概率統(tǒng)計的模擬試題命制及復(fù)習(xí)備考的解題教學(xué)中，若能嘗試從學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的特點出發(fā)，從試題的命題設(shè)計和其解題教學(xué)過程中進(jìn)行分析和針對性變形與創(chuàng)新，打破試題的解題教學(xué)即“答案講解”的僵局，不僅對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、關(guān)鍵能力的提升有重要的積極作用，也對跳出“題海戰(zhàn)術(shù)”和減緩高三備考壓力有很大的促進(jìn)作用.