浙江 余繼光

(作者單位：浙江省柯橋中學(xué))

筆者以高中數(shù)學(xué)新教材為基礎(chǔ)，以高考數(shù)學(xué)命題專家課題研究結(jié)論為依據(jù)，以經(jīng)典數(shù)學(xué)模型為藍(lán)本，創(chuàng)作高考數(shù)學(xué)命題立體幾何、圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)不良預(yù)測(cè)題，為考生精心準(zhǔn)備一首“交響曲”，讓參加2022年高考的學(xué)子親自“彈奏”一下，體驗(yàn)它的韻律.

結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)試題具有選擇性、探究性，學(xué)生能綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行探究，分析并最終解決問(wèn)題，有些結(jié)構(gòu)不良題條件封閉，需要?jiǎng)?chuàng)新結(jié)論；有些結(jié)構(gòu)不良題結(jié)論封閉，條件可以創(chuàng)新；有些條件結(jié)論都封閉，求解策略開(kāi)放的結(jié)構(gòu)不良試題,但限于限時(shí)測(cè)評(píng)，目前高考數(shù)學(xué)命題給出若干個(gè)條件供考生選擇，隨著新高考數(shù)學(xué)命題改革的步步深入，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的承受范圍內(nèi)，在評(píng)價(jià)操作技術(shù)科學(xué)化發(fā)展后，開(kāi)放程度更大的數(shù)學(xué)題也會(huì)在高考數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn).

1.立體幾何

1.1 試題

(1)若G為PC中點(diǎn)，求BG與平面PAB所成角的正弦值；

(2)從下面兩個(gè)選項(xiàng)中任選一個(gè)探究

②在PC上是否存在一點(diǎn)H，使得AH⊥PD？

1.2 解析

(1)解法一：邏輯推理法

若G為PC中點(diǎn)，求BG與平面PAB所成角的正弦值，

如圖，過(guò)G作GF垂直平面PAB于點(diǎn)F，連接BF，

則∠GBF為BG與平面PAB所成角，

由VG-PAB=VB-PAG，即

解法二：空間坐標(biāo)法

(2)解法一：邏輯推理法

圖1

圖2

②假設(shè)在PC上存在一點(diǎn)H，使得AH⊥PD，

所以符合題意的點(diǎn)H存在.

解法二：空間坐標(biāo)法

即(2λ+2)2=(λ+1)2+3(λ-1)2+(2-2λ)2，

即λ2-5λ+1=0，

因此符合題意的點(diǎn)Q存在.

所以符合題意的點(diǎn)H存在.

1.3 命題依據(jù)

新高考數(shù)學(xué)立體幾何命題進(jìn)入規(guī)范幾何圖形時(shí)期，以三棱錐與四棱錐為主要背景成為常態(tài)，探究直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系與度量關(guān)系，并且提供的選擇性比較廣泛，傳統(tǒng)邏輯推理與空間坐標(biāo)法均可使用，設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)新課標(biāo)和新教材教學(xué)理念吻合的命題，尤其是突出探究性與創(chuàng)新性，以上預(yù)測(cè)題依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)評(píng)價(jià)水平二：“能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形；能夠借助圖形提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，探索圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法；能夠借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，解決實(shí)際問(wèn)題或數(shù)學(xué)問(wèn)題；能夠通過(guò)直觀想象提出數(shù)學(xué)問(wèn)題；能夠用圖形探索解決問(wèn)題的思路；能夠形成數(shù)形結(jié)合的思想，體會(huì)幾何直觀的作用和意義；在交流的過(guò)程中，能夠利用直觀想象探討數(shù)學(xué)問(wèn)題.”

2.解析幾何

2.1 試題

(1)求橢圓的離心率；

求x0的值.

2.2 解析

(1)解法一：A(na，0)，B(0，nb)，設(shè)切線AC的方程為y=k1(x-na)，切線BD的方程為y-nb=k2x，于是由

解法二：設(shè)C(x1,y1)，D(x2,y2)，

把A點(diǎn)代入(*1)，B點(diǎn)代入(*2)得

解得a2=12，b2=4，

因?yàn)橹本€l與內(nèi)層橢圓交于不同兩點(diǎn)M,N，

所以Δ=36m2-16(3m2-12)>0，得m2<16.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則x1，x2是方程(*)的兩根，

據(jù)題意知，點(diǎn)P為線段MN的中垂線與直線y=2的交點(diǎn).

即y=-x+1.令y=2，得x0=-1.

綜上所述，x0的值為-3或-1.

綜上所述，x0的值為-3或3.

2.3 命題依據(jù)

新高考數(shù)學(xué)命題在檢測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的同時(shí)，突出教育功能，承載數(shù)學(xué)文化，2022年是冬奧之年，冬奧開(kāi)幕式的一片雪花在鳥(niǎo)巢上演，帶給全世界一個(gè)驚喜，以鳥(niǎo)巢為現(xiàn)實(shí)情境創(chuàng)作數(shù)學(xué)問(wèn)題是一次命題創(chuàng)新實(shí)踐，以上預(yù)測(cè)題依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》水平二：“能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運(yùn)算對(duì)象，提出運(yùn)算問(wèn)題；能夠針對(duì)運(yùn)算問(wèn)題，合理選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，解決問(wèn)題；能夠理解運(yùn)算是一種演繹推理；能夠在綜合利用運(yùn)算方法解決問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)程序思想的意義和作用.”

3.函數(shù)導(dǎo)數(shù)

3.1 試題

已知f(x)=ax3-ex，e=2.718 28…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，從下面兩個(gè)選項(xiàng)中任選一個(gè)

①對(duì)任意x≥0；

②對(duì)任意實(shí)數(shù)x.

試問(wèn)函數(shù)f(x)是否存在最大值？若存在，求出函數(shù)f(x)的最大值，若不存在，說(shuō)明理由；

3.2 解析

(1)f(x)=ax3-ex，f′(x)=3ax2-ex，

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)<0，f(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)的正負(fù)不定，此時(shí)f(x)在R上不單調(diào)，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，0].

(2)由(1)知，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減，

①對(duì)任意x≥0，f(x)≤f(0)，而f(0)=-1，

所以f(x)≤-1，

故當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最大值-1，

所以函數(shù)f(x)存在最大值，且最大值為-1.

②對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R，由(1)知，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減，所以f(x)取不到最大值，因此f(x)不存在最大值.

(3)當(dāng)a>1時(shí)，由f(x)有兩個(gè)正極值點(diǎn)x1，x2，

則x1，x2是方程f′(x)=3ax2-ex=0的兩個(gè)根，

所以9a2(x1x2)2=ex1+x2≥1+x1+x2>x1+x2，

3.3 命題依據(jù)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)不良題命題主方向預(yù)測(cè)是零點(diǎn)的綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是分析超越函數(shù)、參數(shù)范圍、函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系，教學(xué)中可以分層設(shè)計(jì)同一情境的不同層次、不同難度的題目，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，2021年是如此，2022年仍將如此.以上預(yù)測(cè)題依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》評(píng)價(jià)水平二：“能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)；能夠理解、歸納、類比是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題的重要途徑；能夠?qū)εc學(xué)過(guò)的知識(shí)有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題，通過(guò)對(duì)其條件與結(jié)論的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，并能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述論證過(guò)程；能夠通過(guò)舉反例說(shuō)明某些數(shù)學(xué)結(jié)論不成立；能夠理解相關(guān)概念、命題、定理之間的邏輯關(guān)系，初步建立網(wǎng)狀的知識(shí)結(jié)構(gòu).”

高考數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題類型很多，可以預(yù)見(jiàn)新高考數(shù)學(xué)命題會(huì)不斷延伸，因?yàn)橹挥羞@樣，才能真正培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)造能力.

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良題解題與教學(xué)口訣：

提出問(wèn)題合題意，探究意識(shí)要建立，選擇問(wèn)題需謹(jǐn)慎，推理嚴(yán)密表達(dá)全，多向思考是基礎(chǔ)，結(jié)構(gòu)不良需完善，有限開(kāi)放是常態(tài)，無(wú)限視角是落點(diǎn).