何鵬翔 孫勝祥

（1.海軍工程大學(xué)管理工程與裝備經(jīng)濟(jì)系 武漢 430033）（2.91306部隊 上海 200000）

1 引言

隨著新時代海軍艦船裝備建設(shè)的快速發(fā)展，各種大型艦船陸續(xù)服役，其中部分艦船也集中進(jìn)入了修理期，在艦船裝備維修經(jīng)費(fèi)總量有限的前提下，經(jīng)費(fèi)的供需矛盾日益突出。為了合理確定新型艦船計劃修理費(fèi)用，提高裝備經(jīng)費(fèi)的使用效益，迫切需要對新型艦船的計劃修理費(fèi)用進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測。

傳統(tǒng)裝備費(fèi)用估算方法主要有工程法、類比法、參數(shù)法等，文獻(xiàn)［1～2］運(yùn)用工程法、類比法和參數(shù)法等方法對于艦船裝備和戰(zhàn)斗飛機(jī)不同時期的費(fèi)用進(jìn)行了估算；文獻(xiàn)［3～4］分別運(yùn)用支持向量機(jī)和案例推理的方法對艦船裝備維修費(fèi)進(jìn)行了預(yù)測，但模型的預(yù)測精度取決于樣本數(shù)據(jù)的數(shù)量，數(shù)據(jù)的樣本較少時，預(yù)測精度往往不高。大型艦船裝備一般都是單艦或者小批量生產(chǎn)，樣本數(shù)據(jù)較少，灰色預(yù)測方法作為灰色系統(tǒng)理論的主要成果，主要針對小樣本、貧信息的不確定系統(tǒng)進(jìn)行研究［5～7］，對于艦船裝備維修費(fèi)預(yù)測有很強(qiáng)的適用性。文獻(xiàn)［8］從擾動解大小的角度證明了GM（0，N）模型更加適用于小樣本建模。但艦船裝備和其他復(fù)雜裝備相比，其維修費(fèi)與建造費(fèi)、排水量等因素有著更加緊密的關(guān)系，建造費(fèi)相似的艦船其維修費(fèi)往往也是更為接近的。而文獻(xiàn)［8］中僅僅依據(jù)相似度對于樣本進(jìn)行重新排序，并不能充分顯現(xiàn)相似程度更高的艦船裝備對于待測樣本維修費(fèi)的影響。

本文擬在利用距離熵分析樣本之間相似度的基礎(chǔ)上，利用累積法代替?zhèn)鹘y(tǒng)GM（0，N）中的參數(shù)估計方法，從而賦予相似度較大的樣本更大的權(quán)重，使相似度較小的樣本占據(jù)更小的權(quán)重，從而達(dá)到提高艦船裝備維修費(fèi)預(yù)測精度的目的。

2 GM（0，N）模型的基本原理

GM（0，N）模型通過利用原始數(shù)據(jù)累加后的灰色數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模，可以在一定程度上弱化原始數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，提高數(shù)據(jù)序列的規(guī)律性，其模型計算過程如下［7］：

1）計算原始數(shù)據(jù)序列的一階累加生成序列；

2）構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣；

3）利用最小二乘法求得參數(shù)估計列：

4）計算模型的預(yù)測值：

但由于艦船裝備維修費(fèi)影響因素眾多［9］，且會隨著管理體制及相關(guān)政策的變化而變化，不確定性強(qiáng)，建造費(fèi)、排水量等因素往往與維修費(fèi)有著很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，根據(jù)支配原理，艦船裝備維修費(fèi)之間也必然存在著相似性，相似程度更高的樣本對于維修費(fèi)變化規(guī)律的影響也會更大，直接將原始數(shù)據(jù)依據(jù)累加法進(jìn)行建模雖然可以弱化數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，但并沒有考慮艦船裝備的相似度對于待測樣本的影響。

3 艦船裝備維修費(fèi)預(yù)測模型構(gòu)建

考慮到艦船裝備維修費(fèi)與建造費(fèi)、自身性能參數(shù)等因素緊密相關(guān)，基于“相似信息優(yōu)先”原理對GM（0，N）模型運(yùn)用累積法進(jìn)行改進(jìn)。

3.1 基于距離熵的相似度度量

熵作為一種衡量系統(tǒng)不確定狀態(tài)的方法，與傳統(tǒng)判斷相似度的方法相比，可以利用現(xiàn)有信息推算出更多有價值的信息量，從而降低主觀因素對于計算結(jié)果的影響［10］。如果將艦船裝備看作一個復(fù)雜的系統(tǒng)，可以將信息熵用于判斷不同艦船裝備之間的相似度，系統(tǒng)的總熵值最小，包含的信息量也是最大的，艦船裝備之間的相似度也最高。設(shè)艦船裝備樣本A0，A1，A2，…，An，每個樣本又有m 個參數(shù)y1，y2，…，ym，xij則表示第i 個樣本關(guān)于第j 個參數(shù)的指標(biāo)數(shù)據(jù)。待測樣本A0與Ai之間關(guān)于yj參數(shù)歐氏距離的比重vij為

則樣本A0與Ai的距離熵為

其中i=1，2，…，n；j=1，2，…，m。

距離熵越小，則表示樣本A0與Ai之間的性能參數(shù)信息越相似，在后續(xù)建立預(yù)測模型時，也應(yīng)當(dāng)賦予更多的權(quán)重。

3.2 基于相似信息優(yōu)先累積的模型構(gòu)建

在參數(shù)估計中，使用最多的方法是最小二乘法，該方法誤差處理時需要基于誤差平方和最小化的假設(shè)，但該假設(shè)是難以驗證的，同時也容易造成模型估計與參數(shù)實際值相偏離。而累積法則不需要對于模型誤差進(jìn)行假設(shè)，該方法對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)和累加，進(jìn)而估計模型參數(shù)，可以使預(yù)測的誤差趨向于零［11～12］。但是，一般累積法可能會導(dǎo)致相似程度越低的信息占據(jù)更高的權(quán)重，而相似程度越高的信息卻占據(jù)較低權(quán)重［13］的情況，從而使得模型的估計產(chǎn)生一定的偏差。

因此，本文提出一種基于相似信息優(yōu)先的累積法。首先，通過對樣本進(jìn)行重新排序改變累積法的累積權(quán)重，使得相似程度越高的信息占據(jù)的權(quán)重越大，而與待測艦船裝備越相似的樣本數(shù)據(jù)也可以更好地反映維修費(fèi)與各參數(shù)之間的關(guān)系。然后，使用該方法對GM（0，N）的參數(shù)進(jìn)行估計，進(jìn)而優(yōu)化其預(yù)測結(jié)果。

假設(shè)相似信息優(yōu)先累積算子的最高階數(shù)為r，模型的參數(shù)為N。對于相似程度更高的樣本，其數(shù)據(jù)累加的次數(shù)也越多。將相似信息優(yōu)先的累積算子運(yùn)用于GM（0，N）模型的方程式兩邊，可以得到下列方程組：

其中，x(1)

i(k)為重新排序后的原始數(shù)據(jù)序列的一階累積生成序列，且

則方程組可以用矩陣形式表示為

在傳統(tǒng)GM（0，N）模型的參數(shù)估計中，A矩陣的行數(shù)一般取決于模型中艦船樣本的數(shù)量。當(dāng)樣本量n 小于艦船裝備性能參數(shù)N 時，則無法用傳統(tǒng)最小二乘法進(jìn)行求解，還需要首先對裝備的參數(shù)進(jìn)行篩選，容易出現(xiàn)一些關(guān)鍵影響因素被剔除的問題。而在運(yùn)用累積法計算時，A 矩陣的行數(shù)則取決于階數(shù)r。因此，可以通過調(diào)整累積運(yùn)算的階數(shù)對于A矩陣的行數(shù)進(jìn)行調(diào)整，令累加算子的階數(shù)與艦船裝備的輸入?yún)?shù)相同，避免出現(xiàn)當(dāng)樣本量較少而相關(guān)參數(shù)較多模型無法計算的問題。

當(dāng)r = N 時，只有矩陣A 中出現(xiàn)某一行的元素全部為0 或者任意兩行（列）元素相等時，矩陣A 才為奇異矩陣。但是對于艦船裝備而言，不同的艦船其輸入?yún)?shù)及有關(guān)費(fèi)用肯定是不可能完全一致的，同時也不存在數(shù)據(jù)為零的情況。因此，在累積GM（0，N）中，矩陣A的逆矩陣一定是存在的，對于參數(shù)的求解則可以直接表示為

則可求出艦船裝備維修費(fèi)預(yù)測GM（0，N）模型為

通過式（7）累減還原后，可以得到艦船裝備維修費(fèi)的預(yù)測值。

3.3 改進(jìn)的GM（0，N）模型預(yù)測步驟

改進(jìn)的GM（0，N）模型預(yù)測步驟如下。

Step 1：根據(jù)式（1）和式（2）計算原始數(shù)據(jù)樣本與待測艦船裝備之間的距離熵；

Step 2：依據(jù)距離熵的值，按照從大到小的順序?qū)颖局匦屡判虿⒂嬎阋浑A累加生成序列；

Step 3：對于重新排序后的數(shù)據(jù)，利用累積法根據(jù)式（5）計算參數(shù)估計值a，b2，b3，…，bn；

Step 4：將模型參數(shù)估計值代入式（6）即可得到改進(jìn)GM（0，N）模型，再通過式（7）累減還原即可得到待測艦船裝備的維修費(fèi)。

4 案例分析

本文通過調(diào)研所得數(shù)據(jù)見表1（相關(guān)數(shù)據(jù)已經(jīng)進(jìn)行過脫密處理），運(yùn)用本文所提出的改進(jìn)GM（0，N）模型對艦船裝備維修費(fèi)進(jìn)行預(yù)測，以驗證本文提出方法的可行性。

表1 艦船裝備計劃修理費(fèi)用與性能參數(shù)原始數(shù)據(jù)表

首先，采用基于距離熵的相似度的計算方法，求得艦船裝備樣本F 與A、B、C、D、E 之間的距離熵分別為0.89、0.70、0.78、0.91、0.80；

1）將樣本按照距離熵從小到大進(jìn)行重新排序：B、C、E、A、D，并計算一階累加生成序列；

2）計算模型參數(shù)：a?=A-1*Y= [0.1136 -0.1720-0.1213 18.6993]；

3）基于相似累積法GM（0，N）模型的預(yù)測公式為

模型的擬合精度和預(yù)測精度分別如表2所示。

表2 擬合精度對比表

同時，本文采用文獻(xiàn)［8］中的方法也進(jìn)行了預(yù)測，結(jié)果見表2。從表2可以看出，本文提出的預(yù)測模型對于F 艦船裝備維修費(fèi)的預(yù)測值與實際值的相對誤差為4.33%，優(yōu)于文獻(xiàn)［8］所提模型的相對誤差8.74%；從圖1 也可以直觀地看到本文的模型在數(shù)據(jù)擬合時穩(wěn)定性要比傳統(tǒng)模型好，傳統(tǒng)模型擬合的平均相對誤差為3.85%、最大相對誤差高達(dá)9.23%，而改進(jìn)GM（0，N）模型平均相對誤差僅為0.85%、最大相對誤差只有1.90%。由此可見，與傳統(tǒng)GM（0，N）模型相比，本文所提出的相似信息累積GM（0，N）模型可以更加充分地利用與待測樣本相似程度更高的信息，有利于提高模型預(yù)測的穩(wěn)定性和精度。

圖1 兩種模型的擬合誤差比較

5 結(jié)語

隨著大型艦船裝備陸續(xù)進(jìn)入修理期，對于維修費(fèi)用計劃的制定也提出了更高的要求，考慮到現(xiàn)有方法在處理小樣本數(shù)據(jù)時的不足，本文提出一種基于相似優(yōu)先累積的GM（0，N）模型。該方法在利用距離熵判斷樣本之間相似度的基礎(chǔ)上對樣本進(jìn)行重新排序，再利用累積法代替最小二乘法對于參數(shù)進(jìn)行估計，同時也解決了樣本量較少時無法用最小二乘法對于模型參數(shù)進(jìn)行估計的問題，更加充分發(fā)揮了灰色預(yù)測模型在處理小樣本數(shù)據(jù)時的優(yōu)勢。對于新型艦船裝備維修費(fèi)用的估算有較強(qiáng)的實用性，也為利用參數(shù)法進(jìn)行維修費(fèi)估算從灰色理論的角度提供了新的解決方案。該方法實用性較強(qiáng)，也可以用于其他大型復(fù)雜裝備的修理費(fèi)用預(yù)測。